第三章 光纤模式理论

第三章光纤模式理论

ModeTheoryforOpticalFibers

编辑课件主要内容阶跃折射率光纤中的场模式弱导光纤中的线偏振模光波导中模式的普遍性质波导横向非均匀性的微扰法处理纵向非均匀性与模式耦合方程编辑课件直角坐标（x,y,z）柱坐标（r,,z）基矢坐标系编辑课件波动光学光波导理论逻辑过程Maxwell方程边界条件波动方程场的解边界条件特征方程场的解传输常数模场分布编辑课件一.阶跃折射率光纤中的场模式光纤的对称性与柱坐标系下的波动方程纵向均匀光波导中场的纵横关系

Bessel方程及其解阶跃光纤中矢量模的场分布矢量模的特征方程、模式分类与命名规则矢量模的特性曲线模式的截止特性、基模与光纤的单模工作条件矢量模在光纤横截面上的场分布与光功率密度分布编辑课件结构阶跃型光纤折射率剖面Stepindexn1n2ab编辑课件j=1,2芯层，包层（r,,z）为柱坐标系波动方程(柱坐标)Helmholtz编辑课件把E=Er+E+Ez代入到波动方程，并在柱坐标系下展开柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez、Hz外，其它横向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解Ez、Hz的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量的关系，求其他分量。

横场纵场编辑课件纵横关系纵向均匀、无损、z向传输场分布形式传输因子编辑课件对称性的波动方程光纤的圆对称性电磁场沿方向为驻波解编辑课件对称性的波动方程光纤的圆对称性电磁场沿方向为驻波解m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程编辑课件m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程编辑课件Bessel方程的解m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程编辑课件贝塞尔方程的解Nm(0)=Im()=芯层包层Bessel函数虚宗量Bessel函数Neumann函数虚宗量Neumann函数Ez连续：F1|r=a=F2|r=a编辑课件贝塞尔函数性质J函数编辑课件贝塞尔函数性质N函数编辑课件贝塞尔函数性质I函数编辑课件贝塞尔函数性质K函数编辑课件贝塞尔函数递推关系(了解，会用)编辑课件电磁场的纵向分量编辑课件电磁场的横向分量由“纵横关系式”得到返回编辑课件导模条件泄漏模和辐射模横向约束横向辐射传输常数编辑课件方向分量连续E|r=aH|r=a特征方程光纤中电磁场模式的特征方程——由横向电场和磁场的边界条件得到

编辑课件不同的模式m=0E0=0,Ez=0,

TE模H0=0,Hz=0,

TM模TE模TM模编辑课件混合模特征方程HE模EH模编辑课件HE模：EH模：m反映了模场分布随方位角变化情况，n为特征方程根的序号编辑课件-V特性曲线编辑课件矢量模的截止特性W=0,U=Vc,归一化截止频率截止条件特征方程归一化截止频率W0Km(W)的小宗量近似：编辑课件TE模TM模特征方程W0UVc截止时的特征方程截止频率Vc不为0!!!TE0n,TM0n的截止频率最小值TE01,TM01编辑课件EHmn的截止频率特征方程W0UVc截止时的特征方程截止频率最小值EH11编辑课件HE1n的截止频率特征方程W0UVc截止时的特征方程截止频率最小值HE11!!!编辑课件HEmn的截止频率(m>1)特征方程W0UVc截止时的特征方程编辑课件模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值单模条件单模条件：编辑课件-V特性曲线编辑课件

矢量模特性曲线1.每一条曲线代表一个模式2.当光纤的结构参数和工作频率给定时，光纤的归一化频率一定，此时，各传导模式具有特定的传输常数。3.V越大，光纤中支持的导模数量越多。4.单模传输条件编辑课件矢量模的横向场分布横向场分量横向场分布功率密度分布电力线方程EErEtrA编辑课件横向场分布电力线与磁力线（实线：电力线，虚线：磁力线）编辑课件矢量模的横向光功率密度低阶模横向光功率密度/光强分布编辑课件TM01TE01HE21TM01TE01HE21TE01HE21TM01TE01HE21HE11HE11HE21编辑课件二、弱导光纤中的线偏振模

弱导光纤中存在线偏振(LP)模的可能性阶跃折射率光纤的标量近似解法

LP模的场分布与特征方程

LP模的构造

LP模的截止特性与特性曲线

光纤的功率限制因子导模、辐射模与泄漏模编辑课件纵向场分量横向场分量横向分量大，纵向分量小：矢量法的困难横向分量形式复杂除HE11模外，各传导模式的横向场分量在光纤横截面上具有非常复杂的偏振特性，分析起来困难。相对折射率差编辑课件弱导近似

弱导近似：0，n1n2光纤芯子和包层的折射率非常接近，对光波导的分析会大为简化，这种光纤称为弱导光纤。编辑课件弱导光纤的特点（1）光纤中传输的电磁场非常接近于横电磁波（TEM波）或均匀平面波。因此，电磁波在弱导光纤中传输时其横向场基本上沿同一方向极化，并保持不变。————在弱导近似的条件下，光纤中支持线偏振模LP（LinearlyPolarizedMode)编辑课件弱导光纤的特点（2）

