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文档简介

可降阶的高阶微分方程以二阶方程为例展开讨论重点讨论能将二阶导数解出的情况

如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解一、型特点：右端不含仅是x

的函数解法：将作为新的未知函数降阶令有变量可分离的一阶方程积分即再积分对n阶方程同理令积分得如此连续积分n

次即得原方程的含有n个任意常数的通解一般情况特点：解法：z的(n-k)阶方程可得通解.例1解例2解代入原方程解线性方程,得两端积分,得原方程通解为二、型特点：右端不含y解法：降阶令代入原方程得若已求得其通解为回代得变量可分离的一阶方程积分得例3解方程解令分离变量得即由由故解方程解即例4三、型特点：右端不含x降阶解法：令由复合函数求导法则得代入原方程得这是一个关于

y

，p

的一阶方程若已求得它的通解为变量可分离的一阶方程积分得即得原方程的通解一般情况特点：解法：求得其解为原方程通解为例5解方程解令若即积分得即或若则包含在通解中如一方程既属于不含

x

型又属于不含

y

型则一般而言若两边可消去

p作为不含

x型（类型三）来解较简单若两边不可消去

p作为不含

y型（类型二）来解较简单注例6解方程解令例7解一代入原方程得原方程通解为解二从而通解为解三原方程变为两边积分,得原方程通解为四、恰当导数方程特点解法：类似于全微分方程可降低一阶再设法求解这个方程.例8解将方程写成积分后得通解注意:这一段技巧性较高,关键是配导数的方程.五、齐次方程特点：解法：例9解代入原方程,得原方程通解为补充题:解代入原方程,得原方程通解为

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