自动控制原理-第五章频域分析资料

自动控制原理-第五章频域分析令：其中：则：比较：结论：

对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的稳态输出分量仍然是与输入同频率的谐波函数有关，而幅值与相角的变化是频率的函数，且与数学模型有关。频率特性＝频率特性（频率响应）的定义式：频率特性

：在正弦信号作用下，系统的输出稳态分量与输入量复数之比。表征输入输出幅值、相位上的差异。频率特性表征系统对正弦信号的三大传递能力：同频、变幅、变相相频特性：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与输入谐波分量的相位之差。幅频特性：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与输入谐波分量的幅值之比。系统三种描述方法的关系：微分方程系统传递函数频率特性5.1.2频率特性的表示方法1.幅相频率特性曲线（奈氏图）幅相频率特性可以表示成代数形式和极坐标形式。

代数形式：设系统或环节的传递函数为令，可得系统或环节的频率特性其中为频率特性的实部，称为实频特性为频率特性的虚部，称为虚频特性

极坐标形式：将频率特性表示成指数形式:式中－频率特性的幅值，即幅频特性－复数频率特性的相角或相位移，即相频特性

奈氏图：2.对数频率特性曲线（Bode图）——对数频率特性曲线是将频率特性表示在半对数坐标中。

对数频率特性由对数幅频和对数相频两条曲线组成。对数频率特性曲线：横坐标是频率，并按对数分度，单位为弧度/秒。特点：对数幅频曲线：纵坐标按线性分度，单位为分贝（db）。对数相频曲线：纵坐标按线性分度，单位为度由此构成坐标称为半对数坐标。Bode图：3.对数幅相特性（尼氏图）

将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。

5.2典型环节的频率特性5.2.1比例环节传递函数：频率特性：1.幅相频率特性比例环节的幅频特性、相频特性均与频率无关。所以由变到，在图中为实轴上点。，表示输出与输入同相位。比例环节的幅相频率特性Bode图对数幅频特性的绘制：对数相频特性的绘制：2.对数频率特性频率特性：（1）（2）传递函数：5.2.2惯性环节奈氏图惯性环节的幅相频率特性

惯性环节的幅相频率特性曲线实际上是一个圆，圆心为，半径为。对数幅频特性的绘制：Bode图结论：每十倍频程，变化-20dB.传递函数：频率特性：（1）（2）5.2.3积分环节奈氏图结论：每十倍频程，变化-20dB.对数幅频特性的绘制：Bode图频率特性：（1）（2）5.2.4微分环节1.理想微分环节传递函数：奈氏图结论：每十倍频程，变化20dB.对数幅频特性的绘制：Bode图频率特性：（1）（2）2.一阶微分环节传递函数：奈氏图对数幅频特性的绘制：Bode图结论：每十倍频程，变化20dB.传递函数：频率特性：（1）5.2.5振荡环节（2）奈氏图谐振峰值谐振频率何时存在最值？讨论：当时，即时，存在峰值。

越小，峰值及谐振频率就越大，意味着超调越大，过程越不平稳结论：结论：幅频特性的最大值随减小而增大。对数幅频特性的绘制：Bode图结论：每十倍频程，变化-40dB.对数相频特性的绘制：结论：5.2.6二阶微分环节Bode图可由振荡环节的Bode图镜像画出奈氏图传递函数：频率特性：（1）（2）5.2.7时滞环节奈氏图Bode图求A(0)、(0)；A(∞)、(∞)；绘制要求：补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据A(ω)、(ω)的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。5.3.1开环幅相频率特性（奈氏图）曲线的绘制5.3系统开环频率特性开环系统（最小相位系统）频率特性的一般形式为幅相特性的低频段

