现代控制理论基础

现代控制理论基础主讲教师：贺廉云德州学院机电工程系1第二章控制系统的状态方程求解2.1线性定常系统状态方程的解2.2线性定常系统状态转移矩阵的几种求法2.3线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化2.4线性定常离散系统状态方程的求解2§

2.1.线性定常连续系统状态方程的解

可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。关键是求解状态方程。本节重点来讨论这个问题。先讨论自由运动的规律，即求自由解。

前面我们详细讨论了状态空间表达式的建立及相互转换。在建立了新的数学模型之后，接着就是求解问题。由于状态空间表达式由两部分组成,即3一、齐次状态方程的解所谓齐次状态方程，与齐次微分方程类似，即输入u(t)=0的情况。故齐次方程为：设初始时刻t0=0，初始状态为x0

采用拉氏变换法求解：对齐次方程两边取拉氏变换.反变换即得齐次状态方程的解：4下面就来讨论：

---解的变化是按指数形式变化的。对于状态方程的解，是否也具有指数形式呢？分析标量微分方程可知56逐项变换即x(t)=e-Atx0当初始时刻为t0≠0,初始状态为x(t0)时所以齐次状态方程的解可写为73.求齐次状态解的关键是求转移矩阵eAt，前面已给出了两种方法：2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状态转移，而转移规律取决于eAt

，eA(t-t0)

故称其为状态转移矩阵.一般用1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用下的自由运动，又称为零输入解；小结：来表示。8a)拉氏变换法：例：已知系统的状态方程为：试求在初始状态时的状态解。由于按幂级数计算不易写出闭式的结果，故通常用拉氏变换法。b)幂级数法：9解：1.求eAt10所以

2.求x(t):11二.状态转移矩阵：的解Φ(t),定义为系统的状态转移矩阵。1.定义：线性定常系统，初始时刻t0

=0,满足以下矩阵微分方程和初始条件在状态空间分析中状态转移矩阵是一个十分重要的概念。12讨论：（1）满足上述定义的解为Φ(t)=eAt(t0=0)证明：13所以当Φ(t)=eAt时，又因为Φ(t)=eAt

(t=0时)

eA0=I+A0+...=I

所以Φ(0)=I故eAt

是状态转移矩阵Φ(t)（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元素均为时间函数.14

由于状态转移矩阵具有矩阵指数函数的形式，故可推出如下性质2.性质：（1）Φ(t-t0)是非奇异阵.且15（2）其中16（3）（4）17由此关系可用于从eAt

反求A.例：已知（5）18（6）若则192021当系统输入u≠0

时，其S-E为.直接用分离变量法积分求解方程与采用拉式变换法求解方程,其结果是一致的.只讨论第一种方法.三.非齐次状态方程的解：22左乘e-

At：移项：即在区间[t0,t]上积分23结论：非齐次状态方程的解由两部分组成：a).由初始状态产生的自由分量—零输入解b).由输入引起的强迫分量—零状态解即或：24例：已知系统由前例得：解：1.求eAt

：试求：x(0)=0,u(t)=1(t)

时的状态解。252.求x(t)26所谓脉冲响应，即初始条件为零时，输入u为单位脉冲函数δ(t)，系统的输出称为脉冲响应。四.系统的脉冲响应及脉冲相应矩阵：根据这个定义，可求线性定常系统的脉冲响应。但是多变量系统的输入有r个，输出有m个。则脉冲响应显然与传递函数阵的维数不同,即系统地输出为Y(s)=G(s)U(s)是

m×1维的列向量.而G(s)是m×r维矩阵.在单变量系统定义脉冲响应函数为h(t)=L-1[G(s)]27即h(t)=L-1[G(s)]

m×r

,而y(t)=L-1[G(s)U(s)]m×1

为了将这一含义推广到多变量系统，我们按以下方式定义脉冲响应函数阵。以后将会知道，在多变量系统中,脉冲响应函数阵虽不等于真正的脉冲响应输出y(t),但却等于传递矩阵的拉式反变换。定义：m×r阶矩阵h(t)=CeAtB

