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文档简介

多元函数微分学习题课一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极限运算多元函数连续的概念多元连续函数的性质全微分概念偏导数概念方向导数全微分的应用复合函数求导法则全微分形式的不变性高阶偏导数隐函数求导法则微分法在几何上的应用多元函数的极值1、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．存在性——定义，夹逼定理不存在——特殊路径、两种方式求法——运算法则、定义验证、夹逼定理消去致零因子、化成一元极限等2、多元函数的连续性3、偏导数概念定义、求法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数——纯偏导、混合偏导4、全微分概念定义可微的必要条件可微的充分条件利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导6、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.7、隐函数的求导法则5、复合函数求导法则“分道相加，连线相乘”法则的推广——任意多个中间变量，任意多个自变量如何求二阶偏导数①公式法②直接法③全微分法8、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面(２)曲面的切平面与法线求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法10、多元函数的极值9、方向导数与梯度定义计算公式（注意使用公式的条件）梯度的概念——向量梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件充分条件最值条件极值，目标函数、约束条件构造lagrange函数二、典型例题例1解例2已知求解例3已知求解例4解例5解于是可得,求解一记则解二方程两边对

x

求偏导例6设由轮换对称性两边取全微分即解三在半径为r的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者解如图若以x,y,z

表示三角形的三边所对的圆心角，则三角形的面积例7问题就是求a在条件下的最大值xyz记例8解例9解分析:得试求曲面

xyz=1上任一点

处的法线方程和切平面方程并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量证设法线切平面即例10切平面在三个坐标轴上的截距分别为故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为是一个常量例11设y=f(x,t)而

t

是由f(x,y,t)=0确定的

关于x,y

的函数，试证明证一方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),t=t(x)两边分别对

x

求导得解得证二本题主要是弄清楚函数关系，具体求导则很简单，初看起来似乎y

是x

的显函数y=f(x,t)，但由f(x,y,t)=0可得

t=t(x,y)，代入y=f(x,t)得y=f[x,t(x,y)]

这是y=y(x)的隐函数表示形式按题意t=t(x,y)满足f(x,y,t)=0

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