第二章matlab矩阵运算

第二章MATLAB矩阵运算——matlab具有出色的矩阵运算能力，占世界上矩阵运算软件的主导地位矩阵运算的功能矩阵命令行的基本操作数据的保存与获取矩阵的运算矩阵的特殊操作矩阵分解一、命令行的基本操作规则：矩阵元素必须用[]括住矩阵元素必须用逗号或空格分隔在[]内矩阵的行与行之间必须用分号分隔

创建矩阵的方法直接输入法rand——随机矩阵eye——单位矩阵zeros——全部元素都为0的矩阵ones——全部元素都为1的矩阵[]空阵—matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。用matlab函数创建矩阵对角矩阵、伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了（MATLABhelpmatrix）。matlab函数名必须小写matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。注意用冒号创建矩阵冒号的其他用法

用于选出矩阵指定行、列及元素循环语句。用于生成等间隔的向量，默认间隔为1

矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j输入。a=[123;456]x=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]

2.矩阵元素特点3.矩阵的修改直接修改可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。指令修改可以用A(,)=来修改（赋值,见MATLABhelpMatrix）。例如a=[120;305;789]a=120305789a(3,3)=0a=120305780还可以用函数subs修改，matlab6.0还可用find函数修改。4.指令行中符号的作用

逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。

分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。逗号和分号只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用•••续行注意save——将工作空间中所有的变量存到matlab.mat文件中。二、数据的保存与获取默认文件名把matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。savedata——将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。savedataab——将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。

下次运行matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。load——loaddata——loaddataab——即可装载保存过的所有变量mat文件是标准的二进制文件，还可以ASCII码形式保存。规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作三、矩阵运算矩阵加、减（＋,－）运算c=143223

2.矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。a=[123;456;780];b=[1;2;3];c=a*bd=[-1;0;2];f=pi*df=-3.141606.28323.左除与右除运算若AV=I则V=A-1=inv(A)对于方程D*X=Binv(D)*D*X=inv(D)*B

X=inv(D)*B=D\B(左除，逆矩阵左乘)对于方程X*D=B

X*D*inv(D)=B*inv(D)

X=B*inv(D)=B/D(右除，逆矩阵右乘)矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算a^p—a自乘p次幂(相当于a*a*……*a)方阵>1的整数4.矩阵乘方——a^n,a^p,p^a对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量a^p使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2ans=303642668196102126150※当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。a^0.5ans=

0.4498+0.7623i0.5526+0.2068i0.6555-0.3487i1.0185+0.0842i1.2515+0.0228i1.4844-0.0385i1.5873-0.5940i1.9503-0.1611i2.3134+0.2717i①数组加减a+ba-b5.矩阵的数组运算（点运算）对应元素相加减数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a.*bans=281841530497290②数组乘除(，./，.\）ab—a，b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a*bans=253746558510985133172a./b=b.\aa.\b=b./aa./b=b.\a—都是a的元素被b的对应元素除a.\b=b./a—都是b的元素被a的对应元素除例:a=[123];b=[456];c1=a.\b;c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.0000——给出a,b对应元素间的商.例:a=[123];b=[456];z=a.^2z=1.004.009.00z=a.^bz=1.0032.00729.00③数组乘方(.^)—元素对元素的幂inv——矩阵求逆det——行列式的值eig——矩阵的特征值diag——对角矩阵’——矩阵转置sqrt——矩阵开方6.矩阵的其它运算P362—3表关系运算关系符号意义<<=>>===~=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于逻辑运算关系符号意义&|~与或非其他逻辑关系函数p362-2表四.矩阵的一些特殊操作矩阵的变维a=[1:12];b=reshape(a,3,4)矩阵的变向c=zeros(3,4);c(:)=b(:)

rot90:逆时针旋转;fliplr:左右翻;flipud:上下翻矩阵的抽取

diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角;

triu:抽取主上三角矩阵的扩展1.重新排列矩阵函数Matlab中实现矩阵重新排列的是函数reshape,其调用格式：Reshape(a,m,n,p，…)b=112244238542542185例：对矩阵a进行重新排列,产生的新矩阵b,大小为2*8;新矩阵c,大小为2*4*2a=[1248;4528;124235;2415];b=reshape(a,2,8)c=reshape(a,2,4,2)c(:,:,2)=423852185c(:,:,1)=1122442542.矩阵的翻转与旋转matlab提供对矩阵进行翻转与旋转的函数,它们的调用格式:rot90(A,k)fliplr(A)flipud(A)3.对角阵与三角阵对角阵的定义:只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。三角阵的定义:Matlab中创建对角阵的函数为diag,它的调用格式:diag(A,k)说明:1.若参数A为m×n阶矩阵,diag函数提取矩阵的对角线元素,参数k取整数,表示提取第k条对角线元素,缺省时提取主对角线元素,返回值是一个具有min(m,n)个元素的列向量2.若参数A为一具有m个元素的向量,参数k缺省,则diag函数返回值为对角矩阵,其主对角线元素为向量A的元素;若是一个非0整数,则返回值是一个n×n(n=m+abs(k))对角阵,其第k条对角线元素为向量A的元素例:先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。A=rand(5),

