平方差公式-教学设计

云南省昆明市实验中学教学设计第第页共8页14.2.1平方差公式 教学设计人教版教科书数学八年级（上册）第十四章第二节第i课时一、内容和内容解析本节课是在学生已经掌握了多项式乘法的基础上，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法.本节课将引导学生在已有整式乘法知识的基础上， 归纳这一类乘法结果的普遍性,是从特殊到一般的认识过程.除了从代数角度来证明这个公式之外，还从几何角度加以验证，加强对平方差公式的几何理解，体会数形结合思想.通过对平方差的学习和研究，让学生认识到平方差公式是一类多项式乘法的简便计算，它为今后学习因式分解、分式的化简、解一元二次方程、一次函数、二次函数、反比例函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了研究方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有非常重要的地位，是初中学习阶段学生接触到的第一个最基本、用途最广泛的乘法公式.采用“创设情景一自主探究、合作交流一猜想一验证一加深理解一应用与拓展”的教学方法.通过创设情境引入课题、激发学生的学习兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.学生通过自己的计算、观察、分析、发现、总结、归纳得出这两个二项式相乘其积为两项，究其原因是 （ab）（ab）a2ababb2从而猜想出平方差公式.证明猜想时运用多项式乘多项式法则， 证明：（ab）（ab）a2b2;再进行几何验证,通过学生小组合作，利用割补法完成剪拼活动，根据图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证平方差公式，渗透数形结合的思想.学生经历“特殊一归纳一猜想一证明”的认知过程，教学过程中有意识地培养学生的推理能力和语言表达能力.让学生用语言叙述公式，揭示公式的结构特征：①公式左边是两个二项式相乘，而且是相同两数和与差相乘，即左边两括号内有一项相等、另一项互为相反数（式）；②公式右边是这两个数的平方差，即右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以表示具体数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式.通过观察平方差公式，体验公式白简洁性，并通过分析公式的本质特征掌握公式.在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住公式的核心，通过例题提高学生运用公式解决问题的能力.最后，通过例题 2,突破创设情景中的问题，达到前后呼应，进一步落实等价转化思想，使学生充分体会成就感，进一步调动学生学习数学的积极性.基于以上分析，确定本节课的教学内容主要如下:.平方差公式的猜想；.平方差公式的证明;.平方差公式的应用.教学重点：.经历探索平方差公式的全过程；.掌握公式的结构特征及正确运用公式解决问题.二、目标和目标解析教学目标.通过猜想、探索、归纳、论证平方差公式，理解、掌握平方差公式的特征和意义，并能够正确运用平方差公式解决问题；.采用“创设情景一自主探究、合作交流一猜想一验证一加深理解一应用与拓展”的教学过程，让学生掌握从特殊到一般的认知规律，感受数学的魅力、意义.同时在教学过程中培养学生的推理、归纳能力；在验证过程中培养数形结合思想；在应用与拓展中培养学生的等价转化思想..在教学过程中，特别是公式中字母a、b的广泛含义让学生体会到数学的简洁美.充分培养了学生的合作精神，加强了团队意识，更重要的是通过发现问题一研究问题一解决问题让学生获得成功的喜悦，促进了学生的创新精神.目标解析.让学生经历“特殊一归纳一猜想一证明一运用”这一教学活动过程，积累数学活动的经验，经历探索并证明平方差公式，让学生清楚地、准确地运用数学语言表达平方差公式；在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义..让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对学生发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.在解决问题时，一切从题目结构出发，根据题目结构多角度思考一题多解，从中寻找最佳解题方法，具体在运用公式计算时，要认清结构，找准 a、b..通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生在原有知识的基础上经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程.让学生在探究合作交流的过程中，展示思维过程，让学生的思维全过程得到充分展现，学生在发现、再发现的过程中，思维火花强烈碰撞，让数学结论的发现成为自然的事情.本节课充分发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，让学生在整个学习过程中体会成功的喜悦.三、教学问题诊断分析从学生的构成与家庭结构方面看，我校八年级学生来自全市12所学校共414人，学生基础参差不齐，构成复杂.从智力与能力发展的年龄特征来看，八年级学生的思维正处于从具体的形象思维成分为主，向以抽象逻辑思维成分为主的转折期.因此，教学内容的呈现必须注意具体性、形象性，同时还要有适当的抽象、概括要求.学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的理解.因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解.但是对学生来说，一方面如何从项的角度来理解平方差公式的特征，区别与其他多项式相乘的算式会有一定的困难；另一方面，用几何方法来验证所得的乘法公式要求有点高，估计学生会需要老师的帮助.由于学生初次学习公式，在运用公式时，认清结构不易，而且本节课所学的公式运用仅是基础部分的，因此，教学时不可拨高要求追求一步到位，而应在今后教学中逐步达到解决难度较大的题目，并灵活运用.基于以上分析，确定本节课的教学难点：.公式的证明；.理解平方差公式的结构特征，特别是公式中字母的广泛含义的理解；.平方差公式的应用.四、教学支持条件分析为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，将从问题诊断分析和学生起点分析，分析在教学过程中存在的和可借助的支持条件..学生的起点分析(1)学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的基础.经过长期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力.学生刚学过多项式的乘法，已具备学习平方差公式的知识基础.(2)学生活动经验基础：通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，有了对式的运算“快”、“准”的积极心理，学生已具备学习公式的基本技能，通过新课程教学的实施，学生已具有探索，合作交流的习惯.因而让学生通过探索、合作交流得出平方差公式就有了可能..从问题诊断方面看教学方法的选取既要能适应学生在这一时期的能力发展水平，又要能促进他们的思维向高一级阶段发展.故采用“创设情景一自主探究、合作交流一猜想一验证一加深理解一应用与拓展”的教学方法，学生在观察、分析、猜想、验证中总结出平方差公式，揭示公式的结构特征.针对以上分析，本节课利用多媒体、实物投影、纸板教具展示教学的部分环节，如创设情境、公式的几何意义等.五、教学基本流程六、教学过程设计(一)创设情境、引出问题问题1小明同学去商店买了单价是10.2元/千克的苹果9.8千克，售货员刚拿起计算器，小明就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快？”小明同学说：“我利用了在数学课上刚学过的一个公式.”你知道小明同学用的是一个什么样的公式吗？你现在能算出来吗？学了本节课以后，你就能很快解决这个问题了.从而引出课题：平方差公式【设计意图】通过情境引入、激发学生的学习兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.(二)探索新知，尝试发现问题2计算下列多项式的积：(规律探索)(1)(x1)(x1)； (2)(m2)(m2)； (3)(2x1)(2x1).【设计意图】学生独立完成，并回答；巩固多项式乘以多项式法则的同时，探索规律.问题3依照以上三道题的计算回答下列问题： (小组讨论后回答以下的问题)①三道题目有什么共同点？

