数学必修ⅲ人教新课标同步知识点学练考-随机事件的概率

随机事件的概率2【教法探析】【学法导引】

【模拟练习】【真题再现】31.必然事件：在条件S下，

，叫做相对于条件S的必然事件.2.不可能事件：在条件S下，

，叫做相对于条件S的不可能事件.3.确定事件：

统称为相对于条件S的确定事件.4.随机事件：在条件S下

的事件，叫做相对于条件S的随机事件.

一定会发生的事件一定不会发生的事件可能发生也可能不发生必然事件与不可能事件45.频数与频率：在相同的条件S下

，

，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件中A出现的频数,称事件A出现的比例

为事件A出现的频率.对于给定的随机事件A，由于随着试验次数的增加，事件A发生的频率

fn（A）

上，把这个常数记作P（A），称为

.重复n次试验观察某一事件A是否出现稳定在某个常数事件A的概率56.一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称

（或称

）,

记作

（或

）.7.一般地,若

,且

,那么称事件A与事件B相等,记作A=B.8.若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的

（或

），记作

（或

）.事件B包含事件A事件A包含于事件B和事件并事件A∪BA+B69.若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称事件为事件A与事件B的

（或

）,记作

（或

）.10.若A∩B为不可能事件（A∩B=）,那么称事件A与事件

B

.11.若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A

与事件B互为

.12.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则

.积事件交事件互斥对立事件A∩BABP（A∪B）=P（A）+P（B）7

1.概率是研究随机现象的，是从随机现象中研究其规律的，它为应用数学解决实际问题提供了新的思想方法.学习时要从日常生活中的实例出发，动手实验，正确理解随机事件发生的不确定性及规律性.（1）要结合实际例子搞清楚一些基本概念，如必然事件、不可能事件、随机事件、随机事件发生的概率等.（2）建立事件与集合的联系，便于利用集合表示的直观性来研究事件，且便于弄清各种事件间的关系，从而可将概率知识的学习深入一步.8（3）随机试验（一次试验）是随机现象；对“试验”一词要作广义的理解.例如，掷一次骰子、打一次靶、作一次天气预报、参加一次考试、做一次化学实验等，都是一次试验.

2.概率意义下的“可能性”与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的,也就是说:单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性,才是概率意义下的“可能性”.

3.概率的统计定义,实际也是求一个事件的概率的基本方法.9

4.从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.由于集合是可以进行运算的,故可用集合表示的事件也能进行某些运算.设A,B是两个事件,那么在同一试验中,A或B中至少有一个发生就表示A∪B发生.我们称事件A∪B为事件A,B的并.它可以推广如下:在同一试验中,A1,A2，…，An中至少有一个发生即表示A1∪A2∪…∪An发生,10事实上,也只有其中的某一个会发生.

5.概率加法公式都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用,因此使用公式前先要判断事件是否互斥.

6.在求稍微复杂的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是直接求P（A）有困难时,转化为求P（）.11学点一必然现象和随机现象

【分析】必然现象和随机现象的概念是解题的关键.判断以下现象是随机现象还是必然现象：现象1：在平面内,n边形的内角和为（n-2）·180°;现象2：某人明天起床的时间（准确的）；现象3：12∶10在学生餐厅就餐的学生人数；现象4：在一定温度和稳定电压U下（直流电），导体内的电流强度（R为导体的电阻）.12

【评析】随机现象要满足以下三个条件：（1）在相同的条件下可以重复进行；（2）所有可能的结果是预先知道的，且不止一个；（3）每做一次试验总会出现可能结果中的一个，但在试验之前，不能肯定会出现哪个结果.

【解析】判断一个现象是否为随机现象，关键看这一现象发生的可能性，若一定发生或一定不发生，则它就不是随机现象，否则为随机现象.现象2、现象3为随机现象，现象1、现象4为必然现象.13学点二必然事件、不可能事件、随机事件的判断指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.（1）某体操运动员参加下周举行的运动会，事件“他获得全能冠军”;（2）同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”;（3）某人购买福利彩票，事件“他中奖”;（4）a,b∈R，比较a+b+2与a+b+1的大小，事件“a+b+2<

a+b+1”.

【分析】考查随机事件的概念.14

【解析】（1）中事件“他获得全能冠军”有可能发生，也有可能不发生，故其为随机事件.（2）中事件“点数之和不超过12”是必然要发生的，故其为必然事件.（3）中事件“他中奖”有可能发生，也可能不发生，故该事件为随机事件.（4）中事件“a+b+2<a+b+1”是不可能发生的，故该事件为不可能事件.