当

时，可以确定特性的低频部分，其特点由系统的类型近似确定，如下图所示：

对于0型系统，当时，特性达到一点。对于Ⅰ型系统，特性趋于一条与虚轴平行的渐进线，这一渐进线可以由下式确定：

时的相位角为

幅相特性的高频段即特性总是以顺时针方向趋于点，并按上式的角度终止于原点，如图所示。一般，有，故当时，有

特性与负实轴的交点的频率由下式求出如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当ω由0增大到∞过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性可能出现凹部。例：绘制的幅相曲线。解：例：绘制的幅相曲线。解：渐近线：时的物理意义：即相当于系统输入为恒值信号（频率为0）由于系统有积分环节，系统输出量为∞ReIm-(kT,j0)0时，开环频率特性由实轴上无穷远开始，在极小的频率范围内按无穷大半径变化，相角位移为。结论：推论：时，开环频率特性由实轴上无穷远开始，在极小的频率范围内按无穷大半径变化，相角位移为（为积分环节的阶次）例：绘制的幅相曲线。解：求交点：与负实轴相交于-25处。曲线如图所示：无实数解与虚轴无交点令将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：5.3.2开环对数频率特性（伯德图）曲线的绘制对数幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。对数相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。例：一系统开环传递函数为1.系统开环对数幅频特性绘制步骤：（1）确定交接频率标在角频率轴上；（2）在

处，量出幅值，其中为系统开环放大系数。（上图中的A点）（3）通过A点作一条-20vdB/十倍频的直线，其中v为系统的阶数（对于上例，v=1），直到第一个交接频率(图中B点）。如果

，则低频渐进线的延长线经过A点。

（4）以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐进线斜率。每当遇到环节的交接频率时，渐进线斜率增加-20dB/十倍频；每当遇到环节的交接频率时，斜率增加+20dB/十倍频；每当遇到环节的交接频率时，斜率增加-40dB/十倍频。（5）绘出用渐进线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需在交接频率出以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB；在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式求出。幅值穿越频率系统开环对数幅频特性通过0分贝线即

时的频率称为幅值穿越频率。幅值穿越频率是开环对数相频特性的一个很重要的参量。或2.系统开环对数相频特性5.3.3开环对数频率特性低频段特点与系统型别的关系0型系统0型系统的开环频率特性有如下形式：低频时：对数幅频特性的低频部分如下图所示：特点：在低频段，斜率为0dB/十倍频；低频段的幅值为，由之可以确定稳态位置误差系数。Ⅰ型系统

Ⅰ型系统的开环频率特性有如下形式：对数幅频特性的低频部分如下图所示：特点：在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频；低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为dB。低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为由之可以确定系统的稳态速度误差系数；Ⅱ型系统

Ⅱ型系统的开环频率特性有如下形式：对数幅频特性的低频部分如下图所示：特点：低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频；低频渐进线(或其延长线)与0分贝的交点为，由之可以确定加速度误差系数dB低频渐进线（或其延长线）在时的幅值为

凡在右半s平面上有开环零点或极点的系统，称为非最小相位系统。

“最小相位”是指，具有相同幅频特性的一些环节，其中相角位移有最小可能值的，称为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节；后者常在传递函数中包含右半s平面的零点或极点。5.3.4最小相位系统与非最小相位系统升降对应升降不对应升降对应最小相位环节：给出了幅频特性，也就决定了相频特性给出了相频特性，也就决定了幅频特性幅角原理——奈氏判据的数学基础

设S平面上的封闭曲线包围了复变函数F(S)的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F(S)的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，F(S)相角的变化情况。讨论：5.4奈奎斯特稳定判据5.4.1奈氏判据设复变函数为则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点，F(S)为解析函数，即为单值、连续的函数。S平面F（S）平面

曲线的形状：由F(S)的特性决定，无需关心曲线的运动方向：可能是顺时针，也可能是逆时针曲线包围原点的情况：包围的次数S平面顺时针包围原点一圈F（S）平面幅角原理设S平面上的封闭曲线包围了复变函数F(S)的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F(S)的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在F(S)平面上的映射曲线逆时针包围坐标原点N=P-Z周。辅助函数F(s)设系统的特征方程1.Ｆ(s)的零点是闭环系统的极点，

