课堂教学中数学文化的挖掘

课堂教学中数学文化的挖掘数学与信息科学学院左敬亮zjl602@126.com2012年河南省农村骨干教师培训内容提要一、对数学文化的认识二、数学文化的教育价值三、关于数学文化教学实践的研究现状四、中学数学课程中的数学文化教学探索打开数学科学的历史画卷

展示数学文化的及教育价值克莱因这样写道：“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”前言随着20世纪数学观与数学教育观的变化，人们愈来愈深刻而明确地认识到，数学是人类文化的重要组成部分。正如音乐不仅仅是音符节拍，绘画不仅仅是线条和颜色，数学也不仅仅是一些公式、规则、方程式的堆砌。数学和其他人类创建的文明一样，具有特定的文化价值。数学是一个开放的系统，有来自于内部和外部的文化基因。一方面，数学的内容、思想、方法和语言，深刻地影响着人类文明的进步。另一方面，数学又从一般文化的发展中汲取营养，受到所处时代的文化的制约。在这个意义上说，数学教育是数学文化的教育。一、对数学文化的认识（一）文化人类在社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。即一切非自然的、由人类所创造的事物或对象。“文化”具有社会性、历史积淀性和民族性等特点．文化有导向的功能、教育的功能、约束的功能和解读的功能；文化心理是影响“人格”的主要因素。（二）什么是数学文化专家认为：“按文化的结构，数学作为科学，属于文化的精神文化结构层次，它由外显的知识即数学科学凝固而成的物质形态和内隐的思想、观念、价值、思维方式等精神形态构成。”也有人认为：“数学作为一种文化是一个多元的复合体，它不仅包括数学的知识成分（命题、方法、问题、语言），而且也包括数学的观念成分（数学传统：数学共同体的共有观念）。”数学文化迄今为止还未形成一个统一的贴切定义。在国内，比较流行的说法有：

郑毓信给出的一个定义：“数学文化就是数学共同体特有的行为、观念和态度，即‘特定的数学传统’。”

王新民教授则从课程论角度给出定义：“数学文化是指人类在数学行为活动的过程中所创造的物质产品和精神产品，物质产品是指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分；而精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分。”他还认为：“知识性成分是观念性成分的物质载体，观念性成分是物化在知识性成分之中的。”在国外，美国著名文化学者怀特（L·White）指出：“数学真理既是人所发现的，又是人所创造的，它们是人类头脑的产物，但它们是被每个在数学文化内成长起来的个人所遇到或发现的。”首先，数学是一种特殊的文化形态，是人类文化的主要组成部分。著名美国数学史学家克莱因指出：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时一直是这种文化极其重要的因素。”在人类文化的发展过程中，数学与宗教、哲学、自然科学有着千丝万缕的联系。其次，数学是一种文化精神，它可以进入人的观念系统影响人们的世界观和人生观。综上所述，我们还可将数学（数学文化）理解成是“知识”，只是这里的“知识”既包括“显性知识”（知识性成分），又包括“默会知识”（观念性成分），两者功能不同，前者主要具有“科学技术教育”，后者主要具有“社会文化功能”。数学里的文化数学是人创造的。正如克莱因所说：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可以改善物质生活，但数学能给予以上一切。”数学家在研究现实世界的数量关系和空间形式的时候，不可避免地打上那个时期的文化烙印。数学家的创造，是他所处时代的文化产物，反过来又丰富了那个时代的文化。我们应该从这样的互动中认识数学的文化本质，并且在数学教学中揭示数学的文化意义，使学生受到深刻的文化感染。1、数学是人类文明的龙头人类文明往往以数学成就作为特殊的标志。古希腊文明博大精深，但是传留于世的一个标志性著作是欧几里得的《几何原本》，它的印刷量仅次于圣经。17世纪的资本主义文明，是以牛顿的科学成就作为标志的。他所创立的微积分成为那个科学黄金时代的基础。以爱因斯坦的相对论为代表的现代科学文明，则建立在黎曼几何之上。20世纪下半叶开始的信息时代，则以数学信息论、数学控制论，以及电子计算机的冯·诺依曼方案为代表。从人类文明的高度来审视数学，就不会再简单地把数学看成逻辑的堆砌。数学是人类文明史上美丽的女王。2、数学打上了人类各个文化发展阶段的烙印以古希腊的数学和中国古代数学为例，说明不同的民族文化会产生不同风格的数学，它们都具有鲜明的时代文化烙印。例如，“对顶角相等”是否需要证明？两条直线相交，形成四个角，一共两对。彼此相对着的一对角称为对顶角。古希腊数学家欧几里得(约公元前330一275)撰写的《几何原本》里证明了这个定理：

