可引入一矢量场

第三章静磁场1根据

,可引入一矢量场，处处满足

称为磁场的矢势。

矢势的物理意义：矢势沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路为边界的任意曲面的磁通量。磁通量与曲面的形状无关，决定于曲面的边界，这是磁场无源性（磁感应线必须闭合）导致的。§1矢势及微分方程一、矢势2矢势具有任意性。对任意可微标量函数

矢势与磁感应强度不能对应。

为了使确定的磁场对应确定的矢势，需对矢势人为加上辅助（限制）条件。比如，要求矢势同时满足人为加上的辅助条件称为规范条件。

加上规范条件后，矢势与磁感应强度一一对应；规范条件的选择不是唯一的。

适用于线性均匀介质；有三个分量方程二、规范条件三、矢势的微分方程3

矢势的积分形式对于静电场所以，对于静磁场磁感应强度：这即是Biot-Savart定律。4边值关系还可写为又所以讨论：四、矢势的边值关系5利用对于全空间，静磁场的总能量

设外磁场由电流激发，电流激发的磁场为，静磁场的总能量为

五、静磁场的能量1.静磁场的总能量2.电流与外磁场的相互作用能6相互作用能

由可得相互作用能量7对于空间中P点，环上任意一点Q

处电流元，存在一对称电流元。P点矢势只有f

分量（选择球坐标）。

以P点和z轴构成的面为xz

面，P点矢势沿y方向。P点和Q点的直角坐标分别为且Ex.2半径为a的载流导线圆环的矢势。8如果（对于远场点和近轴点成立）上式对展开，偶次项积分零，只剩下奇次项积分矢势仅是R和q的函数。9矢势只有f分量，选择柱坐标计算近轴磁感应强度是方便的，场点P的圆柱坐标设为（r，f，z），则对近轴场，r<<a10保留至项，在圆柱坐标系1112由于采用近似矢势，在方括号中，略去了项。在原点（环心）附近（z、r<<a

），可再对展开，有13对于静磁场

不能一般地引入标势。但是，如果选取的空间区域V

无传导电流，则在V

内各点

对V内的任意闭合回路，有

对区域V可引入磁标势，满足

关于区域V的选取要求V内任何回路都不能链环传导电流。

对于如图所示电流环，不能选选仅扣除电流环的空间，在这样的空间，存在可以链环电流环的回路。可以选为扣除曲面的空间为考察空间V。

§2磁标势一、磁标势的引入14定义磁荷密度

又磁标势满足Poisson方程静磁场引入磁标势，与静电场电势类似。关于电势的结论和求解方法都可以移植到磁标势。二、磁标势方程、磁荷三、静电场与静磁场的类比15静电场静磁场备注无旋场是引入标势的前提无“自由磁荷”“磁荷”来源于介质的磁化

16可以把线圈看成许多逆时针方向的小电流线圈，小电流线圈的磁矩为产生的磁标势（电偶极矩产生的电势为：）讨论：磁标势和“磁荷”的引入，适用于所有磁介质。对于铁磁介质，表中的关系仍然适用。磁荷是假想的。磁化可认为是介质中分子电流环形成规则排列。把分子电流环等价为磁偶极子，磁偶极子并不意味存在分离“磁荷”。介质磁化是表面出现宏观磁化电流，可等效为分界面上出现“束缚磁荷”。

Ex.3电流线圈产生的磁标势17电流线圈在x点产生的磁标势

x点在上方时，W>0；x点在下方时，W<0。如果线圈构成平面，x点从上方趋于平面时，W趋于2p；x点从下方趋于平面时，W趋于-2p。可见，在跨越平面时，W存在4p的跃变。对于线圈围成的曲面，4p跃变仍然存在。曲面选取具有任意性，4p跃变并不是客观事实，依赖于曲面的选取。实际上，磁标势也与曲面选取有关，也不是一个具有独立物理意义的量，它只能是个辅助物理量。另一方面，由于在曲面两边，磁标势存在跃变，但是物理上要求磁标势在其定义区域连续（满足Poisson方程），所以定义磁标势的区域必须扣除线圈围成的一个曲面。18设电流分布区域限度远小于R，利用公式

