高考易错题-复杂的排列组合问题-2020届高三数学提分精品讲义

专题九计数原理问题一：复杂的排列组合问题一、考情分析高考对这部分的要求还是比较高的 .考查两个计数原理、 排列、组合在解决实际问题上的应用 .值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合 .画一画 ,数一数 ,算一算,是基本的计数方法 ,不可废弃 .二、经验分享1.排列应用问题的分类与解法对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法 ..组合问题常有以下两类题型变化“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．学 -科网“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视 “至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．特殊元素 (位置 )优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．三、知识拓展.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．TOC\o"1-5"\h\z.解决排列组合综合性问题的一般过程如下 :认真审题弄清要做什么事.怎样做才能完成所要做的事 ,即采取分步还是分类 ,或是分步与分类同时进行 ,确定分多少步及多少类 ..确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合 （无序 ）问题 ,元素总数是多少及取出多少个元素 .解决排列组合综合性问题 ,往往类与步交叉 ,因此必须掌握一些常用的解题策略解排列（或）组合问题 ,应按元素的性质进行分类 ,分类标准明确 ,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步 ,做到分步层次清楚 .四、题型分析（一 ）“相邻 ”与“不相邻”问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排 ,分别计算满足下列条件的排法种数：（1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端 （可以不相邻 ）．【点评】对于相邻问题 ,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列 ,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列 ,这种方法称为 “捆绑法”；对于不相邻的元素 ,可先排其他元素 ,然后将这些要求不相邻的元素插入空当 ,这种方法称为 “插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．TOC\o"1-5"\h\z【小试牛刀】 【山西大学附属中学 2017级上学期 11月模块诊断】已知身穿红 ,黄两种颜色衣服的各两人 ,身穿蓝衣服的有 1人,现将五人排成一列 ,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻 ,则不同的排法有（ ）A.72种 B.78种 C.48种 D.84种【答案】 C【解析】方法一： A552A442A444A3348方法二： a,a,c23212c,a,a,23212,2a,c,a2A4224,故共有 12122448.选C.（二）涂色问题【例 2】如图 ,用 4种不同的颜色对图中 5个区域涂色 （4种颜色全部使用 ）,要求每个区域涂一种颜色 ,相邻的区域不能涂相同的颜色 ,则不同的涂色种数有 .【分析】由于区域 1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理 ,又相邻区域不同色 ,因此应按区域 1和区域3是否同色分类求解．【点评】（1）解决涂色问题 ,一定要分清所给的颜色是否用完 ,并选择恰当的涂色顺序．（2）切实选择好分类标准 ,分清哪些可以同色 ,哪些不同色．【小试牛刀】 【河南省天一大联考 2017届高三上学期阶段性测试】如图 ,图案共分 9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色 ,每个区域只能涂一种颜色的涂料 ,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色 ,且相邻区域的颜色不相同 ,则涂色方法有（ ）A．360种【答案】 A．360种【答案】 BB．720种C．780种D．840种1,有6种方法 ,再排 2,3,4,5有A54种方法 ,故一共有 6A54720种.（三）分配问题【例 3】有 6本不同的书按下列分配方式分配 ,问共有多少种不同的分配方式？（1）分成每组都是 2本的三组；（2）分给甲、乙、丙三人 ,每人2本．TOC\o"1-5"\h\z【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解； （2）均匀分组问题 .,往往是先分组再分配．在分组时 ,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组 ,注意各种分组类型中 ,不同分组方法的求法．【2017届广东七校联合体高三上学期联考二】 把A,B,C,D四件玩具分给三个小朋友 ,每位小朋友至少分到一件玩具 ,且A,B两件玩具不能分给同一个人 ,则不同的分法有（ ）A．36种 B．30种 C．24种 D．18种【答案】 B【解析】分两步进行分析 :先计算把 A,B,C,D四件玩具分给三个小朋友 ,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目 :首先将 4件玩具分成 3组,其中1组有2件,剩余 2组各1件,有C42 6种分组方法 ,再将这3组对应三3个小朋友 ,有A336种方法 ,则有 6636种情况； 计算A,B两件玩具分给同一个人的分法数目 ,若A,B两件玩具分给同一个人 ,则剩余的 2件玩具分给其他 2人,有C31A226种情况.综上可得 ,A,B两件玩具不TOC\o"1-5"\h\z能分给同一个人的不同分法有 36630种,故选 B.（四）排数问题【例4】在某种信息传输过程中 ,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息 ,不提排列表示不同信息.若所有数字只有 0,1,则与信息 0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（ ）A.9 B.10 C.11 D.12【分析】信息 0110是四个数字 ,此类“至多”、“至少”类型的问题 ,可以直接利用分类讨论求解 ,也可以转化为反面的问题 ,利用间接法求解 .