【评析】准确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概率是解题的关键.15学点三对概率概念的理解试解释下列情况中概率的意义:（1）某商场为促进销售,实行有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20;（2）一生产厂家称:我们厂生产的产品合格的概率是0.98.

【分析】概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.

【解析】（1）指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%.（2）是说其厂生产的产品合格的可能性是98%.

【评析】概率的本质属性是:从数量上反映出一个事件发生的可能性的大小,它的范围是［0,1］,即任何一个事件A的概率都满足0≤P（A）≤1.16一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下:

【分析】考查频率与概率.（1）填写上表中的男婴出生频率（如果用计算器计算，结果保留到小数点后第3位）；（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数555496071352017190男婴数2883497069948892男婴出生频率学点四通过大量重复试验求概率17

【解析】（1）由公式可算出上表中的男婴出生的频率依次为（2）由（1）知，某年起几年之内新生婴儿中男婴出生的频率虽然不尽相同，但频率总是在0.517附近摆动，可知该地区新生婴儿中男婴出生的概率约为0.517.

【评析】一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率

总是趋近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率.18学点五判断事件之间的关系

【分析】本题考查互斥事件与对立事件的概念.

某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.

（1）恰有1名男生与恰有2名男生;

（2）至少有1名男生与全是男生;

（3）至少有1名男生与全是女生;

（4）至少有1名男生与至少有1名女生.19

【解析】

（1）因为“恰有1名男生”与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有两名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.（2）因为恰有两名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们对立.（4）由于选出的是一名男生一名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.20

【评析】互斥事件是概率知识中的重要概念,必须正确理解.（1）互斥事件是对两个事件而言的.若有A,B两个事件,当事件A发生时,事件B就不发生;当事件B发生时,事件A就不发生（即事件A,B不可能同时发生）,我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件,否则就不是互斥事件.（2）对互斥事件的理解,也可以从集合的角度去加以认识.如果A,B是两个互斥事件,反映在集合上,是表示A,B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.如果事件A1,A2,A3,…,An中的任何两个都是互斥事件,即称事件A1,A2,…,An彼此互斥,反映在集合上,表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.21（1）至多2人排队等候的概率是多少？（2）至少3人排队等候的概率是多少？

经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:

【分析】本题考查互斥事件求概率.

【解析】记事件在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及5人以上分别为A,B,C,D,E,F.（1）至多2人排队等候的概率是P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.排队人员012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04学点六利用概率加法公式和求概率22（2）方法一:至少3人排队等候的概率是P（D∪E∪F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:因为至少3人排队等候与至多2人排队等候是对立事件,故由对立事件的概率公式,至少3人排队等候的概率是P（D∪E∪F）=1-P（A∪B∪C）=1-0.56=0.44.∴至多2人排队等候的概率是0.56,至少3人排队等候的概率是0.44.23学点七将较复杂的事件分解成互斥事件试解释下列情况中概率的意义:同时抛掷两枚骰子,求至少有一个5点或6点的概率.

【分析】视其为等可能事件,进而求概率.

【解析1】同时抛掷两枚骰子,可能结果如下表:1234561（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）6（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）24

【分析2】利用对立事件求概率.共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率P（A）=

【解析2】至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点或6点，如上表，没有5点或6点的结果共有16个，则没有5点或6点的概率为.至少有一个5点或6点的概率为.25

【评析】（1）本题常出现的错误有两类：一类是不符合题意，认为含5的有6个，含6的有6个，∴至少有一个5点或6点的共有12个，从而所求概率为；另一类是没有搞清楚A,B是否为互斥事件，直接利用公式P（A∪B）=P（A）+P（B）=

.（2）解题时，将所有基本事件全部列出来是避免重复和遗漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题，可求其对立事件的概率，进而求得其概率.261.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:投篮次数n8101291016进球次数m6897712

进球频率（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？解：（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为（2）由（1）知,每场比赛进球的频率虽然不同,但频率总是在附近摆动,可知该运动员进球的概率为.272.某厂产品的次品率为2%,问“从该厂产品中任意地抽取100件,其中一定有2件次品”这一说法对不对?为什么?解：这种说法不对.因为产品的次品率为2%,是指产品为次品的可能性为2%,所以从该厂产品中任意地抽取100件,其中可能有2件次品,而不是一定有2件次品.283.某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件