熟练掌握叠加定理

重点:1.熟练掌握叠加定理、替代定理、戴维南和诺顿定理；2.掌握齐性定理和最大功率传递定理。第4章

电路定理

(CircuitTheorems)问题引出：在线性电路中，有多个独立电源作用时，任一支路电流(或电压)具有和特点？

4.1叠加定理(SuperpositionTheorem)叠加定理:在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。三个电源共同作用==us1单独作用+us2单独作用++us3单独作用+R1us1R2us2R3us3i1i2i3+–+–+–iaibR1us1R2R3i1'i2'i3'+–R1R2us2R3i1''i2''i3''+–R1R2R3us3i1'''i2'''i3'''+–当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值。即将电压源看作短路，将电流源看作开路。对于有b条支路、m个电压源和n个电流源组成的线性电阻电路，各支路的电压和电流解答式为：例1.求图中电压u。+–10V4A6+–4u0解:(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路4A6+–4u''u'=4V(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路u“=-4[4

6/（4+6）]=-9.6V共同作用：u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6+–4u'例2.求电压Us解:+–10V6I14A+–Us+–10I14+–10V6I1'+–Us'+–10I1'4I2I26I1''4A+–Us''+–10I1''4I2齐性原理（homogeneityproperty):线性电路中，所有激励(独立源)都同时增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。例3.解:采用倒推法：设i'=1A。则求电流i。RL=2R1=1R2=1us=51Vi+–2V2A+–3V+–8V+–21V+–us'=34V3A8A21A5A13AR1R1R1R2RL+–usR2R2i'=1A4.2替代定理(SubstitutionTheorem)对于给定的任意一个电路，其中第k条支路电压uk、电流ik为已知，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。A+–ukikA

定理内容:Aik+–uk支路

k

注：1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。2.替代后其余支路及参数不能改变。3.被替代支路可含源或不含源，但一般不应含受控源或受控源控制支路

2.5A10V5V251A1.5A

5V3A5A2A48V例.若要使试求Rx。0.50.5+–10V31RxIx–+UI0.50.50.51–+UI0.5解：用替代定理：利用叠加定理：U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.20.50.51–+U'I0.50.50.51–+U''0.5U1U20.50.51U''0.5+-4.3戴维宁定理和诺顿定理

(Thevenin-NortonTheorem)工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路(通常为二端网络或称一端口网络)，等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。R3R1R5R4R2iRxab+–us1.戴维宁定理任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个电压源(Uoc)和电阻Req的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压，而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻。AabiuiabRiUoc+-u例2外电路含有非线性元件J-100V40V200V30K10K60K+-UI5KAB1004020030K10K60K+++---ABUAB+-解：求开路电压UAB当电流I>2mA时继电器的控制触点闭合（继电器线圈电阻是5K

）。问现在继电器触点是否闭合。30K10K60KABRAB例3.(1)计算Rx分别为1.2、5.2时的I；(2)Rx为何值时，其上获最大功率?IRxab+–10V4664解：保留Rx支路，将其余一端口化为戴维南等效电路：ab+–10V466–+U24+–U1IRxIabUoc+–RxReqNSRi+-u最大功率传输定理:iRo+-+-uRuoc含受控源电路戴维宁定理的应用求U0。336I+–9V+–U0ab+–6I例4.abUoc+–Req3U0-+解：方法1(1)求开路电压Uoc36I+–9V+–Uocab+–6I36I+–U0ab+–6II0(2)求等效电阻Ri(加压求流)含受控源电路戴维宁定理的应用求U0。336I+–9V+–U0ab+–6I例4.abUoc+–Req3U0-+解：方法2（开路电压、短路电流）36I+–9VIscab+–6II1任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。4.诺顿定理AababGi(Ri)Isc例5.求电流I。12V210+–24Vab4I+–4IabGi(Ri)Isc(1)求Isc解：210+–24VabIsc+–I1I212V(2)求Ri：Ri210ab定理1：（功率守恒定理）对于一个具有n个节点b条支路的电路，若各支路电压、电流均取关联参考方向，则对任何时间t，有式中，，分别为第k支路的支路电压、电流。4.4特勒根定理

(Tellegen’sTheorem)定理2（具有相同拓扑结构（特征）的电路）具有相同拓扑结构（特征）的电路两个电路，支路数和节点数都相同，而且对应支路与节点的联接关系也相同。NR5R4R1R3R2R6+–us11234NR5'R4'R1'R3'R6'us6is2+–1243例1：(1)R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U2=2V(2)R1=1.4,R2=0.8,Us'=9V时,I1'=3A,求U2'。解：利用特勒根定理由(1)得：U1=4V,

I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1AUs无源电阻网络

P–+U1+–R1I1I2–+U2R2

例2.U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A解：P–+U1–+U2I2I1P–+–+24.5

互易定理(ReciprocityTheorem)第一种形式:电压源激励，电流响应。cd线性电阻网络Ni1+–us2ab(b)i2线性电阻网络N+–us1abcd(a)当us1

=

us2

时，i1

=

i2第二种形式:电流源激励，电压响应。当is1

=

js2

时，u1

=

u2。u2is1+–(a)is2+–u1(b)

若us=is

，则第三种形式：激励电流响应电流互易为激励电压，响应电压

(a)11'2'2i2Nis(b)Nˆ11'2'2+–us+–u1ˆ例：2124+–8V2Iabcd求电流I。解：利用互易定理I1=I'2/(4+2)=2/3AI2=I'2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A2124+–8V2IabcdI1I2I'(1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。(2)激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。(3)电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。(4)互易要注意电源与电压(电流)的方向。(5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：1.对偶元素

4.6对偶原理(DualPrinciple)2.电路中的对偶结构及对偶关系串联电路与并联电路对偶2.电路中的对偶结构及对偶关系二网孔与二独立节点电路对偶例5.解：(1)a、b开路电压。abUoc+–+–UR0.5kRi用戴维南定理求U。+–10V1k1k0.5IabR0.5k+–UIUoc+–10V1k1k0.5Iab+–II=0，0.5I=0，Uoc=10V(2)求Ri。a.加压求流法U0=(I0-0.5I0)103+I0103=1500I0Ri=U0/I0=1500+–10V1k1k0.5IabR0.5k+–UI1k1k0.5Iab+–U0II0I=I0U0