2022-2023学年上海市闵行高二年级上册学期10月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市闵行第三中学高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_____.【答案】平行或异面【分析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交．【详解】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交，∴分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面．故答案为平行或异面．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．2．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是___________.【答案】【分析】由圆柱的底面直径即为轴截面的边长，进而可以求解.【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为，所以圆柱的底面的面积为.故答案为：.3．如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线与所成角大小为________.【答案】【分析】推导出，从而是直线与所成角（或所成角的补角），由，能求出正方体中直线与所成角大小．【详解】把六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，如图，，是直线与所成角（或所成角的补角），，，正方体中，直线与所成角大小为．故答案为：．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=__．【答案】【详解】试题分析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．【解析】异面直线及其所成的角点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题5．方体中，，，点E为棱AB的中点，则与平面所成角的大小为___________（结果用反三角函数值表示）【答案】【分析】取中点，连接，根据线面角的定义得即为所求，解三角形即可得结果.【详解】取中点，连接，由于且，所以四边形为平行四边形，所以，由长方体的性质可得面，所以即为与平面所成的角，因为，，所以，即，所以与平面所成角的大小为，故答案为：.6．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_________．【答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解.【详解】由题意，正四棱柱如下图：不妨设正四棱柱底面边长为，，由已知条件可得，，又因为底面，所以对角线与底面所成角为，因为对角线与底面所成角的余弦值为，，所以，解得，从而，故该正四棱柱的表面积.故答案为：10.7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.【答案】36【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对.如下图所示：①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个；②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个.综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个.故答案为.8．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________．【答案】②③【分析】设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由勾股定理即可判断，说明④错误．【详解】设AC∩BD=O,如图，①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；②∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，②正确；③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC，③正确；④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，∴PD2+CD2=PC2，∴④△PCD为直角三角形，④错误，故答案为：②③9．棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则a的取值范围是___________.【答案】【分析】当拼成一个三棱柱时，有两种情况；拼成一个四棱柱时，有四种情况，分别求出其全面积比较大小，解关于的不等式即可.【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，，设棱、、的中点分别为、、.原三棱柱的全面积（）.由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②：图①的全面积（），图②的全面积（），当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥：图③的全面积（），图④的全面积（），图⑤的全面积（），图⑥的全面积（），由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（），则（），解得：，故a的取值范围是.10．如图，在正四棱柱中，，，点为上的动点，则的最小值为____________.【答案】【解析】将平面与平面延展至同一平面，由、、三点共线可求得的最小值.【详解】如下图所示，将平面与平面延展至同一平面，，延展后，，由勾股定理可得.由图形可知，当、、三点共线时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.11．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都是4cm，圆柱的底面半径长是正六棱柱底面上内切圆半径的，若为了增强毛坯的抗蚀能力需给螺帽镀铜，则需镀铜的面积是___________.（不计损耗）【答案】【分析】需镀铜的表面有圆柱的侧面积、正六棱柱挖去圆柱后剩余上底和下底面积及正六棱柱的侧面积，利用对应公式分别求解即可.【详解】由题意得，正六棱柱底面为正六边形，其内切圆半径长即过其中心的6个全等的正三角形的高，则内切圆半径长为，则圆柱的底面半径长为，则圆柱的侧面积，正六棱柱挖去圆柱后剩余上底面积，正六棱柱的侧面积，所以需镀铜的表面面积，故答案为：.12．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是___________．【答案】##【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可.