Ｆ(s)的极点则是开环系统极点辅助函数F(s)的特点2.Ｆ(s)的零点与极点个数相同3.Ｆ(s)与只差一个常数１奈氏路径幅角原理要求奈氏路径不能经过F(S)的奇点。无处于虚轴上的开环极点（开环无积分环节或振荡环节）开环有积分环节用半径的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点开环有振荡环节映射曲线(奈氏曲线)的绘制方法无处于虚轴上的开环极点(开环无积分环节或振荡环节)关于实轴对称，只需绘制的映射曲线（1）令s=jω带入G(s)H(s)，得到开环频率特性。（2）画出对应于大半圆对应的部分实际物理系统n>=mn>m时G(s)H(s)趋于零(原点）n=m时G(s)H(s)为常数开环有积分环节（1）令s=jω带入G(s)H(s),得到开环频率特性。（2）画出对应于大半圆对应的部分——开环频率特性的终点（3）画出对应于对应的部分当时，，曲线将沿无穷大的圆弧顺时针转过开环有振荡环节下面只讨论对应的映射曲线当时，曲线将沿无穷大的圆弧顺时针转过ImRe0根据幅角原理，s沿奈氏路径顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针围绕坐标原点N=P-Z周。稳定性判据：

如果在s平面上，s沿奈氏路径顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针旋转N=P周，则系统是稳定的。（即Ｚ＝０）映射曲线围绕原点的情况相当于G(s)H(s)的封闭曲线围绕（-1，0）的运动情况。奈氏稳定判据如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条件是：当由变到时，开环频率特性在复数平面的轨迹不包围（-1,j0）这一点。

如果开环系统是不稳定的，开环系统特征方程式有P个根在右半s平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：当由变到时，开环频率特性的轨迹在复平面上应逆时针围绕(-1,j0)点转N=P圈。否则闭环系统是不稳定的。例：绘制开环传递函数的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。用奈氏稳定判据判断系统的稳定性闭环系统稳定例:系统开环传递函数为

没有极点位于右半s平面，P=0。

闭环系统稳定闭环系统不稳定一型系统逆时针包围正穿越=轨线在负实轴区间

从上向下穿越负穿越=轨线在负实轴区间

从下向上穿越顺时针包围说明：从轴上出发，算半次穿越

开环系统特征方程式有P个根在右半s平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：当由0变到时，开环频率特性的轨迹在复平面上

(-1,j0)点左侧，正穿越－负穿越＝P/2。否则闭环系统是不稳定的。奈氏判据的实际方法例:系统开环传递函数为

解：闭环系统不稳定二型系统闭环系统稳定轨线通过（-1，j0)点，闭环系统临界稳定

例:系统开环传递函数为

解：渐进线与负实轴的交点一型系统闭环系统不稳定闭环系统稳定5.4.2对数频率稳定判据对数频率稳定判据:

若系统开环传递函数P个位于右半s平面的特征根，则当在的所有频率范围内，对数相频特性曲线(含辅助线)与线的正负穿越次数之差等于P/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。辅助线的作法：系统存在积分环节时，Bode图从处向上补作虚直线系统存在一个振荡环节时，Bode图从处向上补作虚直线至处ImRe0例：闭环系统在s右半平面有2个根

根据奈氏判据，对于开环稳定的最小相位系统，根据开环幅相曲线相对点的位置不同，对应闭环系统的稳定性有三种情况：

(1)当开环幅相曲线包围点时，闭环系统不稳定；

5.5控制系统的相对稳定性

(2)当开环幅相曲线通过点时，闭环系统处于临界稳定状态；

(3)当开环幅相曲线不包围点时，闭环系统稳定。可见，开环幅相曲线靠近点的程度表征了系统的相对稳定性，幅相曲线距离点越远，闭环系统的相对稳定性越高。开环幅相曲线越靠近点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。

