2022-2023学年江苏省南京市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年江苏省南京市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.A.A.仅为x=+1B.仅为x=0C.仅为x=-1D.为x=0，±1

2.设函数在x=0处连续，则等于()。A.2B.1/2C.1D.-2

3.

4.下列运算中正确的有()A.A.

B.

C.

D.

5.函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π

6.微分方程y''-7y'+12y=0的通解为（）A.y=C1e3x+C2e-4x

B.y=C1e-3x+C2e4x

C.y=C1e3x+C2e4x

D.y=C1e-3x+C2e-4x

7.

8.刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用四个力，此四个边恰好组成封闭的力多边形。则()

A.力系平衡

B.力系有合力

C.力系的合力偶矩等于平行四边形ABCD的面积

D.力系的合力偶矩等于负的平行四边形ABCD的面积的2倍

9.

10.设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为（）．A.A.

B.

C.

D.不能确定

11.在空间中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面

12.

13.

A.

B.

C.

D.

14.图示悬臂梁，若已知截面B的挠度和转角分别为vB和θB，则C端挠度为()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

15.

16.

17.设()A.1B.-1C.0D.2

18.

19.

20.

21.

22.A.A.2xy3

B.2xy3-1

C.2xy3-siny

D.2xy3-siny-1

23.

24.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

25.（）有助于同级部门或同级领导之间的沟通了解。

A.上行沟通B.下行沟通C.平行沟通D.分权26.∫sin5xdx等于()．

A.A.

B.

C.

D.

27.

28.A.A.

B.

C.

D.

29.设y=2x3，则dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

30.设z=ln(x2+y)，则等于()。A.

B.

C.

D.

31.

32.

33.图示为研磨细砂石所用球磨机的简化示意图，圆筒绕0轴匀速转动时，带动筒内的许多钢球一起运动，当钢球转动到一定角度α=50。40时，它和筒壁脱离沿抛物线下落，借以打击矿石，圆筒的内径d=32m。则获得最大打击时圆筒的转速为()。

A.8．99r／minB.10．67r／minC.17．97r／minD.21．35r／min34.设f(x)=x3+x，则等于()。A.0

B.8

C.

D.

35.

36.

37.

38.设函数f(x)＝2sinx，则f(x)等于（）．

A.2sinxB.2cosxC.－2sinxD.－2cosx

39.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

40.

二、填空题(50题)41.设y=xe，则y'=_________.

42.43.设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为．

44.

45.

46.

47.已知平面π：2x+y一3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为________．48.极限=________。49.

50.

51.

52.方程cosxsinydx+sinxcosydy=O的通解为______.

53.过点M0(1，2，-1)且与平面x-y+3z+1=0垂直的直线方程为_________。

54.

55.

56.

57.

58.

59.60.61.过坐标原点且与平面2x-y+z+1=0平行的平面方程为______.62.

63.

64.65.66.67.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f'(0)=______．

68.

69.

70.

71.

72.设y=cosx，则y'=______

73.设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________．

74.二阶常系数齐次线性方程y"=0的通解为__________。

75.

76.

77.

78.设z=sin(y+x2)，则．79.微分方程y''+y=0的通解是______.80.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．81.82.83.

84.

85.

86.87.为使函数y=arcsin(u＋2)与u=｜x｜-2构成复合函数，则x所属区间应为__________．88.

89.

90.

三、计算题(20题)91.求微分方程的通解．

92.

93.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．94.

95.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

96.97.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．98.

99.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．100.求曲线在点(1，3)处的切线方程．101.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．102.103.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．104.证明：105.

106.

107.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则108.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

109.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

110.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)111.

112.求二元函数z=x2-xy+y2+x+y的极值。

113.将f(x)=ln(1+x2)展开为x的幂级数．114.

115.设y=sinx/x，求y'。

116.117.118.设函数f(x)=2x+In(3x+2)，求f''(0).119.设z=x2y+2y2，求dz。

120.五、高等数学(0题)121.