弱导光纤中，磁场的横向分量可以由电场的横向分量运算得出。，波阻抗编辑课件线偏振模——横场

对于弱导光纤，可以通过适当选择坐标系，使得满足Helmholtz方程：编辑课件线偏振模——横场

编辑课件Ey,Hx线偏振模——纵场纵横关系编辑课件纵向分量与特征方程切向分量连续z分量特征方程二式等价LPmn模编辑课件矢量模特征方程的弱导近似弱导近似编辑课件EHmn，TE0n，TM0nHEmn非弱导形式非弱导形式矢量模在弱导近似下的特征方程编辑课件LPmn模mm-1EHm-1,nmm+1HEm+1,nHEmn模TE0n,TM0nm=1LP1nHE2nm=0HE1nLP0nm>1矢量模与标量模的对应关系EHmn(m≠0),TE0n，TM0n(m=0)模编辑课件标量模=矢量模的迭加表3.2与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率编辑课件弱导光纤中模式的简并性在n1n2的弱导近似条件下，矢量模可以分为一系列模式组，每一组内的矢量模具有完全相同的特征方程，因而从其传输特性来看，这些模式是简并的，它们的传输相速度相同，可以证明，每一个线偏振模均由一组简并的矢量模叠加而成。编辑课件场的迭加编辑课件截止特性W0截止特性LP0n模LPmn模编辑课件单模条件LP01模的归一化截止频率为10，10=0，不截止！！！LP11模的归一化截止频率为01，01=2.4048V<2.4048只有LP01模传输——基模单模条件矢量模结论编辑课件b：归一化传输常数接近截止时，W0，b0远离截止时，U0，b1光纤结构+工作波长V

b~V归一化传输常数编辑课件b~V曲线b~V曲线编辑课件b~V曲线与-V曲线-V曲线b~V曲线编辑课件光纤中的功率流纵向功率流密度Sz芯层包层编辑课件功率限制因子光纤芯层中传输的光功率与光纤中传输的总功率之比反映光纤的导光能力或对光的约束能力功率限制因子定义编辑课件~V特性曲线编辑课件辐射模和泄漏模截止条件下，离散的、复数，非正常波形。传导模离散，每一个导模对应一个，满足横向谐振条件。辐射模连续，包层中出现辐射形式的解，产生横向辐射不满足全反射条件，不满足任何横向谐振条件。泄漏模编辑课件波动光学光波导理论逻辑过程Maxwell方程边界条件波动方程场的解边界条件特征方程场的解传输常数模场分布复习编辑课件复习光纤模式理论矢量法标量法1.严格解法近似解法前提：弱导近似n1=n2横向分量大，纵向分量小：TEM波，均匀平面波编辑课件矢量法标量法复习3.利用满足光纤边界条件的Maxwell方程求解

弱导近似条件下，求解横场满足的标量Helmholtz方程2.解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性易于分析，结果简单Helmholtz方程编辑课件矢量法标量法复习4.Ez,HzEt=eyEy

Ht=exHx编辑课件矢量法标量法复习纵横关系Ez,HzEr,E,Hr,H特征方程模式分类截止特性Ez,Hz纵横关系Et=eyEy

Ht=exHx5.编辑课件矢量法特征方程复习6.方向分量连续E|r=aH|r=a特征方程编辑课件标量法特征方程切向分量连续z分量特征方程二式等价复习编辑课件矢量法模式分类复习TE0n模：E0=0,m=0,TM0n模:H0=0,m=0,HEmn模：EHmn模：H0>>E0E0>>H0编辑课件标量法模式构造复习标量模=矢量模的迭加编辑课件矢量模的截止特性W=0,U=Vc,归一化截止频率截止条件特征方程归一化截止频率W0Km(W)的小宗量近似：复习编辑课件矢量模的截止特性模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值单模条件：复习编辑课件-V特性曲线复习基模：HE11编辑课件W0截止特性标量模的截止特性特征方程归一化截止频率W0表3.2与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率V<2.4048单模条件复习编辑课件b~V曲线b~V曲线只有LP01模传输——基模复习b：归一化传输常数编辑课件三、光波导中模式的普遍性质

模式的完备性及其物理含义

模式的正交性及其物理含义

2的稳定性及其含义编辑课件模式的完备性和光场展开任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加完备性光波导中的模式能完全反映其中的电磁场而且模式之间互相独立，正交！光场展开编辑课件

模式的完备性和光场展开n不同模式P=+,-正反向传输的模式辐射模在其连续谱上的积分各模式的激发系数编辑课件

(m,q）&（n,p）正交性m,n模式序号q,p模式传播方向（+，-）编辑课件正交性任意纵向均匀无损光波导积分遍及整个波导横截面结论：不同模式之间彼此正交。导模与辐射模之间、辐射模之间均正交

