《圆柱圆锥圆台的表面积和体积》设计

《圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积》教学设计【教学目标】1.掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积【教学重点】掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．【教学难点】会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆台＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．思考：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？提示：V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)；V锥体＝eq\f(1,3)Sh(S为底面积，h为锥体高)；V台体＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)．当S′＝S时，台体变为柱体，合体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式．小试牛刀1．若圆柱的轴截面为边长为2的正方形，求圆柱的侧面积()A．2πB．4πC．6πD．8πB解析：由轴截面的边长为2可知r＝1，l＝2，∴S＝2πr·l＝4π.2.圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于()πππB解析：所求棱台的体积V＝eq\f(1,3)×(4＋16＋eq\r(4×16))×3＝28.3.若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其体积是()A．24πB．24C．3eq\r(55)πD．3eq\r(55)C解析：设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(82－32)＝eq\r(55).由圆锥的体积公式可得V＝eq\f(1,3)πr2h＝3eq\r(55)π.4．圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为cm3eq\f(288,π)或eq\f(192,π)[圆柱的高为8cm时，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))eq\s\up20(2)×8＝eq\f(288,π)cm3，当圆柱的高为12cm时，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))eq\s\up20(2)×12＝eq\f(192,π)cm3.]圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()\f(1＋2π,2π)\f(1＋4π,4π)\f(1＋2π,π)\f(1＋4π,2π)⑵圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积是(结果中保留π)(1)A[设圆柱底面半径为r，则高为2πr，表面积∶侧面积＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝eq\f(1＋2π,2π).][解析]如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.方法总结解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:(1)得到空间几何体的平面展开图;(2)依次求出各个平面图形的面积;(3)将各平面图形的面积相加.当堂练习1⑴轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍\r(2)倍D．2倍(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和．①求圆台的母线长．②求圆台的表面积．(1)A[设圆柱底面半径为r，则高为2πr，表面积∶侧面积＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝eq\f(1＋2π,2π).](2)[解]①设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5.②由①可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是()A．1∶1B．1∶6C．1∶7 D．1∶8C[如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，∵O′为PO中点，∴PO′＝eq\f(h,2)，∵eq\f(O′A,OB)＝eq\f(PO′,PO)＝eq\f(1,2)，∴O′A＝eq\f(R,2)，∴V圆锥PO′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,24)πR2h.V圆台O′O＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)＋R2＋\f(R,2)·R))·eq\f(h,2)＝eq\f(7,24)πR2h.∴eq\f(V圆锥PO′,V圆台O′O)＝eq\f(1,7)，故选C.]方法总结求几何体体积的常用方法当堂练习2用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为解析:半圆的弧长为12×2π×4=4π,∴4π=2πR,得圆锥的底面半径R=2.圆锥的高h=42-22∴圆锥的体积V=13×π×22×23=与旋转体有关的组合体的表面积与体积【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长eq\r(3)a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V锥＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3，∴V＝V柱－V锥＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．[解析]旋转得到一个圆锥和圆台的组合体，V圆锥＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π，V圆台＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圆锥＋V圆台＝5π.解析：这个几何体可看成是正方体ABCD－A1B1C1D1与直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝(22＋4eq\r(2)