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文档简介

通过求积分和的极限来计算定积分一般是很困难的.§2牛顿-莱布尼茨公式

从上节例题和习题看到，下面的牛顿——菜布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来.首页×则f在[a,b]上可积,且存在原函数F,

定理9.1

若函数f在[a,b]上连续,即,x∈[a,b],且(1)

这称为牛顿—菜布尼茨公式,它也常写成首页×下面证明满足如此要求的任给在每个小区间

证

由定积分定义,要证存在当时,有确实是存在的.事实上,对于[a,b]的任一分割上对F(x)使用拉格朗日中值定理,则分别存在使得（2）首页×所以f在[a,b]上可积，且有公式（1）成立.当因为f在[a,b]上连续,从而一致连续,所以对上述存在∈[a,b]且时，有于是，当时，任取便有这就证得首页×本定理的条件中对F的假设便是多余的了.（更一般的情形参见本节习题第3题.）在（a,b）内可导，

注1

在应用牛顿一菜布尼茨公式时，F(x)可由积分法求得.注2定理条件可适当减弱，例如：1）对F的要求可减弱为：在[a,b]上连续，且这不影响定理的证明.2）对f的要求可减弱为：在[a,b]上可积（不一定连续）.

这时(2)式仍成立，且由f在[a,b]上可积，(2)式右边当时的极限就是而左边恒为一常数.注3至§5证得连续函数必有原函数之后，首页×例1利用牛顿一菜布尼茨公式计算下列定积分：1）

2）

；3）4）5）首页×解其中1）—3）即为§1中的例题和习题，现在用牛顿—菜布尼茨公式来计算就十分方便：1）2）3）首页×，

（这是图9-6所示正弦曲线一拱下的面积，其余各题也可作此联想.）4）先用不定积分法求出5）的任一原函数，然后完成定积分计算：首页×在区间[0,1]上的一个积分和

为此作如下变形：也可把J看作并转化为计算定积分.

例2

利用定积分求极限：解把此极限式化为某个积分和的极限式，不难看出，其中的和式是函数（这里所取的是等分分割，

所以当然，在[1,2]上定积分，同样有首页×然后利用牛顿—菜布尼茨公式计算

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