“对顶角相等”。在如图上，即指A=B。看《几何原本》里怎么证明的。命题对顶角相等。证明：因为角A+C=B+C=平角．根据公理3：等量减等量，其差相等。因此，A=B．ABCD这是典型的用公理进行逻辑推演的结果，展现了古希腊文明在探求真理上的理性思维，现已成为人类最宝贵的精神财富。中国古代数学也具有光辉的成就。标志性的著作《九章算术》在春秋战国时期已经初步形成。书中有丈量田亩的“方田”等共九章幻灯片80，因而得名。然而，我们翻开《九章算术》根本看不到“对顶角相等”这样的命题，甚至没有明确地提到“角”的概念。这究竟是为什么呢？主要在于古希腊数学和中国的数学是在两种不同文化的影响下产生的。中国古代数学崇尚实用。《九章算术》中的问题，多半是谋士（包括数学家）向君王建议管理国家的理念和数学方法。比如，为了核实财产，需要丈量田亩；为了抽税，需要有比例计算；为了水利工程，需要计算土方；为了测量天文和地理，有时需要解方程。计算的便捷和精确，成为中国数学的特征。这样一来，中国的传统数学成了“管理国家”的“文书”。如果说，中国数学是世界上“管理数学”的最早文献，大概是不会错的。也正因为如此，诸如“对顶角相等”这样的问题，和管理数学没有什么关系，自然就不在研究的范围之中了。然而，古希腊的城邦实行“奴隶主的民主政治”。那里由男性奴隶主选举执政官，提出预算，决定是否宣战等重大问题。虽然这是少数人的民主，对大多数奴隶来说，并无民主可言。但是在这种“小民主”制度下毕竟要选举，于是有了在选举中说服对方，争取选票的需要。反映在文化上，便有了“说服”对方，进行证明的动机。他们认为，证明的最好途径是从大家公认的真理(公理)出发，通过逻辑推演得到结论。在这样的文化背景下，用“等量减等量”的公理证明“对顶角相等”，就是很自然的事了。不同的文化孕育了不同的数学。古希腊的数学闪耀着理性思维的光辉，不迷信权威，不感情用事，不人云亦云，而是客观地、冷静地、逻辑地进行思考，探求真理。这就是我们应该向古希腊文明学习的地方，也是我们学习几何证明的重要目的之一。那么，中国传统数学就不重要吗？不。中国传统数学以计算见长，具有“算法数学”和“数学机械化”的特征。祖冲之(429—500)在这个基础上，计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，两个近似值是约率(22／7)和密率(355／113)。还有祖氏父子关于球体积公式的推算，这是数学史上一个重大的贡献。129中国传统数学成就到了公元2000年，吴文俊因“数学机械化方法”的重大数学成果获得第一届“国家最高科学技术奖”。他的贡献之一是用计算机能够证明所有已知的平面几何定理，而且发现一些新的定理。他是在信息时代既能继承中国古代“算法数学”传统，又能发展古希腊数学精神的典范。学习和吸收人类一切优秀的文化遗产，继承和发展中国传统文化的精华，是我们永远需要坚持的方向。从这个例子也可以看出，学习数学不能脱离有关的文化背景。（三）数学从社会文化中汲取营养数学家在创立数学的时候，不断地从一般文化中汲取营养。许多数学的本原思想和人类普通的思想是相通的。比如：守恒。在变化中找到保持不变的规律，称为守恒。数学上的“对称”和文学中的“对仗”是相通的。数学上的对称，是指在运动变化中保持的某种不变性。所谓“对仗”，则是在上联变为下联的过程中，保持着意境、语词的某种不变性。“明月松间照，清泉石上流”，是王维的诗句，对仗十分工整。文学通过这样的“守恒”，体现睿智和均衡的美。守恒是客观规律，发现守恒是科学的胜利，认识守恒是美的享受。那么，数学又是怎样和守恒连在一起的呢?其实，从小学起，我们就在和守恒打交道。数字相加和相乘的交换律就是守恒定律，位置交换了，变化了，但是它们的“和”与“积”不变。a+b=b+a,a.b=b.a。再如分数，这些分数的形式各不相同，面貌变了，但是他们表示的大小数值没有变，都是0.5。这当然也是守恒。利用分数表示的守恒规则，我们可以通分，进行分数的加减乘除。在几何上，两个全等的图形，它们的长度、角度、面积等等都不变。这就是说，全等图形经过运动之后，长度、角度、面积是守恒的。数学思想的建立离不开人类文化的进步。在本原的思想上，例如守恒，许多学科之间都彼此相通。数学课上指出这一点，就会增加学生对数学的亲切感。与此同时，学生也就更容易理解数学的真谛。（四）数学思维方式对人类文化的独特贡献数学的科学抽象，形成了一个人工的宇宙。一般来说，抽象是人类认识世界的方式之一。恩格斯曾经说过：“数学是一种研究思想事物的抽象的科学。”从1，2，3，……的自然数开始，一切数学内容都是以抽象的形式出现的。也正因为如此，数学为人类提供了用高度抽象思维把握现实存在的文化范例。如果说，哲学是自然科学和社会科学的概括，那么，数学则是这两大科学在数量上的抽象概括。数学是世界的抽象化、符号化描述。数学世界是一个由人类来编织的、有自己严密的组织与系统的、超物质的理性思辨体系。数学的这一特质，成为人类思维的象征。数学理性成为人类文明的核心部分之一。实际上，这也是数学成为学校最重要课程之一的原因。数学理性思维的产物：数的世界。数字“1”，就可以表示世界上所有单个物体；自然数是人类直觉的产物，却在抽象的领域内获得思维的更大自由。负数、分数的引入，构成了最初的数量世界。