2022-2023学年江西省南昌市高二年级上册学期第二次月考数学试题

高二月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（）A． B．4 C．1 D．2．如图所示，在平行六面体中，E为AC与BD的交点，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．3．已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含4．已知空间中三点，，，则（）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是5．已知椭圆的左右焦点分别，，焦距为4，若以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（）A． B． C． D．6．已知椭圆C：，过点的直线交椭圆C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为（）A． B． C． D．7．已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（）A． B． C． D．8．劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美第2题图2的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线l：，其中，则（）A．直线l过定点B．当时，直线l与直线垂直C．若直线l与直线平行，则D．当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数10．以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（）A．双曲线与椭圆有相同的焦点B．过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有2条C．设A，B是两个定点，k是非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线的一支D．动圆P过定点且与定直线l：相切，则圆心P的轨迹方程是11．已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的值可能为（）A． B．3 C．4 D．12．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，，上的动点（不含端点），则（）A．异面直线与AF成角可以为B．当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行C．当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为D．存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．两平行直线和间的距离是．14．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的一条渐近线与圆相切，则．15．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是，，，，焦点分别为，，延长与交于P点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为．16．已知曲线C的方程是，命题“曲线C的图象既关于原点对称又关于x轴对称”是命题（填“真”或“假”），若点在曲线C上，则的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知以点为圆心的圆与，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．（Ⅰ）求圆A的方程；（Ⅱ）当时，求直线l的方程．18．如图，已知直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，，E是的中点，F是BC的中点．（Ⅰ）求异面直线和所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．19．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC边的中点分别为和，点M为BC边的中点．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）设点M的轨迹为曲线，直线与曲线的另一个交点为N，线段的中点为E，记，求S的最大值．20．如图（1）图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到的位置，如图（2）所示．（Ⅰ）证明：CD⊥平面；（Ⅱ）若平面平面BCDE，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21．“人工智能＋科技创新”正在掀起校园新浪潮，为加强人工智能教育，全面提升学生的科学素养．某高中科创社团学生，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，而机器鼠的位置始终满足：A，B两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）．在时刻，测得机器鼠与点O的距离为4米．（Ⅰ）以O为原点，直线AB为x轴建立如图直角坐标系，求时刻机器鼠所在的坐标．（Ⅱ）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域内运动，就有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？22．设点为抛物线C：的动点，F是抛物线的焦点，当时，．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当P在第一象限且时，过P作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点A，B，且，证明：直线AB恒过定点，并求该定点的坐标；（Ⅲ）是否存在定圆M：，使得过曲线C上任意一点P作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点C，D时，总有直线CD也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．D【详解】对于A项，，，所以，则与不是共线向量，所以A项错误；对于B项，因为，所以的单位向量为，所以B项错误；对于C项，向量，，所以，所以C项错误；对于D项，设平面ABC的法向量是，因为，，所以，则，令，则平面ABC的一个法向量为，所以D项正确．故选：D．5．A【详解】∵以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，∴这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，∴，又即，∴，∴椭圆方程为．故选：A。6．B【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，因为，两式作差得，即，即，所以，，因此，直线AB的方程为，即．