称为系统的脉冲响应矩阵。28状态解为：初始时刻t0=0初始状态x(0)=0

设系统的状态空间表达式为则输出解为：29讨论单变量系统的情况:当输入--卷积30以上关系表明h(t)包含了G(s)的全部信息，也反映系统的基本传递特性。反之性质：1.h(t)是传递矩阵的拉式变换31

2.h(t)在线性变换下的不变性：即证明:令线性变换后.其中: 32则状态转移矩阵满足以下性质：一般有：33

1.齐次状态方程的解：小结：本节主要讨论了状态求解的问题：

2.非齐次状态方程的解：34

4.脉冲响应矩阵：定义：满足矩阵微分方程的解Φ（t）

3.状态转移矩阵：35§2.2线性定常连续系统Φ(t)的算法

1.对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出的结果是解析式，在实际中最常用。特点：一.拉氏变换法： 前面已在求状态解时推出

在线性定常系统状态方程的求解中，关键是求Φ(t),本节介绍几种算法:

2.对于高阶系统，会遇到求逆的困难,如36

求逆阵可采用一些数值计算方法，用计算机计算。求逆变换关键是高阶分解因式，部分分式展开很麻烦。二.幂级数法：此法是一种直接计算法，前面已介绍过。37特点：是一种无穷开式，很难写成闭式，一般采用近似计算，精度将取决于所取项数的多少，适合于计算机计算。例：已知系统的状态方程为：试求其状态转移矩阵.解：将A阵代入幂级数展开式3839三.对角形法与约当标准形法：

1.矩阵A的特征值λ1λ2…λn

互不相同，其状态转移矩阵可由下式求得其中：P是使A化成对角形的线性变换。40则证明：λ1λ2…λn

互异，必有非奇异矩阵P，将A化成对角形，即：41

小结：利用对角线法eAt的方法:1.求λ1λ2…λn（条件：λ1λ2…λn

互异）;2.求特征矢量：P1P2…Pn;

3.写出变换阵P=[P1P2…Pn

],求出P-14.求eAt

：特点：求P阵比较麻烦，常用于理论推导。42例：已知用对角形求Φ（t）解：1.求特征值：43

2.求特征矢量：即解出：4445463.求P，P-1：4.求

eAt

：4748

2.矩阵A有相重特征值:

定理：若矩阵A有相重特征值，其状态转移矩阵可由下式求得49

eAt=QeJtQ-1

其中：Q是使A化为约当标准形J的线性变换阵。

证明:若A阵具有重特征值，且每个互异特征值对应一个独立的特征矢量，则必存在一个非奇异阵Q，使A阵化为约当标准形J。

即其中

则J=QAQ-150其中：若Ji为J的约当块，则eJit为Φ（t）中对应的约当块。51证明:以Ji有三重特征值为例证明。此时5253

步骤：求eAt

的方法同对角形求法相一致

1.求λi

；

2.求Qi

；

3.求eAt=QeJtQ-154四.化eAt

为A的有限项法：由于eAt

可展开无穷级数，但计算时只取有限项，计算结果是不准确的，若能把无穷项级数化成有限项，则计算会简便准确。1.

化有限项的有关理论：

凯—哈定理及最小多项式的概念在现代理论中经常用到.下面简要介绍一下有关内容：

1）矩阵A的零化多项式： 定理：设有变量s的多项式，矩阵A是n×n阶方阵，若满足：55

则称为矩阵Ａ的零化多项式。

2）凯—哈密顿定理 定理：矩阵Ａ的特征多项式是Ａ的零化多项式。即：证明：56

又因为 中各元为(n-1)次多项式，故可一般表示为： 代入上式有： 用A代替s将上式展开得 57

3）矩阵A的最小多项式：定义：A的零化多项式中，次数最低的零化多项式称为A的最小多项式。用表示。 的求法：定理：设A的伴随矩阵全部元素的最大公因子为d(s)则. 58注：1.该定理证明要用到矩阵多项式的概念. 2.计算要先求。将各元变为因子相乘的多项式。从中找出各元的最大公因子，且取首1多项式的形式. 例：已知：试求A的最小多项式并验证凯—哈定理。59解：

