中北大学数字信号处理原理及应用数字滤波器基本结构

第5章数字滤波器的基本结构在许多信息处理过程中，如对信号的过滤、检测、预测等，都要广泛地用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用的最广泛的一种线性系统环节，它是数字信号处理的重要基础。在以下三章里，我们将用前面所学到基本方法来讨论数字滤波器，分析它的特点、结构、以及主要的设计方法。数字滤波器的差分方程为5.1数字滤波器结构的表示方法其系统函数H(z)为给定一个系统函数，不同的算法有很多种，例如：加法标量乘法单位延时三种基本运算的流图表示例输入节点或源节点输出节点或阱节点分支节点和节点信号流图中基本概念：无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器{ak}不全为0无限长单位冲激响应滤波器的特点：（1）单位冲激响应h(n)是无限长的；（2）系统函数H(z)在有限z平面（

）上有极点存在；（3）结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型的。5.2IIR滤波器的结构5.2.1直接Ⅰ型两个子系统级联构成整个系统5.2.2直接Ⅱ型（典范型、正准型）改变级联顺序后，两个子系统中有两条完全相同的延时支路，可合并为一条。

例5.2.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解由H(z)写出差分方程如下：例5.2.1结构图5.2.3级联型将分子分母多项式分别进行因式分解二阶基本节当M=N时，共有

节取整数部分将每一对共轭零点（极点）、两个实数零点（极点）合并各二阶基本节的排列次序有种当M=N时，二阶基本节配对方式有种例5.2.2试画出其级联型网络结构。解：将H(z)分子分母进行因式分解，得到

5.2.4并联型将H(z)展开部分分式形式，得到当M<N时，不包含项；当M=N时，该项为G0。当M=N时，将两个一阶实极点合为一项，将共轭极点化成实系数二阶多项式，H(z)可表为当N为奇数时，包含一个一阶基本节，即图5.2.5三阶IIR滤波器的并联结构例5.2.3画出例题5.2.2中的H(z)的并联型结构。解：将例5.2.2中H(z)展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现并联型的特点：通过调整系数，可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高转置定理：原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。直接Ⅱ型结构直接Ⅱ型结构的转置直接Ⅱ型结构的转置画成输入在左、输出在右的习惯形式直接I型和直接II型实现起来具有简单直观的特点。需要(M+N)个加法器和(M+N)个乘法器，直接II型比直接I型节省M个延时单元，在M=N的情况下，需要N个延时单元。直接(I,II)型在实现原理上是类似的，都是直接一次构成。共同的缺点是，系数aibi对滤波器性能的控制关系不直接，调整不方便。更严重的是当阶数N较高时，直接型结构的极点位置灵敏度太大，对字长效应太明显，因而容易出现不稳定现象并产生较大误差。因此一般来说，采用另两种结构将具有更大的优越性。IIR滤波器的几种结构形式的性能级联型：每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点，便于准确实现滤波器的零、极点，也便于性能调整。级联结构可以由许多不同的搭配方式，在实际工作中，由于运算字长效应的影响，不同排列所得到的误差和性能也不一样。并联型：可以单独调整极点位置，但不能直接控制零点。在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联型总的说，误差要稍小一些。因此当要求有准确的传输零点时，采用级联型最合适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采用并联型稍好一点。例已知系统函数为画出直接II型，级联型和并联型结构流图。解：将原式写成z-1的有理分式，可得将上式写成级联的形式再将H(z)部分分式分解得5.3FIR数字滤波器的基本结构1）系统的单位抽样响应h(n)有限长FIR数字滤波器的特点：2）系统函数H(z)在处收敛，有限z平面只有零点，全部极点在z=0处（因果系统）3）无输出到输入的反馈，一般为非递归型结构5.3.1直接型数字滤波器的差分方程为：这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。

图5.3.1FIR直接型结构

图5.3.2转置结构5.3.2级联型例

设FIR网络系统函数H(z)如下式：

H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3

画出H(z)的直接型结构和级联型结构。解将H(z)进行因式分解，得到：

H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其级联型结构和直接型结构如图所示。级联型结构直接型结构5.3.3频率采样型结构频率域采样点数N大于等于序列的长度M时的内插公式梳状滤波网络Hc(z)在单位圆上有N个等间隔角度的零点频率响应幅频特性单位圆上的一个极点：N个谐振器的并联网络网络在的响应为∞，所以是一个谐振频率为的无损耗谐振器。这些并联谐振器的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，使在这个频率点上的响应等于。(1)在频率采样点ωk，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。