与此同时，“=”的引入，标志着数量上的某种统一性。相等的推广，就有全等、同解、等价、同伦等等抽象数学概念的出现。当然，与相等对立的“不等”，引发出“大小”、“顺序”的概念。事实上，没有这些抽象，也就没有人类文明。让我们看一些例子。早期数学知识的积累数学是人类思维的精致化。徐利治先生引用“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”的名句，描绘数学上“极限”的意境，可称绝妙。初唐诗人陈子昂有诗云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”他给我们描述了一维的时间，三维的天地。数学，则将它精致化为时间直线和三维的欧氏几何。解析几何则使之可以用数量进行描述。数学理性并不是天上掉下来的，是人们日常思维的精致化。数学抽象的又一个重要台阶是无理数的发现。这是人类跨越无限的第一个胜利。它不是来自直观，而是理性思维的结果。毕德哥拉斯学派数学成就。接着，微积分的发明，再次跨越无限，催生了科学的黄金时代。学习微积分，就是学习人类如何跨越无限，掌握无限。康托向无限进军，创造了无限集合的超限数理论，达到了理性思维的新高峰。希尔伯特的形式主义数学体系以及哥德尔论证形式主义体系的两个不完备性定理，成为人类理性思维的伟大结晶。数学理性的又一个伟大胜利是非欧几何的创立。人类摆脱直觉的限制，建立了理性的几何世界。复数和四元数的发现，抽象群论的建立，无限小分析的严密化，终于创立了纯粹数学理性的王国。数学理性的新境界，则是数学模拟世界。数学模型将自然世界中的原因抽象为用符号表示的数量和结构，运用数学的抽象工具加以分析，并将得出的结果还原为现实。数学模型是理解自然现象的钥匙。近来，借助计算机技术创立的模拟实验、模拟战场、模拟社会，使得数学理性世界和现实世界紧密结合，成为人类改造自然的利器。由上述若干例子说明，数学是从数量（广义的）侧面观察事物。数学家抽象和数学理性的世界是非自然的、人文的，具有文化的形态，正如科学和艺术也在构造自己的思维方式。例如，艺术构造的世界包括：用音符写成音乐；用笔绘成图画；用泥构作雕塑；用构件孕育建筑。艺术家用形象思维使得艺术作品具有人文价值，折射出世间万象，从而形成艺术上的文化形态。二、数学文化的教育价值（一）数学的文化价值数学作为人类文化极其重要的组成因素，对人类文明发展有着举足轻重的作用，特别是现代文化的发展更表明了数学文化的地位和作用。数学除了具有一般文化的价值外，亦具有独特的文化价值。1、认识价值从哲学上看，任何事物都是量和质的统一体，要获得对事物本质的清晰认识，就必须对事物的量进行分析，而数学正是一门研究“量”的科学，因而必然成为人们认识世界的有力工具。（1）数学：科学的语言数学成为描述自然和社会的语言，数学是一种语言，一种普遍使用的科学的语言。首先，数学作为科学的语言向科学贡献了许多概念。数学概念成为科学概念的基础，许多数学概念成为一般科学中的基本概念和基本用语。如集合、空间、极限、算子、随机性、线性、非线性等等。其次，数学语言具有单义性、确定性的特点，因此，运用数学语言表述科学概念与原理清楚、准确，不会产生歧义，能够克服自然语言的多义性，从而保证科学概念的科学性、精确性。总之，数学语言已成为一种通用的理想化的语言。（2）数学：普遍适用的思想方法数学作为形成现代文化的重要力量，提供给人类的不仅仅是现成的知识、工具，更重要的是，它提供给人类以崭新的思想和无穷的方法。在数学的众多思想方法之中，带有根本性的思想方法恐怕就是公理化思想、数学模型方法等。时至今日，数学的许多重要的思想方法，早已超越数学自身的领域，而成为人类具有普遍适用性的思想方法。首先，数学的思想方法起着科学示范的作用。其次，数学思想方法为其他科学提供了普遍思想框架。2、智力价值数学是人类智力的创造物，因而成为训练人的智力、提高人的智力水平的最为有效的途径。实事求是地说，就培养人的智力的功效来讲，就培养人的思维的深度、广度以及系统性而言，再没有其他一门学科能与数学相比了。人的智力的核心是思维能力。数学可以为思维能力的提高和发展提供全方位的训练。在数学学习中，无论被称之为“数学老三大能力”的运算能力、逻辑思维能力和空问想像能力，还是被称之为“数学新三大能力”的数学应用能力、数学探索能力和数学阅读能力，思维能力都是各种能力的核心能力。数学中的几何是思维训练最具力量的学科，它对训练人们的智力、提高智力水平具有独特的价值。历史上许多科学巨匠，如笛卡儿、牛顿、爱因斯坦等都曾得益于他们少年时代的几何学习。另外，数学的智力价值还表现在智力探险的意义上。仅仅把数学看成是一门实用的工具学科的观点是片面的。在数学中，有不少领域及其研究成果至少在可以预见的未来似乎并不可能产生某种重要的实用价值，然而，依然有许多数学家活跃在这些领域，每当他们取得一项重要研究成果，都意味着人类在智力攀登中达到了一个新的高度。3、精神价值数学是人类最重要的创造性活动之一，作为一种创造性活动，数学世界能够不断地提高人类的精神境界，推动人类的精神文明和进步。（1）理性精神理性精神是人们对外部客观世界与自身的一种理智的、根本的看法或基本态度，它对人类自身存在和文化发展具有特别重要的意义。