§3磁多极矩一、矢势的多极展开19对于静磁场问题：这是稳恒电流体条件，所有电流线是闭合的。区域中的电流分布可看成许多闭合“电流管”，积分区域要包含所有电流，所有电流管均在积分区间内。对每个电流管

所以对于某一闭合流管（可视为电流线圈），

利用了1.展开式第一项2.展开式第二项20所以利用公式对于该电流管

如图，，将该面元矢量沿垂直和水平方向分解。对小线圈积分的结果，在水平方向抵消，而垂直分量就是小线圈围成的面积。磁偶极矩21对于体电流分布

磁偶极矩激发的矢势利用公式二、磁偶极矩的场和标势1.磁偶极矩激发的磁场22利用公式且注意又磁偶极矩的磁标势讨论：2.磁偶极矩激发的磁标势宏观电流线圈的磁偶极矩考虑以宏观电流线圈为周界的任一曲面。设想，面上布满电流为I的小电流环，在内部，电流相互抵消。这一假想系统与原系统等效。23系统总磁矩

Q：宏观电流线圈的磁矩依赖于曲面的选择吗？再选择另一曲面，且根据电流环绕方向规定方向。

所以，宏观电流线圈的磁矩不依赖曲面的选择。

电流分布与外磁场的相互作用能:

载流线圈与外磁场的相互作用能:三、小区域电流分布在外磁场中的能量24载流小线圈情形：

如果区域线度远小于外磁场发生显著变化的线度，选坐标原点在线圈区域内某点，则可以展开外磁场

Q：电磁偶子在外场中的能量为，与上式比较，相差一负号，这是否意味着磁偶极矩受到外磁场作用将倾向于外场的反方向？

设外场由另一载有电流的线圈产生，相互作用能为

设线圈偏转时保持电流不变，每个线圈激发磁场的能量（自能）不变，总能量的变化为

25线圈偏转时，磁通量发生变化，回路中产生感应电动势

感应电动势试图改变线圈中电流，要维持电流不变，电源必须提供能量，抵抗感应电动势作功。感应电动势在时间dt内作功

要维持电流不变，电源须提供能量线圈偏转时，设磁场对它作功为dA，由能量守恒（系统包含：电源、磁场和两个线圈）

在电流不变，磁场对线圈作功为为相互作用能的增量。

对于静磁场，也可引入势函数，磁场作功使势函数减少

势函数、力和力矩26磁偶极矩的势函数磁偶极矩在外磁场中所受力利用公式磁偶极矩在外磁场中所受力矩力矩应使q减小27经典电磁理论中，E和B能完全描述电场和磁场，j和A

是辅助物理量，j和A不具有独立物理意义。一般地，矢势可相差一纵矢量场。即便是在（人为外加）规范条件下，矢势也可相差一常矢量；另外，电势也可相差一常数，这表明矢势和标势不具有可观测的物理效应。经典电磁理论并不能解释某些物理现象。实验装置：电子双缝干涉实验，在双缝后放一细长螺线管。实验现象：螺线管通电后，干涉条纹发生移动。现象分析：螺线管细长而密集，管外B=0，干涉条纹移动不可能由B导致。干涉条纹的移动说明电子状态发生了改变。§4Aharonov－Bohm效应一、电子束干涉实验，经典电磁理论的困惑28通电后，螺线管外，尽管B=0，但是管外矢势不为零。

实验表明，矢势导致干涉条纹移动。这表明，矢势具有不同于B的物理观测意义。或者说，B不能完全描述磁场，矢势具有独立于B的可观测效应。这种效应称为A-B效应。它是Aharonov和Bohm在1959年提出的。电子双缝干涉实验表明电子具有波动性，任何微观粒子都具有波粒二象性。量子论中，用波函数描述微观粒子状态。自由电子状态用平面波描述，其中；是Planck常数，是电子动量。

干涉条纹决定于相差。不通电时，相差二、A-B效应的量子理论解释29通电时，在电子运动空间，矢势不为零。由量子论，在波函数中应采用正则动量

，相差螺线管通电后，干涉条纹发生移动。

A-B效应是量子效应（指粒子的波动性导致的物理效应），表明矢势具有直接观测的物理意义。

30量子论中，仅用B描述磁场是不够的。能够完全描述磁场的是相因子

说明规范条件的选择不影响相因子。用相因子描述磁场，实质上是用描述磁场，可分两种情形：