第一讲矩阵基本运算

MATLAB—入门1.双击图标，进入Matlab界面（command)2.单击fileNewM—file进入编辑界面(Untitled1),进行编程之后，点击保存时可以修改文件名.必须用英文开头3.要显示运算的结果，有两种方法：(1)进入command界面，健入你定义的文件名，然后按回车键即可得到计算结果；(2)点击编辑界面上方DebugRun或箭头于是运行结果出现在command界面。一.矩阵与向量的基本运算1.矩阵（向量、数组）的输入方法矩阵的输入利用[]，采取分行输入方法，例1.矩阵A=的Matlab输入：A=[1,5,1,0,1;2,6,0,1,1;3,7,1,0,1;4,8,0,1,1];每个元素之间用逗号或空格，每行之间用分号.注意：行尾分号的作用在于运算结果不显示.n维行(列)向量可以看成是一个行(列)矩阵，因此向量的输入和矩阵一样.2.矩阵的合成与分解求A的第一行与第一列解：A1=A(1,:)表示矩阵A的第一行；

A2=A(:,1)表示矩阵A的第一列；练习：A(4,:)，A(3,2)，分别表示什么？例2.矩阵A=如果需要两行(列)以上怎么表示呢?例3.求矩阵A的第1,3,4行元素组成的矩阵.解：首先健入a=[1,3,4];然后健入

B=A(a,:)即可其中a=[1,3,4]称为索引向量.练习：求矩阵A的第1,3,4列元素组成的矩阵例4.求从矩阵A中去掉第1,2列后，剩余元素组成的矩阵.解：a=[1,3,4];

B=A(:,a);注意：3:5表示从3开始按步长为1增加到5.B=101011101011可以写为B=A(:,3:5);练习：求从A中去掉2,5两行后所得到的子矩阵解法一：a=[1,3,4]；B=A(a,:)解法二：B=[A(1,:);A(3,:);A(4,:)]3.矩阵的加减法、乘法、转置与求逆运算等A+B,A-B,A*B,A.^2,A’,inv(A),det(A)分别表示：A,B的和,差,积,点乘方,转置,求逆

以及A的行列式B=151013710148011例5.已知求：AB，B-1，B-AT，|A|解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=[1,2,1;1,1,2;2,1,1];a=A*B,b=inv(B),c=B-A',d=det(A)a=978211920152223b=-1/41/4-3/43/4-1/4-1/4-1/43/4-1/4c=0-2-6-1-4-6-1-51det(A)=274.向量的数量积，矢量积与范数的数量积例如：a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]则

Matlab中数量积:dot(a,b);矢量积:cross(a,b)dot(a,b)=27,cross(a,c)=(2,2,-2)解：a,b,c的混合积为：dot(a,cross(b,c))练习：计算a,b,c的混合积Matlab中向量

a的范数为：norm(a)例6a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1],求a,b的范数解：norm(a)=3.7417,norm(b)=7.8740练习：对例6计算：a,b夹角的余弦dot(a/norm(a),b/norm(b))解法二：

dot(a,b)/norm(a)/norm(b)解法一：=0.9164思考：a,b,c三个向量那两个更接近？

二.度量空间与距离1.度量空间定义：设X是任一集合，如果X中任意两个元素x与y，都对应一个实数d(x,y)，且满足：(1)非负性:d(x,y)≥0,当且仅当x=y时,d(x,y)=0(2)对称性:d(x,y)=d(y,x)(3)三角不等式:对任意的x,y,z∈X，有

d(x,y)≤

d(x,z)+d(z,y)则称d(x,y)为x与y之间的距离，称X是以d(x,y)为距离的度量空间或距离空间.2.常见的距离空间n维欧氏空间:设表示n维向量的全体所组成的集合，称为n维欧氏空间(2)连续函数空间C[a,b]:令C[a,b]={x(t)|x(t)是[a,b]上的连续函数}则称C[a,b]为连续函数空间，在C[a,b]上定义

d(x,y)=max|x(t)-y(t)|(3)平方可积函数空间：令则称为平方可积函数空间，定义距离：(4)平方可和离散序列空间：令则称平方可和离散序列空间，定义距离：

3.向量的距离与计算(1)欧氏距离：Matlab中命令：dist(A,B)计算A中每个行向量与B中每个列向量之间欧氏距离，A的行向量维数必须等于B的列向量维数．例7.a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]求a,b,c欧氏距离解：

dist(a,b')=4.6904,dist(a,c')=

2.8284dist(c,b')=7.3485(2)绝对距离：Matlab中命令：mandist(A,B)计算A中每个行向量与B中每个列向量之间绝对距离，A的行向量维数必须等于B的列向量维数.例8.求例6中向量之间的绝对值距离.mandist(a,b')=8；mandist(a,c')=4；mandist(c,b')=12解：dist(a,b')=4.6904,dist(a,c')=

2.8284dist(c,b')=7.3485由此，你发现了什么？(3)闵可夫斯基距离：当r=1,2时分别为绝对距离和欧氏距离(4)马氏距离：其中V是一个实对称正定矩阵，通常取样本的协方差矩阵，当V=E时即为欧氏距离.以上距离，在Matlab(6.)中有命令:pdist具体如下：设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：Pdist(X)—样本X中各n维向量的欧氏距离