编辑课件

正交性任意纵向均匀无损光波导结论：正反向传输的同一模式之间也彼此正交。编辑课件模式的正交性表明：在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的。各模式之间不发生能量的交换和耦合。沿正反方向传输的同一个模式也如此！编辑课件LP模的正交性编辑课件任意模式正交性的证明纵向均匀的任意两个模式：（m,q）&（n,p）Maxwell方程*编辑课件波导横截面S积分二维散度定理S的边界l的外法线方向S足够大边界上的电磁场可忽略mn或pq0m=n且p=q(n,p)功率的4倍任意模式正交性的证明编辑课件LP模正交性的证明标量波动方程*波导横截面S积分二维散度定理mn或pq0m=n且p=q(n,p)功率的2倍任意两个线偏振模编辑课件2弱导光波导中，任意线偏振模场n，满足标量波动方程波导横截面S积分二维散度定理0模式传输常数的平方可以由相应的模式场分布得到编辑课件2的稳定性二维散度定理0编辑课件

结论：对于场分布的微小变化，2是稳定的2的稳定性编辑课件四、波导横向非均匀性的微扰法处理

微扰法的基本思想

光波导问题的一阶微扰近似编辑课件横向非均匀性n1n2ab横向折射率非均匀分布波导界面不规则微扰法统一处理寻找一个波导结构与横向非均匀波导结构相近，模场解已知，用已知解近似描述难解之解！编辑课件微扰法两个相近的弱导波导结构：1、可解2、不可解折射率分布模场分布传输常数折射率分布模场分布传输常数只有微小差异编辑课件微扰展开模式的完备性严格地，这里没有写出辐射模在连续谱上的积分？*横截面上积分？编辑课件m=n正交性一阶微扰近似一阶微扰近似编辑课件差异甚小，一阶近似即可！必要时，需要高阶微扰处理！一阶微扰解编辑课件五、波导纵向非均匀性与模式耦合

纵向非均匀问题

耦合模方程编辑课件缓慢变化纵向非均匀性光波导的纵向不均匀：人为引入；制作不完善；z理想波导—均匀实际波导—不均匀折射率分布模场分布传输常数差异甚微缓变函数编辑课件模式的完备性缓变函数乘横截面积分模式正交性模式展开编辑课件耦合方程耦合系数：模式（m,q）（n,p）之间的振幅耦合系数模式耦合方程！！！编辑课件纵向非均匀性引起了各传导模式之间的耦合。模式耦合：非正规光波导，由于存在纵向非均匀性，因此无严格的模式存在。但是，仍可以找到某一个正规光波导，使得非正规光波导内的场可以展开为该正规光波导的一系列模式之和。光在光波导中传输的总功率不变，但是随着模式在波导内的传输，各模式交换携带的能量，这种现象称为模式耦合。关于波导纵向非均匀性的几点说明编辑课件习题Page49.3.33.43.53.63.7编辑课件复习光纤模式理论矢量法标量法1.严格解法近似解法前提：弱导近似n1=n2横向分量大，纵向分量小：TEM波，均匀平面波编辑课件矢量法标量法复习3.利用满足光纤边界条件的Maxwell方程求解

弱导近似条件下，求解横场满足的标量Helmholtz方程2.解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性易于分析，结果简单Helmholtz方程编辑课件矢量法标量法复习4.Ez,HzEt=eyEy

Ht=exHx编辑课件矢量法标量法复习纵横关系Ez,HzEr,E,Hr,H特征方程模式分类截止特性Ex,Ez,Hy,Hz纵横关系Et=eyEy

Ht=exHx5.编辑课件矢量法特征方程复习6.方向分量连续E|r=aH|r=a特征方程编辑课件标量法特征方程切向分量连续z分量特征方程二式等价复习编辑课件矢量法模式分类复习TE0n模：E0=0,m=0,TM0n模:H0=0,m=0,HEmn模：EHmn模：H0>>E0E0>>H0编辑课件标量法模式构造复习标量模=矢量模的迭加编辑课件矢量模的截止特性W=0,U=Vc,归一化截止频率截止条件特征方程归一化截止频率W0Km(W)的小宗量近似：复习编辑课件矢量模的截止特性模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值单模条件：复习编辑课件-V特性曲线复习基模：HE11编辑课件W0截止特性标量模的截止特性特征方程归一化截止频率W0表3.2与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率V<2.4048单模条件复习编辑课件b~V曲线b~V曲线只有LP01模传输——基模复习b：归一化传输常数编辑课件模式的完备性和光场展开任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加完备性光波导中的模式能完全反映其中的电磁场而且模式之间互相独立，正交！展开n不同模式P=+,-正反向传输的模式辐射模在其连续谱上的积分各模式的激发系数三、光波导中模式的普遍性质编辑课件正交性任意纵向均匀无损光波导积分遍及整个波导横截面导模与辐射模之间、辐射模之间均正交(m,q）&（n,p）编辑课件N个导模沿正向传输，波导中总的传输功率=Poynting矢量纵向分量在横截面内的积分传输功率模式的正交性表明：在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的各模式之间不发生能量的交换和耦合，沿正反方向传输的同一个模式也如此！编辑课件LP模的正交性编辑课件任意模式正交性的证明纵向均匀的任意两个模式：（m,q）&