d=diag(1:5),y=d*AA=0.20280.01530.41860.83810.50280.19870.74680.84620.01960.70950.60380.44510.52520.68130.42890.27220.93180.20260.37950.30460.19880.46600.67210.83180.1897d=1000002000003000004000005y=0.20280.01530.41860.83810.50280.39741.49361.69240.03931.41891.81141.33531.57552.04381.28671.08883.72730.81061.51791.21850.99412.33003.36074.15900.9483创建三角阵的函数为triu,tril,它们的调用格式格式完全相同:triu(A,k)tril(A,k)说明:

1.参数A为被提取的矩阵,参数k取整数表示矩阵A中对角线的序号,返回值上三角阵,其元素是矩阵A的第k条对角线以上的元素.

2.Tril与triu类似五.矩阵的分解Matlab中提供的矩阵分解的函数特征值分解:[v,d]=eig(a),d=eig(a)奇异值分解:[u,s,v]=svd(a)LU分解:[l,u]=lu(a)

cholesky分解:L=chol(a)QR分解:[q,r]=qr(a)例用直接解法求解线性方程组:2*x^3+x^2-5*x+1=13x^3-5*x^2+7=-92*x^2+x-1=6x^3+6*x^2-x-4=0命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';x=A\bx=-66.555625.6667-18.777826.5556LU分解调用格式为：[L,U]=lu(A)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足A=LU。实现LU分解后,线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)运行结果：x=-66.555625.6667-18.777826.5556例3-21用LU分解求解例3-20中的线性方程组。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];

b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);x=U\(L\b)matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0

可用行向量p=[anan-1……a1a0]表示poly——产生特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的特征多项式第一个元素一定是1四、多项式运算例:a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用：p1=poly2str(p,‘x’)—函数文件，显示数学多项式的形式p1=x^3-6x^2-72x-272.roots——求多项式的根a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00r=roots(p)r=12.12-5.73——显然r是矩阵a的特征值-0.39当然我们可用poly令其返回多项式形式p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。3.conv,convs多项式乘运算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+184.deconv多项式除运算a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.006.00[d,r]=deconv(c,a)余数c除a后的整数5.多项式微分matlab提供了polyder函数多项式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多项式a,b乘积的微分[p,q]=polyder(a,b):求多项式a,b商的微分例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyder(a)b=4664poly2str(b,'x')ans=4x^3+6x^2+6x+4五、代数方程组求解matlab中有两种除运算左除和右除。对于方程ax+b，a为an×m矩阵，有三种情况：当n=m时，此方程成为“恰定”方程当n>m时，此方程成为“超定”方程当n<m时，此方程成为“欠定”方程matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程1.恰定方程组的解方程ax=b(a为非奇异)

x=a-1*

b矩阵逆两种解:x=inv(a)b—采用求逆运算解方程x=a\b—采用左除运算解方程方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];x=inv(a)*b

x=a\bx=x=2.002.003.003.00

=

ax=b例:x1+2x2=82x1+3x2=132.超定方程组的解方程ax=b,m<n时此时不存在唯一解。方程解(a'a)x=a'bx=(a'

a)-1a'b——求逆法x=a\b——matlab用最小二乘法找一个准确地基本解。例:x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=3a=[12;23;34];b=[1;2;3];解1x=a\b解2x=inv(a'a)a'b

x=x=1.001.0000.00

=

ax=b3.欠定方程组的解

当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的。x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2a=[123;234];b=[1;2];x=a\bx=pinv(a)bx=x=1.000.8300.330-0.17=ax=b六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有Euler（欧拉法）、RungeKutta(龙格-库塔法。Euler法称一步法，用于一阶微分方程当给定仿真步长时：所以

yn+1=yn+h·f(xn,yn)n=0,1,2…y(x0)=y0RungeKutta法龙格-库塔法：实际上取两点斜率的平均斜率来计算的，其精度高于欧拉算法。龙格-库塔法：ode23ode45

k1=hf(xn,yn)k2=hf(xn+h,yn+k1)例：x+(x2-1)x+x=0为方便令x1=x，x2=x分别对x1,x2求一阶导数，整理后写成一阶微分方程组形式

x1=x2x2=x2(1-x12)-x1建立m文件解微分方程······建立m文件functionxdot=wf(t,x)xdot=zeros(2,1)xdot(1)=x(2)xdot(2)=x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)给定区间、初始值;求解微分方程t0=0;tf=20;x0=[00.25]';[t,x]=ode23('wf',t0,tf,x0)pl