即：

相位裕度：开环系统频率特性的幅值为1时，系统的开环系统频率特性的相位角与之和，记为-11——系统的幅值穿越频率满足：5.5.1相位裕度或相位裕量的物理意义：对于闭环稳定系统，如果开环系统频率特性的相位角再滞后度，则系统处于临界状态；若开环系统频率特性的相位角滞后大于度，系统将变成不稳定。-11稳定系统-11不稳定系统正相位裕量负相位裕量正相位裕量负相位裕量稳定系统0dB不稳定系统0dB称为相位穿越频率满足：

增益裕度：开环系统频率特性的相位角为时，系统开环频率特性幅值的倒数。即：-115.5.2增益裕度增益裕量的物理意义：对于闭环稳定系统，如果系统的开环增益增大倍，则系统处于临界稳定状态；如果系统的开环增益增大倍以上，系统将变成不稳定。-11-11稳定系统不稳定系统增益裕量如果用分贝表示增益裕量（单位为），定义为：

正增益裕量稳定系统0dB不稳定系统0dB负增益裕量

1．相位裕量和增益裕量表示开环幅相曲线对点的靠近程度，从而表示系统的相对稳定程度。

2．只用增益裕量和相位裕量，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。关于相位裕量和增益裕量的几点说明

3.对于开环稳定的最小相位系统，只有当和时，闭环系统才是稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕量指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕量指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。

为了得到满意的性能，一般取相位裕量增益裕量例：(1)求K=5时，相位裕量和增益裕量解：K=5时,

(2)

用频率分析法求出系统处于临界稳定状态时的K值由增益裕量的物理意义可知：

若开环增益增大h倍，则系统处于临界稳定状态。5.5.3开环对数频率特性与相对稳定性的关系伯德定理伯德第一定理指出，对数幅频特性渐进线的斜率与相角位移有对应关系。伯德第二定理指出，对于一个线性最小相位系统，幅频特性和相频特性之间的关系是唯一的。当给定了某一频率范围的对数幅频特性时，在这一频率范围的相频特性也就确定了。反之亦然。开环对数幅频特性渐近线频率与相角位移对应的关系1.开环对数幅频特性低频段斜率对相位裕量的影响虚线实线结论:低频斜率大,时,比较大2.开环对数幅频特性高频段斜率对相位裕量的影响虚线实线结论:高频斜率大,时,比较大-1/-2特性3.

开环放大系数对相位裕量的影响结论:-2/-1/-2特性-2/-1/-2特性,且使,则称最佳系统若n=4,则称为三阶系统最佳工程。结论：在中间时取最大值选择K,使,则可使取最大值

-2/-1/-3特性结论:1.穿过的幅频特性斜率以-20dB/十倍频为宜，一般最大不超过-30dB/十倍频。2.低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段有斜率更大的线段可以提高系统的稳态指标；高频段有斜率更大的线段可以更好地抑制高频干扰。3.中频段的穿越频率的选择，决定于系统暂态响应速度的要求。4.中频段的长度对相位裕量有很大影响，中频段越长，相位裕量越大。5.6闭环系统频率特性1.谐振峰值Mp

定义：是闭环系统幅频特性的最大值。通常，Mp越大，系统单位过渡特性的超调量δ%也越大。2.谐振频率ωp定义：是闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。

3.带宽频率ωb定义：闭环系统频率特性幅值，由其初始值M(0)减小0.707M(0)时的频率（或由=0的增益减低3分贝时的频率）

频带越宽，上升时间越短，但对于高频干扰的过滤能力越差。

4.剪切速度定义：是指在高频时频率特性衰减的快慢。在高频区衰减越快，对于信号和干扰两者的分辨能力越强。但是往往是剪切速度越快，谐振峰值越大。单位负反馈系统的闭环频率特性为幅频特性相频特性-5.6.1开环频率特性与闭环频率特性的关系等M圆图设当时，5.6.2等M圆图和等N圆图显然，在复平面上，它是通过点时且平行于虚轴的直线。2.等N圆图坐标系直角坐标系—开环L()和()；等M曲线令M为常数,为变量,依次计算值对应的L()。等N曲线令N为常数,为变量,依次计算值对应的L()。5.6.3尼柯尔斯图线