【解析一】 （直接法）若 0相同,只有1个；若1相同,共有 C414个；若2相同 ,共有 C42 6个,故共有4611个.【解析二】 （间接法）若 3个数字相同 ,共有 C426个,若4个数字相同共 4个,二不同排列个数为 2416个,所以共有 16（14）11个.【点评】该题中要求的是 “至多”有两个位置上数字相同 ,易出现的问题是分类混淆 ,漏掉各位数字信息均不同TOC\o"1-5"\h\z的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准 ,分类计数时要做到不重不漏 .【小试牛刀】 【2016届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 ,其中比40000大的偶数共有（ ）A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【答案】 B【解析】据题意 ,万位上只能排 4、 5．若万位上排 4,则有2 A43 个；若万位上排 5,则有 3 A43个．所以共有33A433A43524120个．选B．（五）摸球问题【例5】【浙江温州市十校联合体 2014届高三上学期期初联考】 将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号 l,2,⋯,8则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有. 种.【分析】注意到 4个相同的红球没有区别 ,4个相同的黑球也没有区别 ,先求出任意排放的排法 C84 70,编号相等的结果必有四组 ,其中每组一黑球一白球的编号和为 9,则有 （1,8）,（2,7）,（3,6）,（4,5）四种 ,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样 ,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 706231种.2【解析】依题意 ,任意排放的排法 C84 70,红球编号与黑球编号相等的情况有 （1,8）,（2,7）,（3,6）,（4,5）四种,红黑互换编号就是 8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 706231种.2【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关 ,排列与顺序有关；排列可以分成先选取 （组合 ）后排列两个步骤进行．【小试牛刀】 四个不同的小球放入编号为 1,2,3的三个盒子中 ,则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）．【答案】 42（六）“至多 ”、“至少”问题【例 6】某医院有内科医生 12名,外科医生 8名,现选派 5名参加赈灾医疗队 ,其中（1）甲、乙两人至少有一人参加 ,有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生 ,有几种选法？【分析】 “无序问题 ”用组合 ,注意分类处理．【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加 ,甲、乙都参加 ,共有 C12C418＋C318＝6936（种）；（2）方法一 （直接法 ）：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外 ,所以共有 C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14656（种）．方法二 （间接法 ）：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数 ,得 C250－（C152＋C85）＝14656（种）．【点评】 对于有条件的组合问题 ,可能遇到含某个 （些）元素与不含某个 （些）元素问题；也可能遇到 “至多”或“至少”等组合问题的计算 ,此类问题要注意分类处理或间接计算 ,切记不要因为 “先取再后取 ”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准 ,避免重复遗漏 ,出现“至少、至多 ”型问题 ,注意间接法的运用．【小试牛刀】 【江西省新余市第一中学 2017届高三上学期调研考试】 西部某县委将 7位大学生志愿者 （4男3女）分成两组 ,分配到两所小学支教 ,若要求女生不能单独成组 ,且每组最多 5人,则不同的分配方案共有A．36种A．36种B．68种C．104种D．110种TOC\o"1-5"\h\z【答案】 C3 2 222【解析】分组的方案有 3、 4和 2、 5两类 ,第一类有 （C7 1） A2 68种 ;第二类有 （C7 C3 ） A2 36种 ,所以共有N=68+36=104种不同的方案 .（七）信息迁移题【例 7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如 22,121,3443,94249等．显然 2位回文数有9个：11,22,33,⋯,99位回文数有.3 90个：101,111,121, ⋯,191,202,⋯,999.（*）则：（ 1）4位回文数有 个；（ 2）2n＋1（n∈N*）位回文数有 个．（**）【分析】由 （*）式,理解 “特殊”背景——回文数的含义 ,借助计数原理计算．结合（**）,可从2位回文数 ,3位回文数 ,4位回文数探索求解方法 ,从特殊到一般发现规律．【解析】（1）4位回文数相当于填 4个方格 ,首尾相同 ,且不为 0,共 9种填法；中间两位一样 ,有 10种填法．共计 9×10＝90（种）填法 ,即 4位回文数有 90个．（2）根据回文数的定义 ,此问题也可以转化成填方格．由计数原理 ,共有 9×10n种填空．【点评】 （1）一题两问 ,以“回文数”为新背景 ,考查计数原理 ,体现了化归思想 ,将确定回文数的问题转化为 “填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决 ,将新信息转化为所学的数学知识来解决．（2）从特殊情形入手 ,通过分析、归纳 ,发现问题中隐含的一些本质特征和规律 ,然后再推广到一般情形 ,必要时可以多列举一些特殊情形 ,使规律方法更加明确．【小试牛刀】【浙江省金华、丽水、衢州市十二校 2017届高三8月联考数学（理）试题】回文数是指从左TOC\o"1-5"\h\z到右读与从右到左读都一样的正整数 ,如2,11,242,6776,83238等,设n位回文数个数为 an（n为正整数） ,如11是2位回文数 ,则下列说法正确的是（ ）a4100B.a2n1 10a2nnN C.a2n 10a2n1nN D.以上说法都不正确【答案】 B.【解析】 A： a4 910 90,故 A错误；根据对称性可知 ,a2n 1 10a2n,故 B正确 ,C,错误 ,故选四、迁移运用1.【湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018届高三联考】郑州绿博园花展期间，安排 6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）A.168种B.156种C.172种D.180种【答案】 B

