上海科技版（沪科版）初中数学七年级下册全套教学课件

6.1平方根、立方根第1课时平方根的概念及简单计算学习目标12了解平方根和算术平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.（难点）能准确判断一个数是否有平方根，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根.通过学习平方和开平方是互逆运算，会进行简单的开平方运算.（重点）3新课导入

装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1m2,如图所示，问这种地砖一块的边长是多少？解：设一块正方形地砖的边长为xm，根据题意，有这个问题实际上是已知一个数的平方，求这个数的问题，应如何求呢？知识讲解

一、平方根的概念和性质一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.例如：∵（+5）²=25，

∴+5是25的平方根，

∵（-5）²=25，

∴-5也是25的平方根.由上可知，25的平方根有两个，且互为相反数.知识讲解思考(1)16的平方根是什么？(2)0的平方根是什么？(3)-9有没有平方根？通过下面题目的解答，你能发现什么?有没有一个数的平方是负数？因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根.知识讲解归纳(1)一个正数有两个平方根，且互为相反数；(2)零只有一个平方根0；(3)负数没有平方根.平方根的性质知识讲解

试一试知识讲解思考：平方根应如何表示？

知识讲解

二、算术平方根

思考：平方根与算术平方根有哪些联系与区别？知识讲解平方根与算术平方根的联系与区别联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种；只有非负数才有平方根和算术平方根；0的平方根是0，算术平方根也是0.

149+1-1+2-2+3-3知识讲解

三、开平方求一个数的平方根的运算，叫做开平方.+1-1+2-2+3-3149平方开平方由上可知，开平方是平方的逆运算.知识讲解例1解：因为正数和零都有平方根，负数没有平方根，所以

；.判断下列各数是否有平方根，为什么？知识讲解例2求下列各数的平方根和算术平方根：

随堂训练

2.(－11)2的平方根是（

）A.121B.11C.±11D.没有平方根DC随堂训练3.判断下列说法是否正确.正确

正确不正确，是4.

随堂训练

课堂小结1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.2.平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根，且互为相反数；(2)零只有一个平方根0；(3)负数没有平方根.3.算术平方根：正数

a的正的平方根，叫做

a的算术平方根.0的算术平方根是0.4.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方.谢谢大家第6章实数6.1平方根、立方根第2课时用计算器求平方根及应用学习目标12会用计算器计算一个正数的平方根.（重点）能运用平方根解决一些简单的实际问题.（难点）知识回顾1.平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.2.平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根，且互为相反数；(2)零只有一个平方根0；(3)负数没有平方根.上节课所求的被开方数都比较简单，当我们遇到比较复杂的被开方数时，应该怎么求解呢？知识讲解

一、用计算器求平方根

利用计算器我们可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.注意：在用计算器求平方根时，一般是先按根号键，再按被开方数，如果被开方数含有加法运算，需要加括号，最后按等号键.不同品牌的计算器，其使用方法可能不同.a=按键顺序：知识讲解例1解：（1）按键

，显示：4.898979486，∴

（2）按键

，显示：249.9659977，∴62483的平方根是±250.0.

知识讲解

二、开平方在生活中的应用

如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式：

，其中h的单位是m，t的单位是s，g=9.8m/s2.假设跳板的高度是3m，运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2m处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？例2知识讲解解：设运动员下落到水面约需ts，根据题意，得因而，运动员下落到水面约需0.93s.随堂训练

BC随堂训练

随堂训练5.在物理学中我们知道：动能的大小取决于物体的质量与它的速度．关系式是：动能

，若某物体的动能是25焦（动能单位），质量m是0.7千克，求它的速度为每秒多少米？（精确到0.01）解：因为

（米/秒）.课堂小结

利用计算器我们可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.a=按键顺序：谢谢大家第6章实数6.1平方根、立方根第3课时立方根的概念及简单计算学习目标12了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根.（重点)会求一个数的立方根,并能区分立方根与平方根的不同．(难点）新课导入问题

要做一个容积为64dm3的正方体木箱,如图，问它的棱长是多少？设正方体木箱的棱长是xdm，根据题意，有怎么求出x呢？这是已知一个数的立方，求这个数的问题.知识讲解

一、立方根的概念及表示

思考：立方根应如何表示？与平方根的表示有何不同？知识讲解立方根的表示方法注意立方根与平方根的表示不同的是：根指数3不能省略,否则就变成平方根了.一个数a的立方根可以表示为:根指数被开方数其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作:三次根号a，

知识讲解

二、开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.知识讲解例1

求下列各数的立方根：(1)27；(2)-64；(3)0.