1.60所以最大因子：故A的最小多项式为：

进一步可验证上式是以A为根的零化多项式612.验证凯—哈定理： 62则An可表示成低于n阶幂矩阵的线性组合。

2.eAt

能化成有限项的依据：

由凯—哈定理知：矩阵A的特征多项式是A的零化多项式，即63由此可推得：上式表明：对于k≥n，Ak均可用An-1，…，A,I这n个独立项的线性组合来表示。所以可将eAt无穷项化成有限项。64故可令：

设n个根为λ1λ2…..λn，按上式对每个根都有以下结果即特征方程第一种情况：A的特征值互异

2.待定系数的求法

式中，—n个待定系数，是t的标量函数。65于是对于其中系数与前面eAt

的系数相同。当k≥n

时，λik的各项均可用的线性组合表示，得出下列方程组：66解此方程组，得系数例：已知试用化为A的有限项法求67解：1.求特征值2.求系数68693.求

7071第二种情况：A有相重特征值设A有n重特征值λ1

，则按以上方法必有下式但由于是n重根，不能按同样形式写出n个方程，对上式依次对λ1求导，直至（n-1）次，可得到（n-1）个导数方程。然后联立这n个方程解出n个待定系数。即

72解方程组即可求得系数。73第三种情况：系统有单根，也有重特征根设系统矩阵A的特征值中，λ1为m重特征值，λm+1，…，λn为互异的单特征值，根据情况二列写m个方程，根据情况一列写（n−m）个方程，解上述n个方程，即可得出系数的计算公式。例：已知系统矩阵试用化eAt为A的有限项法求eAt。742.求系数αi(t)：解：1.求特征值：75

即763.求eAt

：77可见，以上几例求出的eAt

中各元都是的线性组合。78§2-3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化一.离散系统的状态空间表达式1.一般形式。由离散状态方程和离散输出方程组成。式中：T是采样周期。方程中的矢量，各系数矩阵的名称和维数都与连续系统相同，为简单起见常省去T将方程写成如下形式

79即：2.结构图。上述方程可用结构图来表示80

3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表达式之间的转换

在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式之间的变换，和连续系统分析相类似。连续D.E离散差分方程脉冲传函状态空间表T.FS.E 达式81解：1,G(z)差分方程状态空间表达式例：已知脉冲传递函数为试求其状态空间表达式差分方程为82所以832.G（z）部分分式法状态空间表达式则843.状态空间表达式G（z）85对连续系统，若常用数字计算机进行实时控制或求解，首先必须把连续系统转化成离散系统，这个过程称之为连续系统的离散化。二.定常连续系统的离散化离散方程设定常连续系统86连续系统其状态解为：即取t0=Kt,t=(k+1)T