数学对象并非现实世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，它存在于一个独立的、不依赖于人的意志为转移的客观世界——理念世界——之中。一方面它是人脑抽象思维的创造物，另一方面它又是不依赖于人的意识而独立存在着的。数学对象的这种二重性质也就构成了数学文化的二重性，而这正是数学理性的重要内涵——主客体的严格区分，但是，在数学研究中，又是采取纯客观的立场——把数学对象看成是不依赖于人而独立存在的，采取纯逻辑演绎的方法。数学研究对象和研究方法所蕴含的理性精神，对于人类文化发展和认识世界、改造世界具有特殊的重要意义。从人类文化各个阶段的发展看，无不印证着数学中充满理性精神，是其他任何一门科学无法比拟和所能替代的。（2）求实精神求实精神表现为尊重事实、尊重科学、尊重规律、实事求是、讲究逻辑、不迷信、不盲从。这是追求真理的精神体现。数学的逻辑性、确定性，为数学的求实精神提供了可靠的保证。逻辑性表现在数学形式中的因果关系和顺序关系，确定性反映数学的一切概念都是十分精确、简炼的语言表达。数学认识世界的规律性反映在命题中的结论的必然性、可验证性；数学对真理的检验反映在方法既具有一般科学研究方法的合理性，又具有逻辑的可靠性。数学求真、求实的精神孕育其中。（3）创造精神数学是一种创造性活动和创造性活动的精神产物。首先，数学概念的建立具有前所未有的创意。许多数学概念的产生和获得都凝聚着人类的创造性劳动，如无理数、虚数、四元数、极限、导数、积分等概念，就是今天看来最简单的“o”的产生，也无不证实这一点。其次，数学的创造也表现在公式、定理的发明、发现中。如圆锥曲线描述了行星的运动轨迹、麦克斯韦波动方程预见和揭示了电磁波的存在、薛定谔方程成功解释了微观粒子的波粒二重性；再如对慧星的预测、哈雷彗星的重现以及海王星的发现等等，都是数学创造的成功体现。再次，数学的创造还表现在数学理论体系和语言系统的创建上，如欧氏几何的公理体系和代数、微积分的符号系统都是这种数学理论体系和语言系统创建的一大见证。创造，是数学进步的灵魂，是数学兴旺发达的内在的不竭动力。4、美学价值英国数理哲学家罗素(Russell)说：“数学，如果真正地看它，不但拥有真理，而且具有至高的美。”数学美是一种理性美，是一种冷而严肃的美。概括起来具有简洁美、和谐美、奇异美。（1）简洁之美在数学美的各个属性中，首推的就是简洁美。数学的简洁之美首先体现为数学符号的简洁。数学符号从自然数到分数、从整数到小数、从正数到负数、从有理数到无理数、从实数到虚数，无不体现了数学的简洁。试想没有这些简单的符号，人类会遇到何等的麻烦。更不用说方程的符号、函数的符号、微积分的符号、微分方程、积分方程的符号，这些符号所反映的极其抽象的关系，给人类带来了无尽的方便。（2）和谐之美和谐之美是数学美的一大特点。数学的这种和谐美表现在它的对立统一之中，从可公度到不可公度、从算术根到虚数根、从有限到无限、从不连续到连续、从不可微到可微、从确定到随机，无不是在从不矛盾到矛盾，又从矛盾到不矛盾的转换之中。这种对立统一关系的发展，使数学的和谐美蕴涵其中。开普勒正是坚信宇宙的根本是“数学的和谐”，而发现了著名的行星运动第三定律。（3）奇异之美数学的奇妙与变异也是数学美的源泉。从欧氏几何到非欧几何、从勾股定理到费马大定理、从代数方程的公式解到变换无穷的群论、从凸多边形的欧拉示性数到奇特的莫比乌斯魔带、从调和级数的发散到无法证实或无法证伪的哥德巴赫猜想，无不令人叹为观止。更令人惊叹不已的是，数学的这种奇异竟然能把数学送向一个又一个高峰。人们还熟知数学具有对称美、形式美等等，正如数学家与哲学家普洛克拉斯(Proclus)所说：“哪里有数，哪里就有美”。数学美是数学自身固有的，因而也是评价数学理论、数学成果的重要标准。美国《今日数学》的主编认为：“在数学客观评价中，审美的标准既重于逻辑的，也重于实用的标准……”。而英国科学家索利凡就任英国数学会伦敦分会会长发表演说时断言：数学修养的价值，就是艺术修养的价值。以上的阐述，主要从数学学科自身的特点，用认识论的方法，站在数学教育的角度，简略地探讨了数学的文化价值。充分认识数学的文化价值，从文化的视角去审视数学，在实施素质教育的今天，不仅具有重要的理论意义，更具有重要的现实指导意义。以上几个方面的数学文化视点，已经清楚地表明，数学本身具有广泛而深刻的文化内涵和人文价值，只是以往我们正视不够、不注意发掘而已。二、数学文化的教育价值（二）数学文化的教育价值数学在当代科技、文化、社会、经济和国防等诸多领域中的特殊地位是不可忽视的．数学不仅是一种“工具”或“方法”与“技术”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一门文化，即“数学文化”；数学不仅是一种“理论”，也是伙伴，数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。数学文化有着丰富的教育价值首先文化观念有利于教师和学生树立视野更为广阔的教学观、科学观和世界观。即数学作为一种文化建构的观点，将对数学教育本质规律的认识带来深刻的变化。其次，适宜的数学文化观念有助于数学课程的恰当定位。也就是说，数学文化把知识的相关的真实情境连同知识的抽象形式一起呈现，增强了数学知识的情境感和历史感。