【详解】作的中点，连接，，，因为，，，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，因为，，，所以，且，所以平行四边形为边长为2的菱形，且，所以和都是正三角形，所以，，又因为，、平面，所以平面，过作于点，因为平面，所以，则为异面直线与的公垂线段，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，则，又因为，所以为等腰直角三角形，所以，即异面直线与的距离为，故答案为：.二、单选题13．如图是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积是（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】将平面图形的直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则，即可求得答案.【详解】根据斜二测画法的规则，将平面图形的直观图恢复为原图，如图示：则，故这个平面图形的面积为,故选：A.14．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②④【答案】D【分析】根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.【详解】对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若，，则，故②正确；对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误；对于④，若，，，则，故④正确；故选：D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.15．在棱长为的正方体中，P为左侧面上一点，已知点P到的距离为，P到的距离为，则过点P且与平行的直线相交的面是（

）A．ABCD B． C． D．【答案】A【分析】由图可知点在内，过作，且，，在平面中，过作，，由平面与平面平行的判定可得平面平面；连接，交，连接，再由平面与平面平行的性质得，在中，过作，且，可得，由此说明过点且与平行的直线相交的面是平面.【详解】如图，由点到的距离为，到的距离为2，可得在内，过作，且，，又平面，平面，所以平面；在平面中，过作，，又平面，平面，所以平面；因为，、平面，则平面平面．连接，交于，连接，则由平面平面，平面平面，平面平面，则，在中，过作，且，则．∵线段在四边形内，在线段上，∴在四边形内．所以过点P且与平行的直线相交的面是平面．故选：A．16．如图，三棱锥中，是等边三角形，且，点在棱上，点在棱上，并使，其中，设为异面直线与所成的角，为异面直线与所成的角，则的值为（

）A． B． C． D．与有关的变量【答案】C【分析】取中点，根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直的判定可得平面；作，由平行线分线段成比例可证得，得到，，可知；由平行关系和线面垂直的性质可证得，由此可得结果.【详解】取中点，连接，作，交于，连接，，为中点，；为等边三角形，，又，平面，平面，，，，，，，，平面，平面，又平面，，又，，即，.故选：C.三、解答题17．已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则(1)求证直线EF与直线AB是异面直线；(2)求EF和AB所成的角.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)利用异面直线的定义进行证明，既不平行也不相交即可得证(2)取BD的中点O，连接OF，OE，将异面直线EF和AB所成的角转化为OF与EF的夹角，在中求出即可【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OF，OE，又E，F分别为棱BC，AD的中点，OF为中位线，即，由，推出不平行，平面中，平面中，平面，又平面，所以与没有交点，综合得出与既不平行也不相交，所以直线EF与直线AB是异面直线，从而得证.（2），则EF和AB所成的角可转化为与AB所成的角即为，由四面体的所有棱长为2，所以四面体为正四面体，过点做平面的投影，点也是底面正三角形的中心连接并延长交与点，，又平面，，由，平面，.，，可得.由题意得，则，，即EF和AB所成的角为18．如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面之间的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，可证得四边形为平行四边形，由此可得，由线面平行的判定可证得结论；（2）由线面平行关系可知所求距离即为点到平面的距离，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）连接交于点，连接，，，四边形为平行四边形，，，四边形，为平行四边形，分别为中点，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）由（1）知：平面，则直线与平面之间的距离即为点到平面的距离，，为边长为的等边三角形，；又，，设点到平面的距离为，则，解得：，直线与平面之间的距离为.19．如图，直三棱柱中，，.(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）取的中点，连接和，结合条件可证明平面，由直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成的角,由解直角三角形即可求解；（2）取的中点，连接，，先求得，再由二面角的定义找到二面角的平面角，由解直角三角形即可求解.【详解】（1）取的中点，连接和，如图所示：因为，所以，在直三棱柱中，平面，又平面，所以，因为，、平面，则平面，又平面，所以，则在中，，即直线与平面所成的角为，在直三棱柱中，平面，又因为平面，所以，因为，所以，即，则，，所以，则，又，所以，故直线与平面所成的角为.（2）取的中点，连接，，在直三棱柱中，平面，又因为平面，所以，因为，，由（1）知，，所以，，又平面，平面，所以是二面角的平面角；又，，，、平面，所以平面，平面，则，又，在中，，则，故二面角的大小为.20．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面ABCD，，．(1)求PC与平面PAD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；(2)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；(3)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在；【分析】（1）先证明平面，可得为PC与平面PAD所成角，从而可求解.（2）取的中点，连接,则,即(或其补角)为异面直线AE，从而可求解.（3）连接,过点作交于点,可证明平面，即为点D到平面PAG的距离，然后由等面积法可求解.【详解】（1）由平面ABCD，且平面ABCD，则底面是矩形，则,且，所以平面为在平面上的射影