知识讲解三、立方根的性质填一填

根据立方根的意义填空：

因为(

)3=0.125,所以0.125的立方是（）；因为(

)3

＝0，所以0的立方根是（）；因为(

)3

＝－8，所以－8的立方根是（

）；因为(

)3

＝，所以的立方根是（）.

02

0

你发现了什么?知识讲解正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.

立方根的性质知识讲解所以因为=,=所以

互为相反数的两个数的立方根也互为相反数

一般地，=,..探究知识讲解求下列各式的值:解:

归纳：求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.

例2知识讲解平方根和立方根分别有什么区别和联系？

思考区别：联系：求平方根和立方根的运算都是开方运算，都是乘方的逆运算

.知识讲解练一练

判断下列说法是否正确.x(2)25的平方根是5;x

xx(5)0的平方根和立方根都是0.

1、下列语句正确的是（）A.27的立方根是±3

B.-的立方根是C．-2是-8的立方根

D.一个数的立方根不是正数就是负数2、A．±8

B．±4

C．2

D．±2

3、某数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数等于（）A．0

B．1

C．-1或0

D．0或1CDD随堂训练0.5-3121

随堂训练4.求下列各式的值.随堂训练5.求下列各数的立方根:解：（1）0.5，（2）－4，（3）－4，（4）5，（5）16.随堂训练6.若5x+19的立方根为4，求3x+9的平方根。解：由题可得：

5x+19=43，

解得x=9.将x=9代入，得3x+9=36.因为（±6）2=36，所以3x+9的平方根是±6.课堂小结1.立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根).2.立方根的性质：正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.谢谢大家第6章实数6.1平方根、立方根第4课时用计算器求立方根及应用学习目标12会用计算器计算一个数的立方根.

（重点)能运用立方根解决一些简单的实际问题．(难点）知识回顾1.立方根的概念?2.立方根的性质?一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根).正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.以上所求的被开方数都比较简单，当我们遇到比较复杂的被开方数时，应该怎么求解呢？知识讲解

一、利用计算器求立方根由于一个数的立方根可能是无限不循环小数,所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.

a=按键顺序：2ndF

用计算器求下列各数的立方根：4913，-1.331.解：依次按键：显示：17，

所以2ndF493=依次按键：显示：-1.1所以2ndF1-.313=注意：不同的计算器的按键方式可能有所差别！1

例1知识讲解

知识讲解

二、开立方在生活中的应用

例2一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长．分析：立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题．知识讲解解：方法1：因为

，所以

，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的棱长为

（厘米）.方法2：设小正方体的棱长为a厘米，则玩具的棱长为3a厘米，由题意得

，所以，

，

（厘米）．方法3：设小正方体的棱长为a厘米．则玩具的棱长为3a厘米，由题意得

，所以，所以

（厘米）．随堂训练

1.用计算器计算（精确到0.1）：

随堂训练2.某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体钢铁的边长.

随堂训练3.有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需再加水127cm3才满,求另一正方体容器的棱长.

课堂小结由于一个数的立方根可能是无限不循环小数,所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.

a=按键顺序：2ndF谢谢大家第6章实数6.2

实数第1课时实数的概念及分类学习目标12会用无限逼近的思想，探索无理数是无限不循环小数.掌握无理数、实数的概念，能判断一个数是否为无理数.（重点）初步掌握实数的分类.（难点）3知识回顾什么叫做有理数?有理数如何分类?整数正整数：如：1，2，3，…零：0负整数：如-1，-2，-3，…分数正分数：如,,5.2,…负分数：如，，-3.5,…有理数除了有理数外还有没有其他的数呢？新课导入

把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？1111剪一剪新课导入111111aS=?a满足什么条件？S新课导入

,,……

,,……

议一议

知识讲解

知识讲解

……知识讲解继续重复上述的过程，可以得到小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.

知识讲解我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式

思考知识讲解思考1:(1)整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？可以(2)由此你可以得到什么结论？任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数;反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.思考2:除了有限小数和无限循环小数，还有什么其他类

型的小数吗？

知识讲解

它们都是无限不循环小数

知识讲解无限不循环小数叫做无理数.定义

有理数和无理数统称为实数.知识讲解

有理数集合

无理数集合．．．．．．练一练把下列各数分别填入相应的集合内：知识讲解我们认识的数的范围又一次扩大了，我们可以将实数按如下方式分类：按定义分知识讲解判断：1.实数不是有理数就是无理数.（）2.无理数都是无限不循环小数.（）3.无理数都是无限小数.（）4.带根号的数都是无理数.（）5.无理数一定都带根号.（）6.两个无理数之积不一定是无理数.（）7.两个无理数之和一定是无理数.（）×××随堂训练2.下列面积的正方形，边长不是有理数的是(

