机械振动和机械波习题

1.一轻弹簧,上端固定,下端挂有质量为m的重物，其自由振动的周期为Ｔ．今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度为v，加速度为a，试判下列计算倔强系数的公式中那个是错误的：弹簧振子：弹簧—物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律物体—可看作质点简谐振动微分方程其通解为：简谐振动的运动学方程对弹簧振子2.轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有一个小物体落到盘上并粘住，设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，且以小物体与盘相碰为计时零点，那么以新的平衡位置为原点时，新的位移表示式的初相在

(A)0～π/2之间．(B)π/2～π之间．

(C)π～3π/2之间．(D)3π/2～2π之间。解：位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小物体落到盘上，则振子系统向下还是向上运动？考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。采用旋转矢量法可知初相位在第四象限。

3.劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为：解：设弹簧串联后弹簧的劲度系数为k，在外力Ｆ的作用下伸长了x,则解:(1)截成三等份，设每等份的倔强系数为k’,则(2)两根并联时k”=2k’=6k所以振动系统的频率为：（Ｂ）５．一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1,如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E1变为：

(A)E1/4(B)E1/2(C)2E1(D)4E1谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x总能量变为（Ｄ）４Ｅ１6.一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos(wt+½π)，则该物体在t=0时刻的动能与t=T/8(T为振动周期)时刻的动能之比为：解：动能为t=0时刻，t=T/8时刻，（Ａ）１：４（Ｂ）１：２（C)1:1(D)2:1动能之比为（Ｄ）2:1解：xtTEEpoEtEk(1/2)kA2弹性力所做的功等于动能的变化量,所以半个周期所做的功为零.8.一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量

，此摆作微小振动的周期为:

复摆解：周期为:注意h的意义，是重心距离转轴的距离，不是棒长．质量为m的刚体可绕固定水平轴o摆动。设刚体重心C到轴o的距离为b，刚体对轴o的转动惯量为J。试证刚体小幅度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率··oCbmg可见：(1)此刚体的自由摆动是简谐振动；

mgbJ

=(

)1/2解：力对轴o的力矩M=-mgbsin由M=J小角度时

sin

(2)角频率复摆９.一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为

(A)T/12．(B)T/8．(C)T/6．(D)T/4．

解：采用旋转矢量法，可知答案为C.解：答案为（c)解:与标准方程比较:t时刻p处质点的振动状态重复时刻O处质点的振动状态O点振动状态传到p点需用若波源（原点）振动为则p点的振动方程：12.一列机械横波在t时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是：(A)(B)(D)(C)在波动的传播过程中，某质元任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。在平衡位置动能和势能同时达到最大值,在最大位移处动能和势能同时为零.解：由机械能守恒定律可知：左右两侧所处最高位置应该相等即：mg（L-0.45）(1-cosθ左）＝mgL(1-cosθ右）注意这相当于两个振动而不是两列波I2在t=T/4的时候，它的振动状态和i1在t=0的时候是一样的1.X=X1+X2=0.05*2cos(wt+11π/12)cos(2π/3)2.利用矢量合成法同方向、同频率谐振动的合成AA1A2

y

x

o12AxAyx=A

cos(t+

)Ax=A1cos1+A2cos2由图知：

Ay=A1sin1+A2sin2A2=Ax2+Ay2由：tg

=AyAxcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβx=A

cos(t+

)AA1A2

y

x

o12AxAyAx=A1cos1+A2cos2由图知：

Ay=A1sin1+A2sin2A2=Ax2+Ay2由：tg

=AyAx解：波动方程为：则有：解：波动方程为：相距为a的两点的相位差为：解：设波动方程为：波动方程P处质点的振动方程为:解:设P的振动方程为:已知:由于得:解：由图可知，通过平面Ｓ的能流亦为通过Ｓ′的能流，则有：能流:单位时间内通过介质中某一截面的能量。波的能流和能流密度平均能流：在一个周期内能流的平均值。能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。解:(1)依题意有：且有：得：（2）显然有：传播到p点引起的振动分别为：在p点的振动为同方向同频率振动的合成。设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇。合成振动为：解:与标准驻波方程比较:2m45Hz其波形如图(A)所示,yx0解：（A）图上a、b、c、d各点速度均为零对（B）图：解：入射波在B点的振动方程为：由于B是固定端，则在B点处有半波损失，因而反射波在B点的振动方程为：P设P点距原点为x，则反射波在P点的相位比B点的相位落后：即P点的振动方程为：则反射波的波动方程为：解法二：入射波的表达式为：反射波经过B点反射后（考虑到半波损失）相位落后于原点的位相为:入射波在原点处产生的振动为：所以反射波在原点处引起