②结果有什么共同点？③同学们对此问题能否省略中间过程直接得出结果？【问题牵引】(ab)(ab)?【设计意图】教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出： (ab)(ab)a2b2.在学生已掌握的多项乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法一平方差公式，这样更加自然、合理.猜想：(ab)(ab)a2b2应用多项式与多项式相乘的方法证明：(ab)(ab)a2ababb2a2b2求证：(ab)(ab)a2b2新知 平方差公式：(ab)(ab)a2b2【设计意图】对于任意的a、b,由学生运用多项式乘法计算：(ab)(ab)a2ababb2a2b2,证明了其公式的正确性.问题4如图所示：边长为a的大正方形，去掉一个边长为b的小正方形后剩下的面积怎样计算？(其中ab)法一：

*b♦*b♦【设计意图】通过学生小组合作，利用割补法完成剪拼活动 ，根据图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证平方差公式的正确性，渗透数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系，引导学生学会从多角度、多方面来思考问题.（三）发现新知，总结归纳问题5你能用文字语言表示所发现的规律吗？新知：（ab）（ab）a2b2文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言表达能力.（四）剖析公式，发现本质问题6平方差公式（ab）（ab）a2b2的结构特征是什么？①左边是两个二项式相乘，其中a与a”是相同项，b与b”是相反项；②右边是二项式，相同项与相反项的平方差,即a2b2;归纳得出：a、b可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式.【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性 ，并通过分析公式的本质特征掌握公式.在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了公式的核心.（五）巩固运用，内化新知(ab)(ab)alb2 /ab结果

1.填空1.填空(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)让学生体会：在两个因式中，符号相同的一项作a,符号不同的一项作b.【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件.例1运用平方差公式计算:(1)(3x2)(3x2)； (2)(b2a)(2ab)；(3)(x2y)(x2y); (4)(4m5)(4m5).方法总结：运用平方差公式的关键是正确寻找公式中的 a和b,只有正确找到a和b,?-切就变得容易.【设计意图】放手让学生动手完成，充分展现学生存在的问题，从而解决问题.巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母a、b含义广泛性的理解，解决不同类型的问题.第(4)题用不同方法计算，以体现学生的创造性.例2计算：102溜8; < >解决情境中的问题：10.29.8【设计意图】呼应情境，解惑传道，解答学生心中的疑惑，让学生体会到平方差公式的威力.把两数相乘转化成两数和与这两数差的乘积形式，此题体现了等价转化的思想和数式通性.2,下列各式的计算对不对，如果不对，应当如何改正？TOC\o"1-5"\h\z(x2)(x2) x2 2； ( )(3a2)(3a 2) 9a2 4.( )3.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( ).1 1 2 2A.(x1)(1x)B.(ab)(ba) C.(ab)(ab)D.(xy)(xy)2 24.下列计算正确的是(

_____2_ _2_A.(2x3)(2x3)2x29 B.(5x)(x6)x230_2 2C.(14b)(14b)116b D.(x4)(x4)x45.计算(y2)(y2)(y1)(y5)【设计意图】检测学生对平方差公式的掌握情况，通过对计算正误的判断进一步巩固平方差公式，通过计算的演练进一步掌握平方差公式的结构特征，从而正确、灵活运用公式进行计算.(六)总结概括，自我评价这节课你有哪些收获？【设计意图】鼓励学生结合