(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。优点：缺点：

(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。有限字长效应可能导致零极点不能完全对消，导致系统不稳定(2)结构中，H(k)和一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。克服缺点（1）——使系统稳定将单位圆上的零极点收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为修正点上的采样值克服缺点（2）——使系数为实数根据DFT的共轭对称性，如果h(n)是实序列，其DFTH(k)关于N/2点共轭对称又因为因此，可以将第k和第(N-k)个谐振器合并为一个二阶网络：式中：谐振器极点的位置（a）N为偶数（b）N为奇数H(z)可以简化为：N为偶数时的结构图N为奇数时

一般看，频率采样的结构比较复杂，所需的存储器及乘法器也比较多。但是在以下几种情况下，使用频率采样结构却可以带来一定的好处。

(1)如果多数采样值H(k)为零，例如在窄带低通滤波器的情况下，这时谐振器柜中只剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接法少用乘法器，但存储器还是要比直接法用得多一些。

(2)频率采样的结构还有一个本身的特点，就是它的每个部分都具有很高的规范性。只要改变二阶谐振节中的系数及一阶节中的就可以构成不同的滤波器，而不用改变整个结构以及其它各系数，因此做时分复用时有一定好处。5.3.4快速卷积结构

根据圆周卷积和线性卷积的关系可知，只要将两个有限长序列补上一定的零值点，就可以用圆周卷积来代替两个序列的线性卷积。由于时域的圆周卷积，等效到频域内离散傅立叶变换的乘积，如果利用圆周定理，采用FFT实现有限长序列x(n)和h(n)的线性卷积，则可得到FIR滤波器的快速卷积结构，如图5.3.7所示，当N1、N2很长时，它比直接计算线性卷积要快的多。图5.3.7FIR滤波器的快速积结构5.4格型滤波器的基本机构格型结构滤波器可以用于IIR滤波器，也可以用于FIR滤波器。它的模块化结构便于实现高速并行处理，一个M阶格型滤波器可以产生从1阶到M阶的M个横向滤波器的输出特性，它对有限长的舍入误差不敏感，且适合于递推运算。由于这些优点，使得这种结构在现代谱估计、语音信号处理、线性预测及自适应滤波等方面得到广泛的应用。格型滤波器根据零极点的特点可分为：全零点（FIR）格型滤波器、全极点（IIR）格型滤波器和零极点（IIR）格型滤波器。5.4.1全零点（FIR）格型滤波器一个M阶的FIR滤波器的系统函数可写成如下形式：其中，

表示M阶FIR滤波器的第i个系数，并假设

的首项系数

。图5.4.1所示的是一个一般的M阶全零点格型滤波器结构，该结构的信号流图只有直通支路，没有反馈支路，每个网络单元有两个输入端和两个输出端，第一个网络单元的两个输入端为整个系统的输入信号x(n)，而最后一个格型单元上面的输出作为整个格型网络的输出。图5.4.1全零点格型滤波器网结构它可以看成由M个如图5.4.2所示的格型网络单元级联而成。

下面推到由的系数求出格型结构网络系数的逆推公式。图5.4.2基本格型单元的输入、输出关系：且图5.4.2全零点格型结构基本元设

、

分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、下输出端

、

对应的系统函数，即对基本格型结构输入、输出关系两边进行z变换得：上式分别除以和，并整理有可用矩阵表示为

由低阶到高阶系

统函数的递推公式

由高阶到低阶系统

函数的递推公式与间的递推关系因为所以即通过递推可推出将上式带入递推公式中，得和滤波器系统之间的递推公式例5.4.1FIR滤波器由如下差分方程给定：求其格型结构系数，并画出格型结构图。解：对差分方程两边进行Z变换得即图5.4.3例5.4.1系统的格型结构图5.4.2全极点（IIR）格型滤波器IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。设一个全极点系统函数写成如下形式：是FIR系统的逆系统。按照系统求逆准则得到全极点格型结构的步骤：（1）将输入至输出的无延时通路反向；（2）将指向这条新通路各节点的其它支路增益乘以-1；（3）将输入和输出交换位置；（4）依据输入在左、输出在右的原则，将整个流图左右翻折。图5.4.4全极点格型滤波器网结构例5.4.2FIR滤波器由如下差分方程给定：求其格型结构系数，并画出格型结构图。解：所以同例5.4.1的求解过程可求得FIR格型结构网络系数为：所以系统的格型结构流图如图5.4.5所示。图5.4.5例5.4.2系统的格型构流图5.4.3零极点（IIR）格型滤波器