理论力学-理力讲稿2力系简化

第2章力系的简化TheoreticalMechanics第一篇静力学主讲郭翔

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第2章力系的简化2.1汇交力系2.2力偶系2.3任意力系2.4重心目录

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第2章力系的简化2.1汇交力系

返回首页TheoreticalMechanics2.1汇交力系2.1.1几何法

设汇交于A点的力系由n个力Fi（i=1,2,…,n）组成，记为F1、F2、…、Fn。根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。

返回首页TheoreticalMechanicsF1FRFR2FR1F4F3F2例：用力多边形法则，求四个力组成的平面汇交力系的合力。使各力首尾相接，其封闭边即为合力FR。2.1汇交力系2.1.1几何法

返回首页OTheoreticalMechanics几点讨论

合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关。各分力矢必须首尾相接。合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。2.1汇交力系2.1.1几何法

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结论

平面汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系中各力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。2.1汇交力系2.1.1几何法

返回首页TheoreticalMechanics汇交力系各力Fi和合力FR在直角坐标系中的解析表达式由合力投影定理得到汇交力系合力的大小和方向余弦合力作用线过汇交点。2.1汇交力系2.1.2解析法

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第2章力系的简化2.2力偶系

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大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力称为力偶。

二力作用线所决定的平面称为力偶的作用平面，两作用线的垂直距离d称为力偶臂。

力偶是一种基本力学量，力偶对刚体的作用，只有转动效应。力偶是一种特殊的力系。

返回首页2.2.1力偶与力偶矩2.2力偶系

TheoreticalMechanics设rBA和rAB分别表示图中的矢径和，矢量M=rBA×F=rAB×F

称为力偶(F,F)的力偶矩矢量，简称为力偶矩矢。

在图中空间任取一点O，则A、B两点的矢径，用rA、rB表示，

rBA=rA–rB。力偶对O点之矩

MO(F,F')=MO(F)+MO(F')=rA×F+rB×F'=(rA–rB)×F=rBA×F

所以

MO(F,F')=M

力偶的性质

返回首页2.2.1力偶与力偶矩2.2力偶系

TheoreticalMechanics(1)力偶矩矢量M与矩心的选择无关，因而是一个自由矢量。(2)决定力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、力偶作用面的方位及力偶的转向。(3)因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力偶矩矢量而不改变力偶对刚体的作用效果，称为力偶的等效性。力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。

返回首页2.2.1力偶与力偶矩2.2力偶系

TheoreticalMechanics力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M

M=±Fd

正负号分别由力偶的转向决定。力偶的等效性：现计算组成力偶的两个力对任一点力矩之和，即

返回首页2.2.1力偶与力偶矩2.2力偶系

设刚体上作用力偶矩矢M1、M2、…、Mn

，根据力偶的等效性，将各力偶矩矢平移至图中的任一点A，力偶系合成结果为一合力偶。TheoreticalMechanics天津大学2.2力偶系

返回首页TheoreticalMechanics天津大学合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和

对于平面力偶系M1、M2、…、Mn，合成结果为该力偶系所在平面内的一个力偶，合力偶矩M为各力偶矩的代数和2.2力偶系

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第2章力系的简化2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics2.3任意力系2.3.1力的平移定理M+M力的平移定理

返回首页TheoreticalMechanics结论力的平移定理：作用于刚体上的力F，可以平移至同一刚体的任一点O，但必须增加一个附加力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对于平移点O之矩，即M=r×F=MO(F)2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics天津大学逆过程：当一个力与一个力偶的力偶矩矢垂直时，该力与力偶可合成为一个力，力的大小和方向与原力相同，但其作用线平移。力平移的方向为

×M的方向，平移的距离为。2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics2.3.2力系向一点简化·主矢和主矩

设刚体上作用一任意力系F1、F2、…、Fn。2.3任意力系

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任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理，将力系中诸力向O点平移。

得作用于O点的一汇交力系F1、F2、…、Fn和一力偶系M1、M2、…、Mn。TheoreticalMechanics

将汇交力系与力偶系合成，得到作用于简化中心O的力矢F'R与力偶矩矢MO

称为该力系的主矢MO称为该力系对简化中心O的主矩。2.3.2力系向一点简化·主矢和主矩2.3任意力系

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结论

任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一个力偶。这个力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，这个力偶是力系的主矩，等于各力对该点之矩的矢量和。

主矢的大小、方向与简化中心无关，称为力系的第一不变量。主矩的大小、方向与简化中心有关。2.3.2力系向一点简化·主矢和主矩2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics2.3.3力系的简化结果分析1.力系简化为合力偶M其大小、方向与简化中心无关2.力系简化为合力(1)力系简化为通过简化中心O的合力FRF'R=0，MO≠0力偶矩M=MO=∑MO(Fi)F'R≠0，MO=0FR=F'R=∑Fi

2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics(2)进一步合成为一合力F'R≠0，MO≠0，且F'R

MO=0，即F'R⊥MO

合力作用线沿F'R×MO方向偏离简化中心O一段距离

OO'=d=2.3.3力系的简化结果分析2.3任意力系

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如果在简化中心O点上建立直角坐标系Oxyz，合力FR作用点O’的矢径用r表示。由MO=r×FR可确定合力FR的作用线。其解析表达式为2.3.3力系的简化结果分析2.3任意力系

返回首页xyzOxyzOTheoreticalMechanics3.力系简化为力螺旋F'R≠0，MO≠0，且F'R与MO成任意角

将正交分解为和

可看成是与的组合

与

是二平衡力，可移去。2.3.3力系的简化结果分析2.3任意力系

返回首页xyzOO'TheoreticalMechanics简化结果为力螺旋。将移到O'作用线沿F'R×MO偏移d，d=2.3.3力系的简化结果分析2.3任意力系简化过程图

