用微分方程建立数学模型

用微分方程建立数学模型

授课对象：大二学生课时：２学时目的：用微分方程建立数学模型讲授教师：杜玉琴

一、案例1[人口问题

]成正比，从而建立了Malthus人口模型。英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻的人口数为x(t)，则人口增长速度与人口总量x(t)的方程称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的右端是只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积．形如：(1)可分离变量的微分方程通过分离变量为

(2)

二、概念及公式的引出的形式，即微分方程的一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,将上式两端积分，得设G(y),F(x)分别为g(y),f(x)原函数，则得微分方程G(y)=F(x)+C。的通解为：

练习１

1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我国的GDP是多少？

[国民生产总值]解

(1)建立微分方程记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即得微分方程（2）求通解分离变量得方程两边同时积分，得（3）求特解将p(0)=80423代入通解，得C=80423，所以从1999年起第t年我国的GDP为将t=2010-1999=11代入上式，得2010年我国的GDP的预测值为练习2

[环境污染问题]

某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘．流入的速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%?解（1）建立微分方程设在时刻t塘中有害物质的含量为Q(t)，此时塘中单位时间内有害物质的变化量

=(单位时间内流进塘内有害物质的量)-(单位时间内流出塘的有害物质的量)有害物质的浓度为，于是有即,（1）初始条件为Q(0)=0.（2）求通解式（1）是可分离变量方程，分离变量得积分，得即（3）求特解由初始条件t=0,Q=0得C=-2500，故当塘中有害物质浓度达到4%时，应有由此解得(min)即经过670.6min后，塘中有害物质浓度达到4%，，塘中有害物质的最终浓度为由于练习3[刑事侦察中死亡时间的鉴定]

当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度H随时间t的变化规律．又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？注

牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．解

（1）建立微分方程的冷却速度其中k>0是常数，初始条件为H(0)=37．

设尸体的温度为H(t)(t从谋杀后计)，根据题意，尸体正比．即与尸体温度H和空气温度20之差成分离变量得（2）求通解研究积分得把初值条件H(0)=37代入通解，求得C=17．于是该初值问题的解为为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有（3）求特解求得，于是温度函数为将H=30代入式(1)有，即得(h)。于是，(1)

可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4h，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的．1.[年人均收入]据统计，2002年北京的年人均收入为12464