【走向高考】2012届高三数学一轮复习 13-3不等式选讲课件（北师大版）

知识梳理1．不等式的性质：性质1如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.性质2如果a＞b，b＞c，那么

.性质3如果a＞b，那么

.推论如果a＞b，c＞d，那么

.a＞ca＋c＞b＋ca＋c＞b＋d性质4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0那么

.推论1如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么

.推论2如果a＞b＞0，那么

.推论3如果a＞b＞0，那么

．ac＜bcac＞bda2＞b2an＞bn(n为正整数)2．绝对值不等式：设a是任意一个实数，在数轴上|a|表示

，|x－a|的几何意义是

的距离．定理：对任意实数a和b，有

3．平均值不等式：定理1对任意实数a，b有a2＋b2≥

(上式当且仅当

时，取“＝”号)．实数a对应的点与原点O的距离实数x对应的点与实数a对应的点之间|a＋b|≤|a|＋|b|2aba＝b(2)分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．(5)反证法：通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立，其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理导出矛盾；③否定假设肯定结论5．柯西不等式定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥

，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．定理2设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a12＋a22＋…an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时“＝”成立．推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立。(ac＋bd)26．排序不等式定理1设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥

，当且仅当a＝b(或c＝d)，时取“＝”号．定理2

(排序不等式)设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.ad＋bc其中j1，j2，…jn是1,2，…，n的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．7．贝努利不等式：对任何实数

x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥

1＋nx[例1]解不等式|x＋2|＋|x－1|<4.[分析]

(1)根据绝对值的意义，分区间分别去掉绝对值符号，解不等式．(2)根据绝对值的几何意义．[解析]

|x＋2|＝0和|x－1|＝0的根分别是－2和1，把实数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x＋2|＋|x－1|有不同的解析表达式，它们构成了三个不等式组．[点评]

(1)解这类绝对值符号内是一次式的不等式，其一般步骤是：①令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；②把这些根由小到大排序，并把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；④取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．对于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷，这又一次体现了数形结合思想方法的优越性！解不等式|x＋3|＋|x－3|>8.[解析]

解法1：由代数式|x＋3|、|x－3|知，－3和3把实数集分为三个区间：x<－3，－3≤x<3，x≥3.当x<－3时，－x－3－x＋3>8，即x<－4，此时不等式的解集为x<－4.①当－3≤x<3时，x＋3－x＋3>8，此时不等式无解．②当x≥3时，x＋3＋x－3>8，即x>4，此时不等式的解集为x>4.③取①②③式的并集得原不等式的解集为{x|x<－4或x>4}．解法2：不等式|x＋3|＋|x－3|>8表示数轴上与A(－3)，B(3)两点距离之和大于8的点，而A、B两点距离为6.因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6.如图所示，要找到与A，B距离之和为8的点，只需由点B向右移1个单位(这时距离之和增加2个单位)，即移到点B1(4)，或由点A向左移1个单位，即移到点A1(－4)．可以看出，数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(－4)向左的点到A、B两点的距离之和均大于8.∴原不等式的解集为{x|x<－4或x>4}.[分析]

开口向上的二次函数在闭区间[－1,1]上的最大值，只能在端点－1,1处取到．故M≥|f(1)|或M≥|f(－1)|.[解析]

(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.(2)依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|.又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|.∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.[点评]

对于含有绝对值的不等式的证明常用途径有二：一是去掉绝对值符号，即利用绝对值的定义和|x|<a⇔－a<x<a(a>0)，|x|>a⇔x>a或x<－a(a>0)去掉绝对值符号；二是利用含绝对值的不等式性质(||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|)来证明．[例3]若0<x<1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小(a>0且a≠1)．[分析]

利用作差比较法或作商比较法均可证明本例．[解析]

证法一：(作差比较法)因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1,0<1－x2<1.当a>1时，因为|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0，所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.当0<a<1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)>0，所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.综上所述，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.[点评]

本题考查了绝对值的概念，分类整合的思想方法，对数的运算，式子的变形，灵巧而精致，深化了作差比较和作商比较这两种基本方法．(1)作差法的一般步骤是“作差—变形—判断符号”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数、一个常数与几个平方和或几个因式的积的形式，当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．(2)作商法的一般步骤为“作商—变形—判断商与数1的大小关系”．(3)一般地，证幂、指数不等式，常用作商法，证对数不等式，常用作差法．当“差”或“商”式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．[例4]已知a、b、c>0，求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[分析]

不等式中的a、b、c有对称转换关系，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论．[解析]

∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.将三式相加得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[点评]

本题是利用综合法证明不等式．用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的已知的不等式作为依据，其中基本不等式是最常用的．已知x，y，z∈R，若x4＋y4＋z4＝1，求

证：x2＋y2＋z2≤1．放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小．如欲证A≥B，需通过B≤B1，B1≤B2，…，Bn≤A(或