202X版高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2节函数的单调性与最大（小）值课件文北师大版

第2节函数的单调性与最大（小）值最新考纲1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知

识

梳

理1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)

增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的f(x1)>f(x2)图像描述自左向右看图像是_________自左向右看图像是_________上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间A上是__________或_______，那么就称A为单调区间.增加的减少的2.函数的最值f(x)≤M前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)对于任意x∈D，都有__________；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈D，都有__________；(4)存在x0∈D，使得__________结论M为最大值M为最小值f(x)≥Mf(x0)＝M[微点提醒]基

础

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(

)(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(

)(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(

)解析

(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×2.(必修1P37例1改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(

)答案A答案

24.(2018·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(

)答案

D5.(2019·西安调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(

) A.f(m)>f(1) B.f(m)<f(1) C.f(m)≥f(1) D.f(m)≤f(1)

解析因为f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1).

答案

A6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)

解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.

要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间. ∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).

答案

D考点一确定函数的单调性(区间)A.(－∞，－4)∪[2，＋∞) B.(－4，4]C.[－4，4) D.[－4，4]∴t＝x2－ax＋3a在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上t>0，答案D解f(x)在[1，2]上单调递增，证明如下：从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增.规律方法

1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图像法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.考点二求函数的最值【例2】(1)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(

)解析

(1)f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.(2)∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f[f(－3)]＝f(1)＝0，当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.规律方法求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(2)(2018·邵阳质检)定义max{a，b，c，}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是(

)A.2 B.3 C.4 D.6(2)画出函数M＝{2x，2x－3，6－x}的图像(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值为4.答案

(1)A

(2)C考点三函数单调性的应用

多维探究角度1利用单调性比较大小A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c答案

D角度2求解函数不等式A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)C.(－1，0) D.(－∞，0)解析当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图像如图所示，结合图像知，要使f(x＋1)＜f(2x)，解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.答案D角度3求参数的值或取值范围规律方法

1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图像的升降，再结合图像求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<bA.(－1，0)∪(0，1) B.(－1，0)∪(0，1]C.(0，1) D.(0，1]又log25>log24.1>2>20.8，且y＝f(x)在R上是增函数，所以a>b>c.(2)因为f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1，2]上为减函数，要使g(x)在[1，2]上为减函数，需g′(x)<0在[1，2]上恒成立，故有－a<0，因此a>0，综上可知0<a≤1.答案