辽宁省沈阳市朝鲜族第一高级中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

辽宁省沈阳市朝鲜族第一高级中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．C.

D．参考答案：A2.如图是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数 B．当x=4时，f（x）取极大值C．在（1，3）上f（x）是减函数 D．在（4，5）上f（x）是增函数参考答案：D考点： 函数的单调性与导数的关系．专题： 导数的综合应用．分析： 利用导函数值的符号判断函数的单调性，推出选项即可．解答： 解：由题意可知导函数在x∈（4，5），导函数为正，f（x）是增函数．故选：D．点评： 本题考查函数的单调性与导函数的关系，考查基本知识的应用．3.下列四个命题：①若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；②在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图面积相等；③在回归直线=﹣0.5x+3中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；④y=|sin（x+1）|的最小正周期是π．其中正确的命题序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①③参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①②③根据定义判断即可；④判断f（x+π）=f（x），得出函数的周期．【解答】解：①若“p∧q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，故错误；②在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图面积不一定相等，故错误；③在回归直线=﹣0.5x+3中，根据回归直线方程的定义可知，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故正确；④y=|sin（x+1）|可知f（x+π）=f（x），故最小正周期是π，故正确．故选C．【点评】本题考查了且命题真假判断，频率分布直方图概念，回归直线方程的概念和最小周期的判断，属于基础题型，应熟练掌握．4.已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.在复平面内，复数(1﹣i)2对应的点P位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】展开完全平方式，得到复数对应的点P的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数对应的点P的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.若，且，，则等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：C7.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大()A．3

B．4C．5

D．6参考答案：C略8.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.在区间(1,6)内任取一个数x，则的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据几何概型概率计算公式计算出概率.【详解】根据几何概型概率计算公式有，所求概率为，故选D.【点睛】本小题主要考查几何概型概率计算，属于基础题.10.在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点．①若=，则MN∥面SCD；②若=，则MN∥面SCB；③若面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，则SD⊥面ABCD．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在①和②中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，由条件能推导出平面MNH∥平面SDC，从而得到MN∥面SCD；在③中，由面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，平面SDA∩平面SDB=SD，得到SD⊥面ABCD．【解答】解：在①中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点，=，∴NH∥CD，∵MH∩MN=M，SD∩DC=D，MH，MN?平面MNH，SD，CD?平面SDC，∴平面MNH∥平面SDC，∵MN?平面MNH，∴MN∥面SCD，故①正确；在②中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点，=，∴∴NH∥CD，∵MH∩MN=M，SD∩DC=D，MH，MN?平面MNH，SD，CD?平面SDC，∴平面MNH∥平面SDC，∵MN?平面MNH，∴MN∥面SCD，故②正确；在③中，∵面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，平面SDA∩平面SDB=SD，∴SD⊥面ABCD，故③正确．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分（均为两位数）如茎叶图所示，甲的平均数为b，乙的众数为a，且直线与以为圆心的圆交于B，C两点，且，则圆的标准方程为

▲

.参考答案：12.若复数z满足，则z的值为±3i．参考答案：考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用行列式的计算方法．求出复数z的方程，然后求出复数z即可．解答：解：因为复数z满足，所以z2+9=0，即z2=﹣9，所以z=±3i．故答案为：±3i．点评：本题考查行列式的计算方法，复数方程的解法，考查计算能力．13.设是定义在R上的最小正周期为的函数，且在上，则______,__________.参考答案：、由于的周期为，则，即，解得。此时。

14.某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是

.参考答案：乙设原价为1，则提价后的价格:方案甲：,乙：，因为，因为，所以，即，所以提价多的方案是乙。15.（不等式选讲选做题）已知函数．若不等式的解集为，则实数的值为

．参考答案：1知识点：绝对值不等式的解法解析：∵函数，故有不等式可得，∴，解得．

再根据不等式的解集为，可得，∴，故答案为1．【思路点拨】由不等式可得，解得．再根据不等式的解集为，可得，从而求得a的值．

16.函数的单调递减区间为

.参考答案：令，则在定义域上为减函数.由得，或，当时，函数递增，根据复合函数的单调性可知，此时函数单调递减，所以函数的递减区间为.17.满足的整数点的个数为 .参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，设直线与椭圆交于两点（其中点在第一象限），且直线与定直线交于点，过作直线交轴于点，试判断直线与椭圆的公共点个数．参考答案：解：（Ⅰ）设，易知，又，得，于是有．故椭圆的标准方程为．

……………4分（Ⅱ）联立得，的坐标为．故．依题意可得点的坐标为．设的坐标为，

故．因为，所以，解得，于是直线的斜率为，

…………8分从而得直线的方程为：，代入，得，即，知，故直线与椭圆有且仅有一个公共点．

…………13分19.为了解某班学生喜爱数学是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：

喜爱数学不喜爱数学合计男

生20525女

生101525合

计302050已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱数学的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关？说明你的理由．提示：K2=P（K2≥k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828参考答案：【考点】独立性检验．【专题】综合题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱数学的学生的概率为，可得喜爱数学的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱数学的学生的概率为，可得喜爱数学的学生为30人，故可得列联表补充如下：

喜爱数学不喜爱数学合计男

生20525女

生101525合

计302050（2）∵K2=≈8.333＞7.879∴有99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关．【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；（2）设为该参赛者此题的得分，求的分布列与数学期望．参考答案：解：(1).

(2) 的所有可能取值为：，，，.

， ，， ， -8-1620

且.

略21.已知圆内有一动弦AB，且|AB|=2，以AB为斜边作等腰直角三角形PAB，点P在圆外.（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）从原点O作圆C1的两条切线，分别交C2于E，F，G，H四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S.参考答案：（1）连接，∵，∴为等腰直角三角形.∵为等腰直角三角形，∴四边形为正方形. ∴，∴点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则的方程为.（2）如图，,于点，连接.在中，∵，∴.∴，∴.∴与为正三角形.∵，且，∴.∴四边形的面积.22.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱?（1）已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表：年份20152016201720182019成交额（百亿元）912172127求成交额y（百亿元）与时间变量x（记2015年为，2016年为，……依次类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；（2）在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加A、B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X．（i）求X的分布列及；（ii）已知每个订单由件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总数量为Y，假设，，求取最大值时正整数k的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．参考答案：（1）；30.7百亿元；（2）（i）分布列详见解析，；（ii）3．【分析】（1）计算、，求出系数和，写出线性回归方程，利用方程计算时的值即可；（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；根据题意求