分类：（1）小李和小王去甲、 乙，共 种（2）小王，小李一人去甲、 乙，共种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共 种，总共 N 种，选B.【四川省资阳市 2018届高三4月模拟】从 0，1，2，3这4个数字中选 3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为数，则该三位数能被A.5B.12A.5B.125C.9D.【贵州省凯里市第一中学 2018届高三模拟】 2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校 （“全国理工联盟”）及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中 ,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则 7名教师上课的不同排法有（ ）种A.5040B.4800C.3720D.4920【答案】 D75【解析】由题意可得： A77A5550401204920故选D【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中） 、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借 A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本） ，已知每人均TOC\o"1-5"\h\z只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅 A类课外书，则不同的借阅方案种类为（ ）A.48B.54C.60D.72【答案】 C【解析】分两类：乙、丙、丁、戊四位同学 A、B、C、D四类课外书各借 1本，共 A4424种方法；乙、丙、丁、戊四位同学 B、C、D三类课外书各借 1本，共有 C42A3336中方法，故方法总数为 60种.故选C.已知数列 {an}共有 5项，a1＝ 0， a5＝ 2， 且 |ai＋ 1－ ai|＝ 1， i＝ 1,2,3,4， 则满足条件的数列 {an}的个数为 （ ）A.2B.A.2B.3C.4C.4D.6，所以 或 ，即数列 从前往后，相邻两项之间增加 1或减少1，因为 ，所以从 到有3次增加 1，有 1次减少 1，故数列 的个数为 ；故选C.【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考四】四位男生和两位女生排成一排 ,男生有且只有两位相邻 ,则不同排TOC\o"1-5"\h\z法的种数是（ ）B．96AB．96C.144 D．240【答案】 C【解析】先从 4为男生中选 2为捆绑在一起 ,和剩余的 2为男生 ,插入到 2为女生所形成的空隙中 ,所以共有A42A22A33144种不同的排法 ,故选 C.【2017届重庆市第一中学高三 12月月考】某班某学习小组共 7名同学站在一排照相 ,要求同学甲和乙必须相邻 ,同学丙和丁不能相邻 ,则不同的站法共有（ ）种．A． A． A22A44A52C． A22A55A62B． A22A44A42D． A55A62【答案】 A【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】从 5位同学中选派 4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动 ,每人一天 ,要求星期五有 2人参加,星期六、星期日各有 1人参加 ,则不同的选派方法共有（ ）A．40种 B．60种 C．100种D．120种【答案】 B【解析】试题分析：先排星期五 ,从 5人中选 2人有 C52,种 ,再从剩下的 3人中选2人参加星期六、星期日 ,有 A32种 ,故共有 C52A3210660种,选B.【2017届福建闽侯县三中高三上期中】将 3本相同的诗集 ,2本相同的小说全部分给 4名同学,每名同学至TOC\o"1-5"\h\z少1本,则不同的分法有（ ）A．24种 B．28种C．32种 D．36种【答案】 B【解析】第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集 ,这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上 ,有4种分法 ,将剩余的 2本小说,1本诗集分给剰余 3个同学 ,有3种分法 ,那共有 3412种；第二类：有一个人分到两本诗集 ,这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上 ,有4种情况 ,将剩余的 3本小说分给剩余 3个人 ,只有一种分法 ,那共有：414种,第三类： 有一个人分到两本小说 ,这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上 ,有4种情况,再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的 3个人,有3种分法,那共有： 4312种,综上所述：总共有： 1241228种分法 ,故选 B.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色 ,并使同一条棱上的两个端点异色 ,若只有 5种颜色可供使用 ,则不同的染色方法总数有 （ ）A.240种 B.300种 C.360种 D.420种【答案】 D11．某铁路货运站对 6列货运列车进行编组调度 ,决定将这 6列列车编成两组 ,每组 3列,且甲与乙两列列车不在同一小组 ,如果甲所在小组 3列列车先开出 ,那么这 6列列车先后不同的发车顺序共有 种．【答案】 216【解析】先进行分组 ,从其余4列火车中任取 2列与甲一组 ,不同的分法为 C24＝6种．由分步计数原理得不同的发车顺序为 C24·A33·A33＝216种．【广东郴州市 2017届高三第二次教学质量监测试卷 ,14】两所学校分别有 2名、 3名学生获奖 ,这5名学生要排成一排合影 ,则同校学生排在一起的概率是 .1【答案】 15【解析】 5名学生要排成一排合影共有 A55种不同的排法 ,同校学生排在一起共有 A22A33A22种不同的排法 ,所以TOC\o"1-5"\h\z所求概率为 PA2A3A2 1A55 5某班级原有一张周一到周五的值日表 ,五位班干部每人值一天 ,现将值日表进行调整 ,要求原周一和周五的两人都不值这两天,周二至周四的这三人都不值自己原来的日期,则不同的调整方法种数是 （用数字作答） .【答案】【2017届四川双流中学高三上学期必得分】某科室派出 4名调