则f(x)=_________。

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.C

2.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。由于f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C。

3.C解析：

4.C本题考查的知识点为重要极限公式．

所给各极限与的形式相类似．注意到上述重要极限结构形式为

将四个选项与其对照。可以知道应该选C．

5.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论．

由于y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，从而应有．

故知应选C．

6.C因方程：y''-7y'+12y=0的特征方程为r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解为：y=C1e3x+C2e4x

7.B

8.D

9.C

10.B本题考查的知识点为定积分的几何意义．

由定积分的几何意义可知应选B．

常见的错误是选C．如果画个草图，则可以避免这类错误．

11.C方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C。

12.C

13.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

14.C

15.A

16.C

17.A

18.B解析：

19.A

20.C

21.C解析：

22.A

23.A

24.B如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。

25.C解析：平行沟通有助于同级部门或同级领导之间的沟通了解。

26.A本题考查的知识点为不定积分的换元积分法．

，可知应选D．

27.D解析：

28.D本题考查的知识点为可变上限积分的求导．

当f(x)为连续函数，φ(x)为可导函数时，

因此应选D．

29.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．

30.A本题考查的知识点为偏导数的计算。由于故知应选A。

31.D

32.B解析：

33.C

34.A本题考查的知识点为定积分的对称性质。由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数f(x)=x3+x为连续的奇函数。由定积分的对称性质可知

可知应选A。

35.D

36.A

37.D解析：

38.B本题考查的知识点为导数的运算．

f(x)＝2sinx，

f(x)＝2(sinx)≈2cosx．

可知应选B．

39.A由复合函数链式法则可知，因此选A．

40.B

41.(x+1)ex本题考查了函数导数的知识点。42.e；本题考查的知识点为极限的运算．

注意：可以变形，化为形式的极限．但所给极限通常可以先变形：

43.y＝f(1)．

本题考查的知识点有两个：－是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y＝f(x)过该点的切线方程为

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由题意可知x0＝1，且在(1，f(1))处曲线y＝f(x)的切线平行于x轴，因此应有f(x0)＝0，故所求切线方程为

y—f(1)＝0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，－些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y－1＝0．

44.F'(x)

45.1

46.

47.

本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线1垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

48.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于=0，即当x→∞时，为无穷小量，而cosx-1为有界函数，利用无穷小量性质知49.0

50.

51.

本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

52.sinx·siny=C由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(sinx·siny)=0，两边积分得sinx·siny=C，这就是方程的通解.

53.

54.

55.

56.1/457.由可变上限积分求导公式可知

58.59.1

60.61.已知平面的法线向量n1=(2，-1，1)，所求平面与已知平面平行，可设所求平面方程为2x-y+z+D=0，将x=0，y=0，z=0代入上式，可得D=0，因此所求平面方程为2x-y+z=0．

62.解析：

63.[-11]64.6．

本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

65.本题考查了一元函数的导数的知识点66.本题考查的知识点为无穷小的性质。67.0本题考查的知识点为极值的必要条件．

由于y=f(x)在点x=0可导，且x=0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f'(0)=0．

68.

解析：

69.

70.

71.

72.-sinx

73.

74.y=C1+C2x。

75.-3e-3x-3e-3x

解析：

76.00解析：

77.78.2xcos(y+x2)本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算．

可以令u=y+x2，得z=sinu，由复合函数偏导数的链式法则得

79.y=C1cosx+C2sinx微分方程y''+y=0的特征方程是r2+1=0，故特征根为r=±i，所以方程的通解为y=C1cosx+C2sinx.80.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

81.

本题考查的知识点为重要极限公式．

82.

83.

本题考查的知识点为二重积分的性质．

84.

解析：

85.

86.e-2本题考查了函数的极限的知识点，87.[-1，188.ln(1+x)本题考查的知识点为可变上限积分求导．

89.

解析：

90.(03)(0,3)解析：

91.

92.

93.

94.

95.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，