《圆的基本性质》

圆的基本性质2023/1/131.圆心半径2.不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆

确定位置

确定大小1.圆的确定2023/1/132.点与圆的位置关系你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：点在圆上

d=r

点在圆内

d<r

点在圆外

d>r2023/1/133.OABC点与圆的位置确定ＰＰＰＤＤ点Ｐ在圆外∠BPC<∠BAC点Ｐ在圆内∠BPC>∠BAC点Ｐ在圆上∠BPC=∠BAC2023/1/134.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？∠C＝90°▲ABC是锐角三角形▲ABC是钝角三角形2023/1/135.垂直于弦的直径及其推论2023/1/136.圆是轴对称图形，每一条

都是它的对称轴.直径所在的直线圆是中心对称图形,圆还具有旋转不变性.圆的对称性2023/1/137.从特殊到一般想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。观察右图，有什么等量关系？OCDABOCDABOBCDAEAO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC,AE＝BE

。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC，弧AC＝弧BD。垂直于弦的直径2023/1/138.垂径定理垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2023/1/139.判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！定理辨析2023/1/1310.练习OABE若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？2023/1/1311.变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？变式3：EA＝____,EC=_____。FDFB变式4：______ AC=BD.OA=OB变式5：______ AC=BD.OC=OD变式练习2023/1/1312.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。MAPBO辅助线关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。2023/1/1313.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。题设结论①直线CD经过圆心O②直线CD垂直弦AB③直线CD平分弦AB④直线CD平分弧ACB⑤直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？①③②④⑤②③①

④⑤①④②③

⑤②④①③

⑤①②⑤①②④④⑤①②③③④③⑤OBCDAE2023/1/1314. （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。推论12023/1/1315.如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？推论2弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等。FOBAECD2023/1/1316.圆心角、弧、弦、

弦心距之间的关系2023/1/1317.圆的性质圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。2023/1/1318.猜想与证明如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。定理

相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，OABCA'B'C'2023/1/1319.圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。题设结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）定理推论2023/1/1320.1°圆心角1°弧CDn°圆心角n°弧把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。一般地，n°的圆心角对着n°的弧。弧的度数2023/1/1321.圆周角2023/1/1322.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆心角:顶点在圆心的角.看清要点2023/1/1323.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半定理化归化归圆周角定理分类讨论完全归纳法数学思想2023/1/1324.1、已知∠AOB＝75°，求：∠ACB2、已知∠AOB＝120°，求：∠ACB3、已知∠ACD＝30°，求：∠AOB4、已知∠AOB＝110°，求：∠ACB2023/1/1325.推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？2023/1/1326.OBADEC如图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小同弧所对的圆周角相等如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？DCEBFAO等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等DCEO1BFAO2如图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？等圆也成立2023/1/1327.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。FED2023/1/1328.关于等积式的证明如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB，弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PDCDPBAO经验：证明等积式，通常利用相似；找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；2023/1/1329.推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？2023/1/1330.△ABC的三个顶点在半径为2cm的圆上，BC=2cm，求∠A的度数。ODA圆中多解问题2023/1/1331.半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA＝4:3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O(l)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；(3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．(2）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长；2023/1/1332.如图，弦AB和CD交于点P,且CD是∠ACB的平分线问题（1）：你能找出图中相等的圆周角和相等的线段吗?问题（2）：图中有哪些相似的三角形？问题（3）：若点C在圆上上运动（不和A，B重合），在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？OPDCBA2023/1/1333.如图，弦AB和CD交于点P,且CD是∠ACB的平分线问题（4）：若弦AB=,∠BAD=30°,在点C运动的过程中,四边形ADBC的最大面积为多少?此时∠CAD等于多少度?OPDCBA2023/1/1334.如图，弦AB和CD交于点P,且CD是∠ACB的平分线（5）：若弦AB=,∠BAD=30°,在点C运动的过程中,当∠CAD等于多少度时,四边形ADBC是梯形?证明你的理由OPDCBA2023/1/1335.2、如图，在△ABC中，∠A＝40°

O是△ABC的外心，则∠BOC＝.80°如果O为内心，∠BOC＝110°CABO1、判断：三点确定一个圆