2022-2023学年江西省上饶市民校考试联盟高二年级上册学期12月联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省上饶市民校考试联盟高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．若直线与互相垂直，则实数a的值为（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【分析】根据给定条件利用两条直线互相垂直的关系列式计算作答.【详解】因直线与互相垂直，则，解得，所以实数a的值为.故选：C2．若点在圆的内部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】点在圆的内部，求解即可【详解】由题意，点在圆的内部故，即解得：则a的取值范围是故选：D3．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平行关系设直线方程为，利用直线与圆相切，则圆心到直线距离为圆半径得到方程，解出即可.【详解】由题可设知与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为.故选：B.4．已知直线和以为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】先求出所过的定点，结合直线与线段相交，应用斜率两点式求出斜率k的范围.【详解】由题设，恒过点，则，，又在y轴上，在y轴两侧，故直线的斜率.故选：D5．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（

）A．2 B．2或18 C．4 D．18【答案】B【分析】利用双曲线的定义即可求解.【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足.故选：B6．甲､乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪､短道速滑､花样滑冰､冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有（

）A．96种 B．60种 C．36种 D．24种【答案】B【分析】根据题意，肯定有一个场地是两个人，该问题分为两类，一类是高山滑雪场两人，一类是高山滑雪场一人，之后利用分类加法计数原理求得结果.【详解】分两类，一是高山滑雪场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同的安排方法共有种；二是高山滑雪场只安排1人（甲），其余4人分三组（211），再安排到各场地，有种.∴.不同的安排方法有.故选：B.7．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且,为BC中点，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到.【详解】连接,是的中点，,,.故选：B8．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出所表示的半圆，结合直线所过的定点，应用数形结合法判断直线与半圆有两个相异的交点，直线的位置情况，即可求k的范围.【详解】由题设，表示圆的半圆，又直线过定点，由下图知：k的取值范围在直线与半圆左侧相切时斜率(不含)、直线过时斜率之间.当在半圆左侧相切时到直线距离等于半径，即，可得.当直线过时，；综上，要使直线与半圆有两个相异的交点，k的取值范围是.故选：C二、多选题9．下列说法不正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的一个方向向量(1,2)C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．直线，为直线上动点，则的最小值为【答案】AC【分析】利用直线垂直的性质判断A，利用直线的方向向量判断B，利用直线的点斜式方程判断C，表示到的距离的平方，然后可判断D．【详解】对于A，由直线与直线互相垂直可得，解得或，是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故A错误，对于B，直线的斜率为2，则该直线的一个方向向量为，故B正确，对于C，当时，无意义，故C错误，对于D，表示到的距离的平方，的最小值即为到直线距离的平方，即，故D正确．故选：AC．10．若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由各选项的椭圆方程求椭圆参数，由椭圆的性质知椭圆上点到焦点距离最大为，最小为，结合“倍径椭圆”的定义即可判断.【详解】A：由椭圆方程有，所以，则，故存在符合题设的P点；B：由椭圆方程有，所以，则，故不存在符合题设的P点；C：由椭圆方程有，所以，则，故存在符合题设的P点；D：由椭圆方程有，所以，则，故不存在符合题设的P点；故选：AC.11．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点P为椭圆C的上顶点，点Q为椭圆C上的动点，直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C中（

）A．短轴长为4 B．渐近线方程为C．点Q在两处取到直角 D．离心率为【答案】AD【分析】不妨设，，利用椭圆的面积、的斜率之积求出可判断A；椭圆无渐近线可判断B；设，求出得到，即可判断C；求出可判断D.【详解】对于A，椭圆的面积，即①，因为点P为椭圆C的上项点，所以，因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以，因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②，①②联立解得：．所以椭圆C的短轴长为，故A正确；对于B，由于椭圆无渐近线，故B错误；对于C，椭圆方程为，所以，不妨设，所以，所以，即，所以四个象限各存在一个点使得取到直角，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确.故选：AD.12．已知抛物线C:的焦点，过的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（

）A．为定值 B．AB中点的轨迹方程为C．最小值为16 D．O在以AB为直径的圆外【答案】ABD【分析】首先确定抛物线方程，再根据直线与抛物线联立得交点坐标关系，，逐项分析转化为坐标关系求解判断即可.【详解】由题意可知：，所以，则抛物线方程为C：，设直线l的方程为：，所以，则，所以，对于A：，故选项A正确；对于B：设的中点为，则有，所以满足，故选项B正确；对于C：（当且仅当取等号），故选项C错误；对于D：，则O在以AB为直径的圆外，所以选项D正确．故选：ABD.三、填空题13．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是___________．【答案】【详解】试题分析：的焦点为，所以化为【解析】椭圆抛物线方程及性质14．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为中点，则直线的方程为___________.【答案】【分析】结合点差法求得直线的方程.【详解】椭圆，由，令得：，所以在椭圆内，同时，当直线的斜率不存在，即直线时，，不是线段的中点，所以直线的斜率存在.设，则，两式相减并化简得，即，所以直线的方程为，即.故答案为：15．的展开式中，的系数等于_______.【答案】【分析】只可能出现在后三项中，直接利用二项展开式的通项进行求解即可.【详解】依题意，这一部分才会出现，它们展开式含有的项为：.故答案为：16．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为___________.【答案】【分析】将该半正多面体补成正方体，因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为2,建立空间直角坐标系即可求解.【详解】将该半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为，，，故直线与直线所成角的余弦值为.故答案为：四、解答题17．知两条不重合的直线和，．(1)若，求a的值；(2)若，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，解之即可得解；（2）由，可得，解之即可.【详解】（1）解：因为，所以，解得，所以；（2）解：因为，所以，解得，所以.18．已知圆C：，直线l：.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.【详解】（1）由圆：，可得，其圆心为，半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.（2）由（1）知：圆心到直线的距离，因为，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，则直线为或.19．（1）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14:3，求展开式中的常数项；（2）已知的展开式中的系数为5，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求常数项；（2）利用多项式的乘法结合二项展开式的通项公式可求的值.【详解】（1）的展开式的通项公式为，第5项与第3项的二项式系数分别为，整理得到：即，所以，故，令，则，所以展开式中的常数项为.（2）展开式的通项公式为，故该展开式中的系数为，的系数为，故的展开式中的系数为，由题设有，故.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求的中点的坐标；（2）求的周长与面积．【答案】（1）；（2）周长为，面积为．【分析】（1）求出椭圆的焦点，进而求出的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理以及中点坐标公式即可求解.（2）利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，利用弦长公式求出，根据三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由，知，．，的方程为由消去y，整理得．设的中点为，则，，，，的中点的坐标为．（2）由题意，知到直线的距离，，的周长为，面积为．【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系、中点坐标坐标公式、弦长公式，属于基础题.21．在矩形中（图1），，，为边上的中点，将沿折起，使得平面平面，连接，形成四棱锥．(1)求证：．(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，然后可证；（2）联立空间直角坐标系，利用向量法可解.【详解】（1）在矩形中，，，所以，故．因为平面平面，且平面平面，所以平面．又因为平面，所以．（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．因为，则，，．设平面的法向量为，则有，取得，平面为坐标平面，故可取法向量为，记平面与平面夹角为，则，由图可知，平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为．22．如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．（i）已知，，求的值；（ii）求的最小值．【答案】(1)；