第三，数学文化的观念有助于加深对数学教学活动本质的认识。在数学文化观念下，数学教学将不仅仅把数学当作是孤立的、个别的、纯知识形式，而是融入到个体整个文化素质结构当中。第四，数学文化观念之下的学习方式将会更加接近数学知识的生成过程，更接近于学生真实的认知与思维活动。第五，数学文化的观点还有利于促进各级各类学校教学的文理交融，克服人文文化与科学文化的对立。在《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》的“基本理念”中指出：“数学与人类发展和社会进步息息相关，特别是随着现代计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”。

在普通高中《数学课程标准》中尤其强调了数学文化的教育理念，设置了“数学文化”的课程模块，并强调要在各个模块的教学中都要体现和渗透数学文化．提出的数学文化教育的要求是：“通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。”数学是人类文化的重要组成部分，数学教育离不开文化的教育。近年来，我国正由原来仅适合精英教育的数学课程向着大众化、层次化教育的课程转变。因此，中学生数学文化观的确立，一方面可以形成一股具有认知“数学文化观”的先进力量，在社会的各个层面发挥作用，另一方面也可使数学文化的影响，在他们个体的可持续发展中得到在更广阔空间内和更长时间内的渗透与传播。三、国内关于数学文化教学实践的研究现状

现代化的社会生活使越来越多的人更深切、更直接的感受到数学科学知识的重要性，然而与此形成鲜明对照的是越来越多的人对数学学科有敬而远之的现象。目前，尽管新一轮基础教育新课程改革已经7年多，但不管是中学的数学教育，还是大学的数学教育，由于受到考试制度的影响，接受性教育仍然占主导地位，一方面使学生觉得数学枯燥无味，另一方面使学生只能从逻辑方面去狭隘地理解数学，不能在文化的背景下去认识和理解数学。

——R.柯朗（1941年，什么是数学的序言）两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。数学研究已经出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。不过，这种状况不能证明紧缩数学教育政策是合理的。相反，那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学。教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。

为了克服数学教科书和数学教学中的诸多弊端，克莱因认为数学史能起到有效的作用。数学史可以提供整个课程的概况，使课程的内容互相联系，并且与数学思想的主干联系起来；数学史可以让学生们看到数学家们的真正创造历史——如何跌跤、如何在迷雾中摸索前进，从而鼓起研究的勇气；从历史的角度来讲解数学，是使人们理解数学内容和鉴赏数学魅力的好方法之一。作为中学数学教师一般在上课前都要思考“教什么?”,“怎样教？”，“为什么这样教？”这三个基本问题，但这三个问题的解决确与我们教师自身所持有的数学观和数学教育观有着相当大的关系，教师的数学观是静态的，还是动态的，数学教育观是知识去向，工具去向，还是文化取向？这都将直接影响着教师的教学。当前的中学数学课程教学模式，表面上看视乎有了改革和创新，但深入到课堂教学不难观察到仍然是满堂讲占主要地位。这正如章建跃老师谈到的当前数学教学存在的主要问题时所说：数学教学“不自然”，强加于人，重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整；重解题技能、技巧，轻普适性思考方法的概括，缺乏方法论层次的内容渗透，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；

讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，所有这些，都不利于调动学生数学学习兴趣与内部动机；造成学生缺乏问题意识，不利于培养学生的创新精神和实践能力；不利于对学生整体数学素养的提高。存在这些问题的一个主要的原因是相当的一批中学教师都是深受传统的数学教学的影响，习惯性的采取注入式的教学方式，教学中过于偏重于演绎论证的训练，重结果轻过程，忽视了道德品质的培养、情感态度、价值感观的培养、数学文化的修养的养成、理性精神的培养，削弱了数学教育的人文属性，导致数学教育的人文内涵的流失。另一种原因是由于教师自身数学文化知识的匮乏，以及中学重应试教育的结果评价，轻视教学过程的评价体制等主客观原因，使教师不愿意在数学文化教学上下工夫，很少考虑如何通过中学数学教育，使学生全方位地认识和体验中学数学的价值，其中包括：理解中学数学是研究数量关系和空间形式的科学。它与人类发展和社会进步息息相关，使学生在理解数学中感受数学是模式的科学；认识数学是一个多元复合体；体会中学数学中的人文精神；领略中学数学审美；感受中学数学交流；尝试中学数学创新等。几年来，随着课程改革的深入实施，以及教育部、财政部“国培计划”的进一步推进，数学文化的教育价值越来越受到广大数学教育工作者的关注和重视，一些学校或教师个人先行一步，进行了多样的有针对性的数学文化教学研究与实践。多数高校，尤其师范院校将“数学文化”列为选修课的通识课程。在中学有些学校开设每日3分钟“数学文化”教育，内容是演讲“数学史话”。也有些老师以上教学实践课进行探索，均取得了较好的成效。但还有些老师，对于数学文化持观望的态度，没有进行具体的教学行动。有些教师开始尝试在课堂中渗透数学文化，引用数学名言、数学史料，很多时候使“数学文化”成了课堂教学的点缀和装饰品，将数学文化窄化为数学史，缺少对如何发挥数学文化的教育价值的追寻。简单“链接式”的数学文化教学没有触及学生的学习之中，教师也没有将“数学文化”有效地融入自己的教学之中。四、中学数学课程中的数学文化教学探索数学文化积淀于数学知识的形成和数学课程的建立之中，渗透于学生数学学习的各个方面。数学文化与数学育有着密切的联系，数学课程应当是实施数学文化教育的主阵地，是学生不断用心去触摸数学本质、感受数学内在文化本质的自由天地．数学课程教学应从具体的数学概念、原理、数学思想、数学方法中揭示数学的文化底蕴，向学生多侧面多视角地展现数学文化，用数学的精神、原则、思想提升学生的文化素养。数学教育只有深入到文化层面，而不仅仅局限于数学的知识层面，方能从科学的数学到作为文化的数学，才能铸造出新世纪的科学文化人。四、中学数学课程中的数学文化教学探索（一）转变教学观念，做数学文化的传播者要有效实施数学文化教育，转变教师的数学观和教育观是关键。因为，教师所持有的观念在很大程度上决定着教师所进行的教学活动，决定着教师和学生在数学活动中的地位和作用，包括两者相互作用的方式等。教师必须把它作为一种理念、一种价值取向体现到数学教学的设计之中，渗透到数学教学的过程之中，并贯穿于数学教学的始终。数学文化教育本身是一种潜移默化、耳濡目染的过程，教师要重视自身的感染力量，才有可能在课堂上得到很好的体现，而这也正是文化传播的一个主要形式。就像郑毓信教授所说“如果您的教学始终只是停留于知识与技能的层面，您就只能算是一个‘教师匠’，如果您的教学能够很好地体现数学的思维，您就是一个‘智者’，您给学生带来了真正的智慧，进而如果您的数学教学能给学生无形的文化熏陶，那您是一个真正的大师，您的生命也因此而充满了真正的价值。转变传统教学观念，让数学文化的教育能使数学的学习更容易一些，使更多的人喜欢数学、爱上数学，这应该是我们每一个数学教师永远追求的一个境界。（二）课程中多维度的建构突出数学文化点数学知识是一个静态的逻辑系统，而数学文化是一个动态的创造过程，无形的数学文化就隐存于数学知识之中，需要教师去关注和挖掘，并在教学中渗透传播。为了更好地体现数学课程的文化目的，应对数学课程内容进行整合，数学中每一个知识点背后，都蕴涵着丰富的数学文化内容，教师只要悉心组织，在讲到重要或关键的知识点时，就可适时渗透相关背景资料，对学生进行数学文化的熏陶。教师不能把教材当作唯一的课程资源，应该从中学生已有经验、认知水平和情感需求出发，多维度建构数学文化内容以吸引不同背景学生，深刻体悟数学本质与文化。文化点的重构可以从以下几方面入手。1、学科自身的起源点。介绍数学分支的起源点，可以让学生了解数学家原始的思考动机、思考方式以及解决策略，深刻体会数学思想和应用价值；介绍与所学内容有关的一些经典数学问题和传统数学分支以及当代数学科学的发展。通过史实与例证来揭示数学科学的精神实质和思想方法，体现数学对社会进步以及对相关学科的推动作用等。数学史的教学可以激发学生学习的兴趣，培养学生的创新精神，培养学生的民族自豪感，引起学生对数学文化的关注等。新旧教材都特别重视数学史料的应用。如下表：新旧教材数学史料的应用比较显然，教材05年版在章节背景介绍、阅读与思考、问题（例题）、正文内容、彩页插图、故事等渗透了39个数学史料内容，新版教材史料内容增加约143﹪。主要有圆周率、九章算术、负数、丢翻图的墓碑、算筹、华罗庚、盈不足、杨辉三角、毕达哥拉斯学派、海伦公式、角的度量和十六进制、几何的历史、作图不能问题、鸡兔同笼问题、勾股圆方图、圆，一中同长也。新旧教材史料的渗透比较表明：①数学史知识使用目的从爱国情怀教育发展到引导学生学习数学思想教育。注重学生思维培养。比如：负数的引入、方程的解法与应用、勾股定理。其中方程内容史料引入最多：从一元到二元，从一次到二次，都站在数学发展的视角上引导学生体验其中的方法与数学思想性。

②数学史知识介入由古代拓展到近、现代数学发展的相关知识。新旧教材数学史料的渗透表明：③介绍数学家的数学思考与问题解决方法，指导学生用数学眼光观察生活，引导学生学会用数学解决实际问题。