1、直接离散化：

离散化的实质就是用一个矩阵差分方程去代替一个矩阵微分方程。87在其输入向量u(t)=u(kT)，初始时刻t0

=kT，则状态方程的解为

对第二项积分作变量代换：令t=（k+1）T-τ；dt=-dτ上限：τ=（k+1）T，t=(k+1)T-τ=0下限：τ=kT,t=(k+1)T-τ=T8889

例：求的离散化方程解：先求eAt：由拉氏变换法得909192U(s)G0(s)Y(s)2、由脉冲传函实现离散化步骤：1首先求连续系统的传递函数2按照离散系统的结构图求脉冲传函3按脉冲传函与标准型状态空间表达式的关系写出离散化的状态空间表达式93U(s)解：因为离散化后的系统结构图为：上图的传递函数为：例1-26已知连续系统的传递函数为，试求其离散化状态空间表达式94对上式取z变换：最后由G（z）写出其能控标准型的状态空间表达式95§2-4离散系统状态方程的解k=0时,x(1)=Gx(0)+Hu(0)k=1时,x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1) ……一.定常离散系统状态方程的解：（两种方法）1迭代法：状态方程本身就是一个基本的迭代方程依次将采样时刻k=0，1，2，3……代入上式即可。已知：初始时刻KT=0，初始状态为x(0)96几点讨论：2).第k个采样时刻的状态，只与采样时刻0,1,2…k-1时的输入值有关系，而与第k个次采样时刻输入值无关，这是惯性系统的一个基本特征；由初始状态引起的响应——反映系统的自由运动——零输入响应由输入引起的响应——反映系统的强迫运动——零状态响应。1).定常离散系统的状态解由两部分组成：97φ(k)也满足状态转移矩阵的两个定义条件：矩阵差分方程：φ(k+1)=Gφ(k)初始条件：φ(0)=

G0=I证明：

3).与连续系统的状态解比较上式中的Gk称为定常离散系统的状态转移矩阵，记为φ(k)=Gk98

4).φ(k)的基本性质99序列：或5).引入φ(k)后，状态解又可表示为：序列：1002.z变换法：对方程两边取z变换与第一种方法比较可知：求反变换：101所以1022.迭代法求出的解是一个数值解。只能求出某一时刻的数值。但迭代公式本身就是状态方程，简单方便，而且不用求出状态转移矩阵Gk；如果已求出φ(k)=Gk，则可用解的迭代公式求出自由分量和强迫分量.1.z变换求出的解是一个完整解，其中解的结构可分为自由解和强迫解两部分，可分别求出，对分析运动过程有本质的帮助。解的形式是一个闭式，即解析式。注：103例：求线性定常离散系统的解解：(1)用迭代法求解已知104直至105(2)用标准型求Gk,再代入解的迭代公式也可先求出106又知u(k)=1于是（3）用z变换法求解:先计算(zI

–G

)-1107108令k=0，1，2，3，…

代入上式，可得以上两种方法计算结果完全一致，只是迭代法是一个数值解，而z变换法则得到了一个解析表达式。109二、离散系统的状态转移矩阵离散系统状态转移矩阵Φ(k)的求取与连续系统转移矩阵Φ(t)极为类似。

2．z变换法根据z变换法求取离散系统状态方程解中的对应关系，状态转移矩阵Φ(k)为来计算。该方法简单，易于计算机来解，但不易得到Φ(k)的封闭式。1．直接法根据离散系统递推迭代法中的定义110那么，离散系统的状态转移矩阵Φ(k)为式中，为对角线标准形，若特征方程│λI−G│=0的特征根为λ1，λ2，…，λn，则有

3．化系统矩阵G为标准形法（1）当离散系统矩阵G的特征值均为单根时当离散系统矩阵G的特征根均为单根时，经过线性变换可将系统矩阵G化为对角线标准形，即111式中，P为化系统矩阵G为对角线标准形的变换矩阵。112例:齐次离散系统状态方程为试求其状态转移矩阵Φ(k)。解：其特征值

λ1=−0.2λ2=−0.8化系统矩阵G为对角线标准形的变换矩阵P为113则114(2)当离散系统矩阵G的特征值有重根时式中J—约当标准形；

Q—化系统矩阵G为约当标准形的变换矩阵。4．化为G的有限项法应用凯莱-哈密尔顿定理，系统矩阵G满足其自身的零化多项式。离散系统状态转移矩阵可化为G的有限项，即115式中αi(k)(i=0，1，…n−1)为待定系数，可仿照连续系统的方法来求取。例:

线性定常离散系统的状态方程为试求系统的状态转移矩阵Φ(k)。解：离散系统特征方程为116其特征值

λ1=−1λ2=−2待定系数可按下式求取解之得则离散系统状态转移矩阵为117118第二章总结一、线性定常连续系统1.线性定常系统状态转移矩阵它包含了系统运动的全部信息，可以完全表征