返回首页xyzOO'xyzOO'dTheoreticalMechanics

力螺旋也是一种最简单的力系。如果F'R与MO同向，即F'R

MO＞0，称为右力螺旋；如果F'R与MO反向，即F'R

MO＜0时，称为左力螺旋。力F'R的作用线称为力螺旋的中心轴。4.力系平衡F'R=0，MO=02.3.3力系的简化结果分析2.3任意力系

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结论力系的简化结果：力系简化为一合力偶M。

力系简化为作用于简化中心O的合力FR。

力系简化为作用于O'的合力FR。力系简化为力螺旋。平衡力系。2.3.3力系的简化结果分析2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics例题2.3任意力系

例图示力系中F1＝100N，F2＝F3＝100N，F4＝300N，a＝2m，试求此力系合成结果。

(F4的作用点有误）解：以O为简化中心主矩则力系主矢，方向沿z轴向下 2m

返回首页TheoreticalMechanics所以力系简化为左螺旋2m例题2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics2.3.4平面任意力系的简化2.3任意力系

返回首页结论：平面任意力系向作用面内任一点简化，一般可以得到一力和一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于平面力系的主矢，该力偶之矩等于平面力系对于简化中心的主矩。主矢F'R与主矩MO视为代数量，而且F'R⊥MO。平面任意力系的最终简化结果：平衡、合力偶和合力三种情形。TheoreticalMechanics2.3.4平面任意力系的简化2.3任意力系

返回首页当MO≠0时，力系有合力FR=F’R，其偏移O点的距离OO’=d=，偏移的方向由MO的转向来确定。合力作用线方程：TheoreticalMechanics

例胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325m，由驱动装置传来的力偶矩M=4.65kNm，紧边带张力FT1＝19kN，松带张力FT2＝4.7kN，带包角为210°，坐标位置如图a)所示，试将此力系向点O简化。解：（1）先求主矢量例题2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics主矢量的大小为主矢量的方向（2）再求主矩

由于主矩为零，故力系的合力FR即等于主矢量，即合力FR的作用线通过简化中心。例题2.3任意力系

返回首页TheoreticalMechanics例题2.3任意力系

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例为校核重力坝的稳定性，需要确定出在坝体截面上所受主动力的合力作用线，并限制它和坝底水平线的交点E与坝底左端点O的距离不超过坝底横向尺寸的2/3，即。重力坝取1m长度，坝底尺寸b＝18m，坝高H=36m，坝体斜面倾角＝70°。已知坝身自重W=9.0×103

kN，左侧水压F1=4.5×103

kN，右侧水压力F2=180

kN，F2力作用线过E点。各力作用位置的尺寸a＝6.4m，h＝10m，c＝12m。试求坝体所受主动力的合力、合力作用线方程，并判断坝体的稳定性。F2TheoreticalMechanics例题2.3任意力系

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解：选O为简化中心，建立图示坐标系Oxy。图示=90°＝20°。力系向O点简化为F2FRMO主矢F'R

主矩MOF2FRMOTheoreticalMechanics例题2.3任意力系

返回首页力系的合力FR＝FR。合力作用线方程y=0，得x=11.40，即合力作用线与坝底交点至坝底左端点O的距离x=11.40m

。

该重力坝的稳定性满足设计要求FR

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第2章力系的简化2.4重心

返回首页TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的简化·平行力系的中心

返回首页平行力系的简化也是空间力系简化的一种特殊情形平行力系的最终简化结果：平衡、合力偶和合力情形平行力系中的力可用代数量表示平行力系向一点简化时其主矢和主矩总是互相垂直TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的简化·平行力系的中心

返回首页在平行力系中的各力的作用点位置均已知的情形下，还可以求出合力作用点的具体位置。根据合力矩定理，得TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的简化·平行力系的中心

返回首页对于平面平行力系来说，简化后的主矢与主矩都退化为代数表达式如果MO≠0，一定有合力FR，FR=F'R，作用线偏离O点的距离OO'=d=，偏移的方向由MO转向决定。（这个结论是否有漏洞？力偶情形呢？）TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的简化·平行力系的中心

返回首页沿直线的分布载荷是工程实际中常见的一种平行力系需要知道这种分布载荷的合力大小及作用线位置图中AB线段上作用垂直分布载荷其合力大小即ABba载荷图形的面积。合力作用点即平行力系中心的x坐标即ABba载荷图形形心的x坐标。TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的简化·平行力系的中心

返回首页可知：对于沿直线分布的垂直分布载荷来说，其合力的大小等于分布载荷图形的面积，合力作用线则通过该图形的形心。例求图示分布载荷的合力及对A点之矩。解：将分布载荷图形分成两个三角形，每个三角形载荷合力大小分别为：作用线位置如图示。整个分布载荷的合力大小为TheoreticalMechanics2.4重心例题

返回首页由伐里农定理，总体分布载荷对A点之矩：TheoreticalMechanics2.4.2物体的重心2.4重心

返回首页重心：物体所受的重力是一种体积分布力。不论物体如何放置，其重力的合力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心。重心C的矢径式中的ΔPi可以是物体中任一部分的重量，而不仅限于微元体。对由简单形体组成的物体，可用这种方法求重心，称为分割法。TheoreticalMechanics2.4.2物体的重心2.4重心

返回首页重力P对y轴之矩重力P对x轴之矩将物体连同坐标系统x轴逆时针转过90

重力P对z轴之矩重心坐标公式TheoreticalMechanics2.4.2物体的重心2.