新高考二轮复习真题源导数专题讲义第38讲 指对函数问题之对数单身狗（解析版）

第38讲指对函数问题之对数单身狗1．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）对任意，求证：．【解答】解：（Ⅰ）的定义域是，，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在，上单调递减，在，上单调递增；综上：当时，在上单调递增，当时，在，上单调递减，在，上单调递增；（Ⅱ）证明：要证，即证，即证，又，故，即证，令，则，令，则，而在递增，且（1），（2），故存在唯一的实数，使得，故在上单调递减，在，上单调递增，，（2），故大昂时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故（2），综上：，即．2．已知函数（1）讨论的单调性；（2）若函数在点，处的切线的斜率为1，证明：当时【解答】解：（1）．令可得或．①若，即，则恒成立，在上单调递增；②若，即，则当或时，，当时，，在，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；③若，即，则当或时，，当时，，，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．，，故．，设，，令，则，显然，当时，，故在上单调递增，又（1），当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值（1），，即．3．设．（1）求的最小值；（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），，解得，，令，得，即，当时，；当，时，．时，．（2）令，对函数求导数：令，解得，当时，对所有，，所以在，上是增函数，又，所以对，都有，即当时，对于所有，都有．当时，对于，，所以在是减函数，又，所以对，都有，即当时，不是对所有的，都有成立．综上，的取值范围是，．4．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），所以．故在区间上单调递增，无单调递减区间．（Ⅱ），设，，则，所以在区间，上单调递增，即在区间上单调递增，且（1），①当时，，在区间上单调递增，所以（1）满足条件；②当时，（1），，所以，，使得，所以当时，，单调递减，即当时，（1），不满足题意．综上所述，实数的取值范围为，．5．已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）讨论关于的方程的实根的个数．【解答】解：（1）时，，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，故；（2）由，得，显然是该方程的根，时，方程等价于，令，，则，令，则，时，单调递减，时，（1），，单调递减，时，（1），，单调递增，时，，时，，时，，画出函数的图像，如图示：结合图像得：时，方程有2个实根，时，方程没有实根，综上：时，方程仅有1个实根，时，方程有3个实根．6．已知函数．（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．【解答】解析：（1）函数．定义域为：，，；，且，在和上单调递增，①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，，，，在有且仅有一个零点，②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，又（e），，（e），在上有且仅有一个零点，故在定义域内有且仅有两个零点；（2）是的一个零点，则有，曲线，则有；由直线的点斜式可得曲线的切线方程，曲线在点，处的切线方程为：，即：，将代入，即有：，而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，将代入化简，即：，故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．故得证．7．已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）．．时，，此时函数在上单调递增．时，，可得：函数在内单调递增；在内单调递减．（2）不等式化为：，．，可得时，函数取得极小值即最小值，．．的取值范围是．8．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）设，若关于的不等式在上恒成立，求的最小值．【解答】解：（1）由题意得，，，由，得，函数在上单调递增；由，得，函数在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）可知，函数在上单调递增，上单调递减，，又在上恒成立，，即，令，则，设，则，，函数在上单调递增，且，存在唯一的，使得，且当时，；当，时，，，解得．，的最小值为2．9．已知函数，；（1）讨论的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），，，①当时，令，得；令，得；②当时，令，得或；（Ⅰ）当，即时，令，得或；令，得；（Ⅱ）当时，即时，则恒成立；（Ⅲ）当时，即时，令，得或；令，得；综上所述：当时，在上递减，在上递增；当时，在和，上递减，在上递增；当时，在上递减；当时，在和上递减，在，上递增．（2）由（1）得①当时，在上递减，（1），；②当时，（Ⅰ）当，即时，在上递减，在，上递增，，符合题意；（Ⅱ）当，即时，在上递减，（1），符合题意；综上，实数的取值范围为，．10．已知，直线为曲线在，处的切线，直线与曲线相交于点，且．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）（1）证明：；（2）证明：．【解答】（Ⅰ）解：由，得，则，可得曲线在，处的切线方程为，即．令，显然，，由，得，在上单调递减，在，上单调递增．若，时，，，则在上单调递增，且，在上无零点，舍去；若，，时，，则在上单调递增，在，上单调递减，而时，，在上存在零点．故的取值范围是，；（Ⅱ）证明：（1）令，则（e），，，，当时，，当时，，则的最大值为（e），可得单调递减，又（e），当时，，单调递增，当时，，单调递减，则（e），即；（2）先证，令，，，，当时，，当时，，则的最小值为，可得单调递增，又，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即，，是直线上的点，，，可得，，，得，故．11．已知函数，．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：当时，．【解答】（1）解：令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值（1），因为恒成立，即恒成立，则，解得，故实数的取值范围为，；（2）证明：由（1）可知，恒成立，即，所以要证，只需证明成立即可，令，则，令，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，又，（1），因为，则，所以存在，使得，故当时，，则单调递增，当，时，，则单调递减，当时，，则单调递增，又（1），所以，因此，当时，．12．已知函数，．（1）若在处的切线也是的切线，求的值；（2）若，恒成立，求的最小整数值．【解答】解：（1）由，得，则（1），又（1），在处的切线方程为．联立，得．由题意，，且△，解得；（2），恒成立，即对任意恒成立，令．当时，得；若，，．的正根为，则在，上单调递增，而（1），可得（1）在，上成立，与矛盾；当时，在上成立．令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．（1），即，可得时，在上成立．的最小整数值为3．13．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），得由，得；，得；的递增区间是，递减区间是．（2）对一切，恒成立，可化为对一切恒成立．令，，当时，，即在递减，当时，，即在递增，（1），，即实数的取值范围是