故选：B．7．C【详解】由，得，因为，所以，．又，即，所以．设，则，又，则，解得，所以，，所以是正三角形，从而．在中，由，得，所以．故答案为：8．B【详解】以B为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记BM⊥OC且垂足为MA在y轴上的投影点为D，设抛物线方程为，由题意可知：，，，所以，所以，代入抛物线方程可知，所以，所以抛物线方程为，又因为，所以，所以，所以，所以OA的高度为，故选：B．9．ABD【详解】对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确；对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确；对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误；对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确．10．AD【详解】椭圆的焦点为，双曲线的焦点为，故A正确；对于B，双曲线的实轴长为10，则过该双曲线的右焦点与两支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线只有1条，双曲线的通径长为，则过该双曲线的右焦点与一支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线有2条，因此过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，B错误对于C，当时，动点P的轨迹是一条射线，当时，动点P的轨迹是双曲线的一支，C错误；对于D，因为动圆P过定点且与定直线l：相切，即P点到的距离与到直线l：的距离相等，根据抛物线的定义可得，P点为以为焦点、为准线的抛物线，所以动点P的轨迹为，故D正确；11．CD【解析】设，．可化为，所以圆的半径，圆心．由，知焦点，当过点F的直线的斜率不存在时，PQ的直线方程为，与抛物线方程联立得，所以，，与圆的方程联立得，所以，，所以，此时．当过点F的直线的斜率存在时，可设该直线方程为，代入抛物线方程并消去y，得，所以．由抛物线的定义可知，，，因为，所以，，所以，故，当且仅当即，时等号成立，结合选项CD正确．12．BCD【详解】对A：因为，故与AF的夹角即为与AF的夹角，又当F与C重合时，取得最大值，为；当F与点重合时，取得最小值，设其为，则，故；又点F不能与C，重合，故，，故A错误；对B：当G为中点时，存在E，F分别为BC，的中点，满足面AEF，证明如下：取的中点为M，连接，MG，如下所示：显然，又面AEF，面AEF，故面AEF；又易得MG∥EF，面AEF，面AEF，故MG∥面AEF；又，，面，故面面AEF，又面，故面AEF，故B正确；对C：连接，，AE，如下所示：因为，故面即为平面AEF截正方体所得截面；又，故该截面为等腰梯形，又，，故截面面积，故C正确；对D：连接GC，取其中点为H，如下所示：要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需EF经过GC的中点，显然存在这样的点G满足要求，故D正确．故选：BCD．13．14．15．16．真 15．【详解】由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则，，因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，所以，即，又，所以，两边同时除以，得，即，解得或，又，所以．16．【详解】在曲线C上任取一点，则该点关于原点的对称点为，因为，即点在曲线C上，点P关于x轴的对称点为，则，即点在曲线C上，因此，命题“曲线C的图象既关于原点对称又关于x轴对称”是真命题，同理可知，曲线C关于y轴对称，当且时，曲线C的方程为，由题意可知，曲线可将椭圆按照平移得到，作出曲线C的图形如下图所示：设，当取最大值时，则直线在y轴上的截距最大，此时点M在第一象限，设点，由，可得，不妨取，则，因为，则，故当时，取最大值．17．【答案】（1）；（2），或．【详解】（1）选①：因为圆A与直线相切，所以圆A的半径为，因此圆A的方程为；选②：因为圆A与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，所以圆A的方程为；选③：设圆的圆心为，两圆的一条公切线为m，两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下：设圆A的半径r，因此有：，所以圆A的方程为；（2）三种选择圆A的方程都是，当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得，显然，符合题意，当过点的动直线l存在斜率时，设为k，直线方程为，圆心到该直线的距离为：，因为，所以有，即方程为：综上所述：直线l的方程为，或．18．【答案】（1）（2）【解析】（1）连结AC，BD，使．因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，以O为原点，、的方向为x轴､y轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．设，由，底面ABCD是菱形，所以．所以∴，，，，∵F是BC的中点，E是的中点∴，，∴，设异面直线和所成角为，则．∴异面直线和AF所成角的余弦值为．（2）由（1）可得，设平面的法向量为，则，令，得，由（1）知，设直线与平面所成角为，则．∴直线与平面所成角的正弦值为．19．【答案】（1）（2）【详解】（1）依题意有：，且，∴，故点M的轨迹C是以和为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M不落在x上，综上，所求轨迹方程：．（2）设，，显然直线不与x轴重合，不妨设直线的方程为：，与椭圆方程联立整理得：，，，，，，∴，令，则，∵，∴，当，即时，∴，∴当直线轴时，∴．20．【答案】（1）证明见详解（2）【详解】（1）在图（1）中，因为，，E是AD的中点，，所以BE⊥AC则在图（2）中，，，，平面，平面，从而BE⊥平面，又CD∥BE，所以CD⊥平面．（2）由已知，平面平面BCDE，平面平面，又由（1）知，，，所以为二面角-BE-C的平面角，所以．如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为，BC∥ED，则，，所以，，，，得，，．设平面的法向量，平面的法向量，锐二面角为，则，得，取，，得，取，从而，所以，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21．【答案】（1）（2）没有“被抓”的风险（1）由题意得：，，∵机器鼠接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，∴机器鼠距离A点的距离比距离B点的距离多米，设机器鼠位置为P，则，∴P点轨迹是以A，B为焦点，实轴长为8的双曲线的右半支，∴P点轨迹方程为：；∵在时刻，测得机器鼠与点O的距离为4米，即，∴，即时刻机器鼠所在的坐标为．（2）由题意得：直线l：；与直线l平行且距离不超过1.5米的直线方程为：，由得：，则，∵，∴，∴与无交点，即没有“被抓”的风险．22．【答案】（1）；（2）定点为，详见解析；（3），证明见解析．（1