例：考虑一个单位反馈控制系统，其开环传递函为试确定增益K值，使得

解：为了确定增益，第一步工作是画出下列函数的尼氏图。图中，在ω=35时与M=1.4dB的轨迹相切，所以闭环系统的谐振峰值为Mp=1.4dB=1.18，谐振频率为=35。改变K值，将上下移动，可方便的看出K与闭环系统谐振峰值、谐振频率、频带宽的影响。5.6.4非单位反馈系统的闭环频率特性求非单位反馈系统的频率特性的步骤如下：1.画出开环传递函数G(j)H(j)的Nichols图；2.由开环Nichols图得到对应的单位反馈的闭环系统的Bode图；3.在Bode图上画出H(j)的曲线；4.在Bode图上，由步骤2求出的幅值和相角分别减去H(j)的幅值和相角。5.7频域性能指标与时域性能指标的关系5.7.1开环频域指标与时域性能指标的关系为了能使用开环频率特性来评价系统的动态性能，就得首先找出开环频域指标、与时域动态性能指标、的关系。二阶系统闭环传递函数的标准型式为

开环频率特性为

1.相位裕量和超调量之间的关系

由与的关系图如下

与的关系图如下

2.相位裕量和调节时间之间的关系

5.7.2闭环频域指标与时域性能指标的关系

Mp、与时域指标、之间亦存在某种关系，这种关系在二阶系统中是严格的、准确的，在高阶系统中则是近似的。

1.谐振峰值Mp和超调量δ%之间的关系2.谐振峰值Mp和调节时间ts的关系3.频带宽BW和之间的关系5.8用MATLAB进行频域分析5.8.1频率特性图的绘

伯德图

Bode(num,den)

若具体地给出频率的范围，则可以用函数

w=logspace(m,n,npts);

bode(num,den,w)；来绘制系统的伯德图。

若需指定幅值范围和相角范围，则需按以下形式调用：

[mag,phase,w]=bode(num,den)或

[mag,phase]=bode(num,den,w)

对于这两种方式，必须用下面的绘图函数才可以在屏幕上生成完整的伯德图。

subplot(211),semilogx(w,20*logl0(mag))；

subplot(212),semilogx(w,phase)其中，semilogx函数表示以为单位绘制幅频特性曲线。

奈氏图

nyquist(num,den)当用户需要指定频率时，可用函数

nyquist(num,den,w)

Nyquist函数还有两种等号左端含有变量的形式

[re,im,w]=nyquist(num,den)[re,im,w]=nyquist(num,den,w)；5.8.2相位裕量和增益裕量的计算[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)

此函数的输入参数是幅值(不是以dB为单位)、相角与频率矢量，它们是由bode或nyquist命令得到的。

或[gm,pm,wcg,wcp]=margin(sys);或margin(sys);

例：h1=tf([2.33],[0.1621]);h2=tf([1],[0.03681]);h3=tf([1],[0.001671]);h=h1*h2*h3;[num,den]=tfdata(h);[mag,phase,w]=bode(num,den);subplot(211);semilogx(w,20*log10(mag));gridsubplot(212);semilogx(w,phase);grid[gm,pm,weg,wep]=margin(mag,phase,w)5.8用MATLAB进行频域分析5.8.1频率特性图的绘制

伯德图

Bode(num,den)

若具体地给出频率的范围，则可以用函数

w=logspace(m,n,npts);

bode(num,den,w)；来绘制系统的伯德图。

在MATLAB命令窗口中可以得到系统的稳定裕量：

gm=54.0835pm=93.6161wcg=141.9361wcp=11.64205.8.2相位裕量和增益裕量的计算[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)[gm,pm,wcg,wcp]=margin(sys);margin(sys);h1=tf([2.33],[0.1621]);h2=tf([1],[0.03681]);h3=tf([1],[0.001671]);h=h1*h2*h3;[num,den]=tfdata(h);[mag,phase,w]=bode(num,den);subplot(211);semilogx(w,2