Pdist(X,'cityblock')—各n维向量的绝对距离Pdist(X,'Minkowski'，r)—闵可夫斯基距离Pdist(X,'mahal')—各n维向量的马氏距离注意：而pdist(X)是个一行列矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)三.向量的均值、方差、协方差与相关矩阵mean(A)—A中各列向量的均值

Var(A)—A中各列向量的方差Std(A)—A中各列向量的标准差

Cov(A)—A中各列向量的协方差矩阵Corrcoef(A)—A中各列向量的相关矩阵如果计算A中各行向量的均值、方差、协方差矩阵，相关矩阵，只需先将A转置即可.例9.现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长,翅长数据如下：Apf：(1.14,1.78),(1.18,1.96),(1.20,1.86),(1.26,2.00),(1.28,2.00),(1.30,1.96)Af：(1.24,1.72),(1.36,1.74),(1.38,1.64),(1.38,1.82),(1.38,1.90),(1.40,1.70),(1.48,1.82),(1.54,1.82),(1.56,2.08)计算两类蠓虫的各自之间的欧氏、绝对、马氏距离解:Af=[1.24,1.72;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90;1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]；d1=(pdist(Apf))';d2=(pdist(Apf,'cityblock'))';d3=pdist(Apf,'mahal'))';d=[d1,d2,d3]Apf=[1.14,1.78;1.18,1.96;1.2,1.86;1.26,2.;1.28,2;1.30,1.96];表一.Apf蠓虫之间的距离Apf蠓虫欧氏距离绝对距离马氏距离d120.18440.22002.5626d130.10000.14000.9883d140.25060.34002.4942d150.26080.36002.5318d160.24080.34002.5478d230.10200.12002.2507d240.08940.12001.5470d250.10770.14002.0430d260.12000.12003.0777d340.15230.20001.6534d350.16120.22001.5873d360.14140.20001.6025d450.02000.02000.5129d460.05660.08001.6616d560.04470.06001.1764Af蠓欧氏距绝对距马氏距Af蠓欧氏距绝对距马氏距d120.12170.14001.4423d370.20590.28001.3971d130.16120.22002.3963d380.24080.34001.6847d140.17200.24001.4225d390.47540.62003.4103d150.22800.32001.5517d450.08000.08000.7917d160.16120.18002.2078d460.12170.14001.3659d170.26000.34002.6110d470.10000.10001.2987d180.31620.40003.3635d480.16000.16002.0780d190.48170.68003.3694d490.31620.44002.1271d230.10200.12001.1705d560.20100.22002.1520d240.08250.10000.6601d570.12810.18001.8990d250.16120.18001.4345d580.17890.24002.6482d260.05660.08000.8277d590.25460.36001.8449d270.14420.20001.2266d670.14420.20000.9689d280.19700.26001.9404d680.18440.26001.4149d290.39450.54002.6612d690.41230.54002.9389d340.18000.18001.7814d780.06000.06000.7792d350.26000.26002.5731d790.27200.34002.0832d360.06320.08000.4756d890.26080.28002.4183如果我们要将这些距离按大小排序，如何快捷地实现？在Matlab中方法如下：F=sort(d);[F,i]=sort(d)其中sort(d)将d中距离按从小到大排列，而i中各列则指出了排序后各距离原来的序号.i=131313151521414157672711691282109814121081012611131114535351449作业：1.（1）输入A,B,并计算各行列式的值，逆矩阵；（2）A的行向量的协方差矩阵，B的列向量的相关系数矩阵（3）计算A列向量间各种距离，夹角余弦，哪两个向量更接近？（4）将矩阵A的各行向量标准化；并给出验证方法；（5）求去掉B的第一行与第三列后的矩阵C，求AC,C^2,A.^22.将下表给出的数据粘帖到matlab，然后进行各指标排序，从而得到各省、市、自治区的各指标排名矩阵D,安徽省排名如何？地区企业单位数工业工业实收资本资产流动资产流动资产固定资产(个)总产值增加值合计合计年平均余额原价合计全国3142327220.917128.1110256.7828354.4614029.7513750.9616700.30北京10231318.03295.54410.091166.26715.76720.43503.53天津13501365.99324.44553.061421.84746.63714.29759.44河北760424.94122.38223.92625.90249.95234.68411.51山西10174.7025.8171.94207.6749.9044.99141.82内蒙古8965.9220.1229.83122.2580.9178.0244.65辽宁1070894.67238.90406.791097.95462.38447.83822.40吉林245412.72121.57118.49353.28169.53145.29225.09黑龙江147114.8236.6760.26219.85103.00102.17118.40上海36693904.801024.351655.584385.452332.522324.982331.17江苏36013333.31835.681271.053311.921575.001557.562008.05浙江27151532.12364.72503.431424.40747.77723.92794.17安徽277246.8078.12149.86364.69141.13138.21251.70福建29231822.48490.68689.961940.28894.00854.221179.72江西177106.8729.4246.50139.4063.5864.8679.85山东20201457.01431.75493.521397.82657.56621.88805.65河南421262.1386.71117.83415.29199.36192.49303.22湖北392382.38135.04196.03529.20214.44191.99311.53湖南239147.1543.0572.96188.7779.8478.04137.53广东90208490.962153.182658.907679.213940.623932.874614.89广西238147.4344.9387.73248.7794.4291.86162.9