④在三角函数中，05年版重视三角函数的实际应用价值的介绍。⑤勾股定理作为单独章节出现

。例1在讲无理数时，教师可以介绍这样一段历史：公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现：一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相经庭。这一发现使得该学派的领导人惶恐、愤怒，他们认为这将动摇其在学术界的统治地位。希勃索斯因此遭到了沉舟身亡的惩处。然而真理是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”，人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是无理数的来由。这可以培养学生捍卫真理的勇气。例2在学习平面图形求面积、盈亏类问题、正负数、一次方程组和勾股定理时，可以向学生介绍我国经典的传统数学著作《九章算术》和《九章算术注》，介绍我国的数学家及其数学成果和数学家们探究数学结论的经历。如，《九章算术》是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作。《九章算术》简介秦汉年间形成了雏形。西汉的官员出于管理的需要，不断对之进行补充，使之成为比较完善的官方管理手册。王莽新政时期《九章算术》成为定本。以应用问题集的形式表述，一共收入246个问题编排方法：问题——答案，一类问题的“术”（一般算法），共有202个“术”。《九章算术》的章目1、方田（分数四则运算和平面图形求面积）2、粟米（粮食交易的计算方法）3、衰分（比例分配）4、少广（开平方与开立方）5、商功（体积计算）6、均输（运输中的均匀负担）7、盈不足（盈亏类问题计算）8、方程（一次方程组解法与正负数）9、勾股（勾股定理的应用幻灯片17，刘徽是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年，刘徽出身平民，终身未仕，被称为“布衣”数学家。刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后有对该书深入研究，他在全面论证了《九章算术》的公式、解法的同时，指出了它的若干错误及不精确之处。

刘徽现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本刘辉说“以三径一为率，皆非也。”批评前人“以3作圆周率”是不正确的。正是刘辉这些个人素质使之完成了《九章算术注》，而成为中国历史上伟大的数学家。刘徽自序：“幼习《九章》，长再祥览”。刘徽在《九章算术注》中首次给出了正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之”，就是说以得失表示相反的量，他还进一步阐述正负数学意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大。刘徽在《九章算术注》中贯穿的“出入相补原理”，赵爽创用“弦图”刘徽对勾股定理的“图证”，证明了一个基本的几何定理——勾股定理，体现用了代数思想解决了几何问题，是数形结合的纽带之一。刘徽的《九章算术注》丰富了《九章算术》的内容，发展了《九章算术》的方法，《九章算术注》的出现标志着中国传统数学形成了独有的理论体系。为后世留下了数学珍贵的遗产，为中国传统数学理论研究奠定了基础。例3在学习勾股定理时也可向学生介绍，我国最早的一部数学著作——《周髀算经》记载着勾股定理的资料，它出版于东汉末年和三国时期，据史料考证，它成书应于公元前240年——150年之间，比欧洲同类资料要早几百年，我国早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，而近代中国的科学技术水平却落后于欧美先进国家，饱受外凌：经过新中国六十余年的努力发展，我国在很多方面已经赶上世界先进水平，但是有些地方仍有差距。这样在课堂不失时机地鼓励学生要好好学习，立志成才，为祖国的建设作出应有的贡献。有了这样一种情感渲染，学生自然地会积极参与到学习中来，在学生们较好地掌握知识点后，教师在给予一定表扬和鼓励，那么整个课堂的气氛就会有所提升，由于发挥了“爱国情感”效应，教学效果和教学效率与传统匆匆枯燥地给出勾股定理，把大量的时间用于定理的应用的教法要好得多。还可以介绍阿基米德因沉迷于数学而被入侵士兵杀害，欧拉双目失明仍用心算创作，陈景润病魔缠身仍潜心“皇冠”摘宝，腿残的华罗庚与“优选法”。轮椅上的霍金“黑洞理论”……，以这些优秀数学人物的事迹来激励学生的努力学习，升华为科学、真理而奋斗的思想境界，逐步培养学生坚忍不拔，追求真理的探索精神。在数学课堂上，充斥“定理、公式、习题……”的同时适当通过“作者介绍、背景分析”，使学生了解数学知识的来龙去脉以及赖以生长的“土壤”，以丰富学生对数学知识的感性体验，就像历史课那样，讲一段“数学故事、数学家逸事”。使数学知识折射出人的意志和智慧而富有“人性化”，使学生在感动、开心之中更好地理解掌握数学知识。也可以像美术课那样，通过“数学作品”的解读，让学生感知数学的和谐、欣赏数学的美。数学课堂上可以适当加入一些与数学相关的内容，使静态的课堂活起来，并充满诗情画意！这样的课堂学生会感到有趣，会增强学生学习数学的动力，对学生的心灵成长、价值取向以及世界观等方面都会产生积极地影响。从而体现了数学的人文价值。例4介绍经典数学问题突出数学文化点介绍与所学内容有关的一些经典数学问题和传统数学分支以及当代数学科学的发展，通过史实与例证来揭示数学科学的精神实质和思想方法，体现数学对社会进步以及对相关学科的推动作用等。“哥尼斯堡七桥问题”、《孙子算经》中的“物不知数”问题、自然数序列构成的级数公式（或规律）、丢番图的墓志铭丢番图解一次方程的方法等。2、学科自身的发展点．每个数学学科分支都有自身的发展脉络，都有其内在的一种独特的理想追求，学生了解了发展点，才会对学科有一个整体的全局性把握，才能使知识碎片连成一串，形成体系。学科自身的发展点.ppt3、结合教材挖掘学科自身的审美点《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》中教学目标之一是情感、态度、价值观，《普通高中数学课程标准（实验稿）》则明确提出了数学的美学价值，可见完善的数学教育需要介绍数学美，我国著名数学家徐利治先生明确指出：“数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式无不体现出数学中美的因素”。数学美具有科学美的一切特性，不仅具有逻辑美，更有奇异美；不仅内容美，而且形式美；不仅思想美，而且方法美、技巧美，简洁美、匀称美、和谐美，教师要有意识引导学生“驻足欣赏”。让学生在学习数学过程中欣赏数学美，有助于陶冶学生的情操，更新学生的审美观念，激发学生数学学习兴趣。初中数学教材中到处可以挖掘出数学美，这为数学的美育功能提供了很好的素材。挖掘简洁美。简洁美无处不在，图案设计、国画艺术、标志性建筑等都要求简洁，数学更是以简洁著称。例1用特定符号表示数学概念的简洁美。因为数学概念有两层意义：一层意思是，数学概念反映的是一类对象的共同特征（量或形式方面），而不是个别事物的属性。例如，“三角形”这个概念，不是指任何具有特定形状、大小的三角形，而是所有那些形状、大小各异的三角形的总和。正因为如此，在数学实践活动中，可以用一个特定的符号简明扼要地表示某个数学概念，比如用符号“”表示所有非负实数的算术平方根。另一层意思是，数学概念反映的是一类对象的本质属性，即该类对象的内在的、固有的、区别于其他对象的属性，而不是那些非本质的属性。例如，“圆”反映的是“平面内到一个定点的距离等于定长的点集”，据此，我们能够把“圆”与其他概念表示的图形区别开来。平行四边形、梯形以及平面几何的面积公式等，形式简洁规整，应用广泛普遍。而且数学中的简洁美还是优化解题思路的内驱动力因素之一，教师应当告诉学生解题中如何获得最佳解答方案总是受数学的简洁美所支配，每一个复杂问题的背后一定蕴含着一个简洁的解法，学生会感到一种心灵上的满足，是一种美的享受。例2挖掘数学的和谐美，数学的和谐美涉及很多，定理多样化的应用的和谐美，例如整数和分数统一为有理数，有理数学和无理数统一在实数内；加、减、乘、除的运算意义和各部分构成一个整体之间的相依、相反关系，从横向分析，加与减，乘与除之间存在着可逆的关系；从纵向分析，加与乘，减与除之间又存在着互相转换的关系，几何图形中，如正方形、等腰三角形、圆等，都是优美的图形，三角形是金字塔的缩影，圆是太阳的象征。每一个数学公式就是一首诗，公式C=2R就是其中的一例，一个传奇的数？把圆周长和半径紧紧相连，反映了两者之间有着异常的简洁、和谐美，这是数学家的智慧与大自然灵气撞击而再生的哲学美。例3挖掘对称美，通过数学软件(mathematic、matlab或几何画板验证旋转的性质)让学生欣赏各种不同的对称曲线，如星形线、心形线、笛卡尔叶形线、蔓叶线、三叶玫瑰线等．数学的运算中透出对称美，如a+b=b+a,ab=ba等号两边是对称的，从而归纳出交换律，等腰三角形、等腰梯形等。对称性还是数学发现与创造中的重要的美学因素，解题时一旦题目提供的知识信息与学生的审美感吻合，就会激起学生的审美直觉，从而迅速、正确地确定解题方法、解题思路。教师应让学生感悟到数学解题是一种审美活动，是在审美情感支配下对数学美的追求。例4挖掘数学的严谨美，严谨是数学的独特之美。例如，几何中的平行线的特征与识别定理、三角形全等的识别定理、三角形相似的识别定、圆中的垂径定理等，每一句的内容是那样简洁严密，形式整齐，增一字则多余，减一字则不足，数学这种严谨性，正是数学美的伦理价值所在。例5挖掘奇异美，奇异的东西会引起学生的兴趣，从而从奇异的深处了解隐藏的东西，在教学平面几何的面积时，把平行四边形割补成长方形，有长方形的面积公式：长宽，推导出平行四边形的面积公式：底高，同样地把两个完全相同的三角形或梯形拼成平行四边形，有平行四边形面积公式推出三角形的面积公式。其次，解题方法的奇异、“黄金数”在生活中的应用毕德哥拉斯学派数学成就（4）通过学生的整体参与，让学生亲自体验到了思想加工的过程，强化了学生解决问题的能力，激励学生把数学知识应用于生活。这样引导学生感受数学中的生活，进行情感教育的熏陶，同时让学生走进生活实际。使数学学习真正成为一种有义的活动，并且在数学学习过程中，培养学生的自主学习意识和合作精神，培养学生严谨的治学态度和用于探索的科学精神，促进学生的全面发展，这是素质教育的一项重要任务。

