计算机数学03教程文件

计算机数学03基本要求掌握函数的单调性并理解期意义。

了解简章最优化数学模型。

掌握如何利用导数研究函数的单调性、极值、曲线的凹向、拐点问题。

了解边际与弹性的概念，并会解答相关的经济应用问题。

掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理，并能熟练运用两定理证明有关命题。重点难点重点：函数的单调性、极值、曲线的凹向、拐点问题。简单的最优化问题的解法。难点：导数的概念、导数公式和求导法则。三个中值定理的应用、函数的极值、导数在经济分析中的应用。3.1函数的单调性3.1.1拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理：设y＝f(x)为区间I上的可导函数，P(a，f(a))与Q(b，f(b))是曲线y＝f(x)上任意两点，将直线段PQ平行移动，在区间(a，b)内总能找到一个位置，使之与曲线恰好相切(如图)。定理3.1

设函数y＝f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，则在

(a，b)内至少存在一点ξ，使得推论若在区间I上f′(x)≡0，则f(x)≡C。证在区间I上任取两点x1，x2，不妨设x1＜x2，则容易看出f(x)在以x1，x2为端点的区间上满足定理3.1的条件，所以必有ξ∈(x1，x2)，使

f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)，而由条件f′(x)≡0知f′(ξ)＝0，从而有

f(x1)＝f(x2)。由x1，x2的任意性可知，在区间I上一切不同点的函数值均相等，所以存在常数C使f(x)≡C。证毕。3.1.2函数单调性的判定定理3.2

设函数f(x)在(a，b)内可导。

(1)若对任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)内单调增加；

(2)若对任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)内单调减小。证在区间(a，b)内任取两点x1，x2且x1＜x2，由拉格朗日中值定理得，存在ξ∈(x1，x2)使f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)。

(1)若对任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0，则f′(ξ)＞0，从而f(x2)＞f(x1)，所以，f(x)在(a，b)内单调增；

(2)若对任意x∈(a，b)，有f′(x)＜0，则f′(ξ)＜0，从而f(x2)＜f(x1)，所以，f(x)在(a，b)内单调减。证毕。3.2函数的极值3.2.1函数极值的定义定义3.1设函数y＝f(x)在点x0的某邻域内有定义。若对该邻域内任意的x，总有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，则称f(x0)为函数f(x)的极大值(或极小值)，称x0为f(x)的极大值点(或极小值点)。极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。3.2.2函数极值的判定与求法定理3.3(极值存在的必要条件)如果函数f(x)在点x0处有极值f(x0)，且f(x)在x0处可导，则f′(x0)＝0。定理3.4(第一充分条件)

设函数f(x)在x0的某邻域(x0－δ，x0+δ)内连续、可导(但f′(x0)可以不存在)。

(1)若当x∈(x0－δ，x0)时，f′(x)＞0，而当x∈(x0，x0+δ)时，

f′(x)＜0，则函数f(x)在x0处取得极大值f(x0)；

(2)若当x∈(x0－δ，x0)时，f′(x)＜0，而当x∈(x0，x0+δ)时，

f′(x)＞0，则函数f(x)在x0处取得极小值f(x0)；

(3)若当x∈(x0－δ，x0+δ)(x≠x0)时，恒有f′(x0)＞0或恒有

f′(x0)＜0，则f(x)在x0处无极值。定理3.5(第二充分条件)设函数f(x)在x0存在二阶导数，且f′(x0)＝0，f″(x0)≠0。

(1)若f″(x0)＞0，则f(x)有极小值f(x0)；

(2)若f″(x0)＜0，则f(x)有极大值f(x0)。3.3函数曲线的凹向与渐近线3.3.1曲线的凹向与拐点

凹向：如图，曲线y＝f(x)在［a，b］内一直是上升的，但其弯曲方向是变化的，在A点的左侧曲线向下凹，而在A点的右侧曲线向上凹。曲线的这种向上凹或向下凹的性质。定义3.2如果在某区间内的一段连续且处处有切线的曲线弧总位于其上任意一点(除端点外)的切线的上方(或下方)，那么称该曲线段是上凹(或下凹)的。

切线斜率与凹向的关系：如图(a)，曲线上的点从左向右移动时，曲线在该点的切线的斜率单调增加，此时的曲线总位于切线的上方，即曲线是上凹的。反之，当切线斜率单调减小时，曲线总位于切线的下方，即曲线是下凹的。如图(b)。定理3.6(曲线凹向判定定理)

函数y＝f(x)在区间(a，b)内有二阶导数。

(1)若对任意的x∈(a，b)，有f′(x)＞0，则曲线y＝f(x)在(a，b)内是上凹的；

(2)若对任意的x∈(a，b)，有f′(x)＜0，则曲线y＝f(x)在(a，b)内是下凹的。定义3.3曲线的上凹与下凹部分的分界点称为曲线的拐点。3.3.2曲线的渐近线定义3.4

如果曲线上的动点沿着曲线趋于无穷远时，动点与某直线的距离趋于零，那么称此直线为曲线的渐近线。曲线有渐近线条件：

(1)水平渐近线

(2)铅直渐近线

(3)斜渐近线3.4简单最优化数学模型区间［a,b］上的函数f(x)的极值点xi(i＝1,2,…，n)，则f(x)在［a,b］的最大值M和最小值m分别是：M＝max{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}，m＝min{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}。若f(x)在［a,b］内只有一个极值点x0(如图)，则容易看出f(x0)就是f(x)在［a,b］上的最小值(图(a))或最大值(图(b))。3.5演示与实验三3.5.1实验目的

1.学习用Mathematica分析函数的单调性、极值、凹向、拐点；

2.学习用Mathematica直接求函数的极值，解简单最优化问题。3.5.1实验目的大家知道，只要画出了函数图形，函数的几何形态就一目了然，但仅凭观察几何图形不能准确地找出极值点、拐点等，况且计算机绘图有时也会有一些偏差，因此，只有将数值计算与几何图形结合起来综合