4、与其它学科的共通点和交融点

几个世纪以来，国家的崇高地位、安全、康宁和发展总是与国民能力紧密联系在一起，这种能力又会受到面向各种复杂事物观念的影响。引导社会发展需要数学能力，数学能力会给国家带来发展优势，在医学和健康，技术和商业，航行和太空探索，防御和金融等方面，另外，在分析过去失败经验和预测未来发展的能力等方面带来优势。历史上这样的例子比比皆是。在数学教学内容中不仅应重视各门学科之间的交叉应用，还应抓住它们相互联系的纽带和本质．把这些联系和本质融入到数学教学的相关内容板块中．例如，在概率统计的应用、函数、方程等教学中可以融入许多物理、化学、生物、经济、日常生活等现实模型，构建数学模型，用数学知识处理模型，再回到现实解释模型．如此，学生可以充分体验数学的实用性，提高学习数学以及后续专业知识的兴趣．（三）教学中多角度的结合体现数学文化

数学文化有着自身的特点，数学课程教学中要充体现数学文化，必须要营造浓厚的数学文化的氛围，即数学文化场，只有让学生在数学文化场中自然地感受数学文化，才会潜移默化地接受教学文化的熏陶和感染，体会数学文化的品位。营造数学文化氛围可从以下几个方面做起：1、古今结合——既注重数学的历史，又重视当今先进的数学成果和新的数学思想方法．数学课程内容中应充分展现中国古代数学及其观念、思想、方法在人类文化发展中的重要作用和地位，以及在当今数学发展中具有的重大现实意义。数学史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程，学生对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程。数学史中还有很多的趣事逸闻，教学中恰当地穿插和引用这些材料，可抓住学生具有强烈好奇心的这一心理特征，激发学生积极学习和思维，让学生了解数学知识丰富的历史渊源，了解古人的聪明智慧，既可以使学生开阔眼界、增长见识，又增强探索数学的欲望，增加人文科学方面的修养．同时介绍数学在现代生活中的广泛应用，使学生感受到数学的巨大作用，通过培养学生用数学知识解决实际问题，体会和发展数学文化．2、内外结合——重视课内外数学文化的结合。既重视数学自身的规律和特征，也不忽视数学与社会、其他学科的相互联系。文化源于生活，又反过来影响生活，是实践和理论的关系。作为文化数学也是离不开生活的，是大众文化的一个组成部分。让学生认识到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，进而引导他们重视数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系。教师还要引导学生充分利用课外、校外的自然资源和社会资源，增加学生和社会现实生活相关的实践活动，使课程内容不仅仅局限于书本，还要拓展到学生的现实生活世界。案例1.ppt3、显隐结合——不仅要让学生体会到数学定理的严谨和美妙，更要使他们感悟到隐藏在这些定理背后的人文的精神和数学思想方法。数学文化是一种看不见的文化。克莱因指出，“数学是一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度”。教师要将凝聚在数学知识背后的“文化因子”予以外显，成为学生可以触摸、感受、体验、品味的东西。数学思想方法是最基本的数学文化素养，是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。并且数学思想随着其在不同知识中的体现，自身的内涵不断丰富。所以，对数学思想的渗透要有一个渐进的和反复的过程。初中数学中常用的数学思想方法有集合思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、对称思想、换元思想、模型思想等。教师在教学中可以从以下几方面进行数学思想方法的渗透。（1）备课钻研教材，挖掘数学思想方法（2）课堂实施教学，渗透数学思想方法（3）复习总结阶段，提炼数学思想方法（4）课外活动指导，深化数学思想方法数学思想方法的掌握要靠平时的积累，临时抱佛脚是行不通的。讲授时就要做到逐渐渗透与反复运用相结合。叶圣陶先生说过，教育的真谛在于使学生把老师教给他的所有知识全忘了，但却还有使他终生受用的东西，那种教育才是最好的教育，而这“终生受用的东西”在数学教学中非数学思想方法莫属。日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。”新课标对数学思想方法也有较高的要求案例2.ppt数学思想方法在数学知识转化成数学能力的过程中起着纽带和桥梁作用。数学教学中不能就知识论知识、就题论题，而是要用数学思想方法统摄具体知识、解决问题的具体方法，逐步培养和发展学生的数学思维能力。4、东西结合——既关注东方(主要指中国)的数学文化，也介绍西方的数学文化．如在教学中，展示我国悠久的数学历史，如介绍祖氏父子的数学成就、刘徽的割圆术、《九章算术》、《张邱建算经》等，也介绍国外的数学史，如微积分的发展历史，17、18世纪牛顿、莱布尼茨等数学家的智慧等，帕斯卡对数学归纳法的贡献，让我们感受到一种递推证明思想的早期应用；阿基米德的穷竭法孕育朴素的积分思想；概率与数理统计的产生和发展，向我们揭示了新的数学分支的形成，在追寻历史的同时引导学生比较东西方数学文化的发展，进一步提高中学生的使命感和责任感．总之，我们强调数学教育中“数学文化”的回归不能只是一句口号，要落实到数学课程的教学中。数学文化教育作为数学教育改革的方向。和新的教育精神是无可争议的，应把数学作为科学的数学、文化的数学和教育的数学，并将“科学——文化——教育”三者有机地融为一体，以数学的内容、思想、方法、精神来影响学生的思想、观念、行为、态度和精神，实现“以数学来育人”的目的。谢谢！毕德哥拉斯学派数学成就发现了无理数亚里士多德认为：等腰直角三角形的斜边是无理数的证明是毕达哥拉斯学派给出的，运用的是归谬法。欧几里得《几何原本》中的证明：在两直角边长为1的等腰直角三角形中，第三边弦长设为，假定m与n没有公约数，则m与n中至少有一个是奇数。依毕德哥拉斯定理（勾股定理），有所以是偶数，从而m必为偶数，于是n是奇数。设m=2p，则，又有。仿上述讨论，可知n为偶数。这就导致矛盾。

于是古希腊人称这种数为不可通约量，即指今日的无理数。幻灯片30早期数学知识的积累

数的表示方法上古结绳而治，后世圣人易之以书契位值记数法，即用位置来表示数。中国十进制位值制记数法个位、百位、万位以上的数用纵式，十位、千位、十万位上的数用横式，纵横相间，以免发生误会；又规定用空位来表示零数的表示方法结绳与书契结绳记数成为人类早期表示记数的方法（图1）台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。

结绳记数成为人类早期表示记数的方法（图2）日本琉球群岛的结绳中国古代算筹的摆法1971907

埃及象形文字数系（计算体系）是以10进位制为基础的。用来表示1和10的头几次方的称号是：（脚后跟）古埃及象形文字的数系是以10进位制为基础下面是数字1996的表示方法幻灯片28对线性方程组求解的“相减消元法”的合理性做了理论的分析，创立了“互乘相消法”（也称为“齐同术”）求解线性方程组。幻灯片84令牛数等同羊牛÷2×21刘徽对勾股定理的“图证”出入相补原理

赵爽对勾股定理证明|弦图“弦图”，是指由弦方和四个勾股形组成的正方形

大方＝弦方＋2矩形（3.4）大方＝勾方＋股方＋2矩形（3.5）比较式（3.4）与（3.5），得：弦方＝勾方＋股方

《几何原本》中的数学方法代数式的几何证法卷一命题47是毕达哥拉斯定理的证法如下已知直角△ABC中，A为直角。在各边上，向形外做正方形。可以先证明△ABD全等于△FBC，再推得矩形BL与正方形GB的面积相等；同理推得矩形CL与正方形AK。故而有结论成立幻灯片85中国传统数学成就《九章算术注》中刘徽有效使用无穷分割方法：用割圆术计算圆的周长、面积以及圆周率

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”刘徽不等式：

设圆面积为由此可以推算出圆周率的上限和下限徽率

π≈3.14在刘徽之前，取圆周率为3。刘徽使用割圆术得出徽率，成为中国数学史上第一位利用理论方法推算圆周率的数学家幻灯片85

“约率”

“密率”或“祖率”中国传统数学成就祖率与球体积公式祖冲之(429～500)祖率求得π值的取值范围为（朒nǜ、盈二数）是当时最好的结果，早于西方同样发现近千年。迟至16世纪，德国人奥托与荷兰人安托尼兹又重新推演出祖率。为了纪念祖冲之这一贡献，20世纪的日本天文学家将自己发现的一颗行星以祖冲之命名。中国传统数学成就现代人的一种算法：使用“递推归纳”法，将“徽率”π≈3.14改进为π≈3.1416。再用圆内接正12288多边形周长作为圆周的近似值，并利用刘徽不等式便得到祖冲之的π值取值范围。圆周率的记忆方法3.1415926

5358

9793

238

4626山巅一寺一壶酒（3.14159）尔乐苦杀吾（26535）把酒吃（897）酒杀尔（932）杀不死（384）乐尔乐（626）中国传统数学成就祖氏父子关于球体积公式的推导过程“幂势既同，则积不容异。”的祖暅原理刘徽的工作刘徽原理:如果两个等高的立体，用平行于底的平面截得的平面面积之比为一定值，那么这两个立体的体积之比也等于该定值。“牟合方盖”体的计算是关键。“牟合方盖”(如图)由刘徽原理立即得到刘徽力图求出但是没有达到目的

祖冲之父子的工作不直接计算牟合方盖，而是