)A.16

B.25

C.2

D.4C

A.0~1之间B.1~2之间

C.2~3之间D.3~4之间B随堂训练3.判断正误（1）不带根号的数都是有理数（

）（2）带根号的数都是无理数（

）（3）无理数都是无限小数（

）（4）无限小数都是无理数（

）×××随堂训练4、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，－，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由连续的正整数组成).解：有理数有0.351，－,，3.14159无理数有－5.2323332…，123456789101112….课堂小结无限不循环小数叫做无理数；有理数与无理数统称实数.1.无理数及实数的概念2.实数的分类谢谢大家第6章实数6.2

实数第2课时用数轴上的点表示实数学习目标12掌握实数的两种分类方法，能将实数按要求进行准确的分类.理解实数与数轴上的点一一对应，并能在数轴上表示一个无理数.（重点、难点）知识回顾实数按定义如何分类?知识讲解一、实数的另一种分类方法有理数、无理数都有正、负之分，实数也可以作如下分类：知识讲解【注意】0既不是正数也不是负数；对实数进行分类时，可以用不同的方法，但必须按同一标准分类，做到不重不漏.按定义分按性质分知识讲解二、用数轴上的点表示实数每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？

直径为1的圆●0-2-11324●●●●●●●●●●●●●知识讲解思考1111

知识讲解01243

每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.★实数和数轴上的点是一一对应的.即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数.知识讲解

C例随堂训练

B随堂训练

C随堂训练

C课堂小结1.实数的分类2.用数轴上的点表示实数实数和数轴上的点是一一对应的.即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数.谢谢大家第6章实数6.2

实数第3课时实数的运算学习目标12了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义.（重点）了解有理数范围内的运算法则在实数范围内仍然适用.（难点）知识回顾1.实数的两种分类方法分别是什么?2.有理数的相反数、倒数、绝对值的意义.知识讲解一、实数的相反数、倒数和绝对值

实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.例如知识讲解1.（1）

的相反数是（

），倒数是（

），绝对值是（

）；（2）

的相反数是（

），倒数是（

），绝对值是（

）

；（3）π的相反数是（

），倒数是（

），绝对值是（

）.练一练知识讲解

2.（1）的倒数是

，相反数是_____。（2）绝对值为的数是_______，绝对值小于

的整数是_________。（3）若

，且xy>0，则x+y=

。

知识讲解二、有理数运算法则在实数运算中的运用【问题1】在数从有理数扩充到实数后，我们已学过哪些运算？加、减、乘、除、乘方、开方运算【问题2】有理数满足哪些运算律？加法交换律：a+b=b+a；

加法结合律：

；

乘法交换律：ab=ba；

乘法结合律：(ab)c=a(bc)；

乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac.有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用.知识讲解例近似计算：（1）

（精确到0.01）；（2）

（精确到0.1）.【解】（1）

≈2.236+3.142=5.378≈5.38.（2）

≈2.24×2.65=5.936≈5.9.随堂训练1.化简：2.大于而小于的所有整数为___________.-3,-2,-1,0,1,23.

的绝对值是

；相反数是______。随堂训练2.求下列各数的相反数和绝对值：解：相反数依次为：绝对值依次为：随堂训练3.近似计算（精确到0.01）：（1）

；

（2）.

解：（1）4.88；（2）-2.85.课堂小结

实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用.谢谢大家第6章实数6.2

实数第4课时实数的大小比较学习目标12能根据具体情况，初步学会比较两个实数的大小.（重点）熟练掌握比较两个实数大小的多种方法.（难点）知识回顾1.有理数大小比较的法则是什么？2.数轴上的点与什么一一对应？知识讲解方法1利用数轴比较实数的大小

【问题】利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？对实数也适用吗？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大.适用.知识讲解在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“˂”连接它们.例

知识讲解【问题】两个有理数的大小比较法则是什么？这个结论在实数范围内也成立吗？方法2利用法则比较实数的大小正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个正数，绝对值较大的数较大.两个负数，绝对值大的数反而小.成立.知识讲解方法3利用计算器求值比较实数大小【问题】你会比较

与

的大小吗？解：利用计算器求得

≈0.215，

≈0.333，所以˂.知识讲解方法4作差比较法

你会比较

与

的大小吗？解：因为-=˂0，所以˂.结论：比较两个实数的大小的方法有很多，除了上面讲到的方法外，还有乘方法，作商法，倒数法等，要根据具体问题选择合适的方法进行比较.随堂训练

解：（1）>（2）>（3）˂随堂训练-2

-1

0123

1-2

课堂小结1.利用数轴比较；2.利用法则比较；3.利用计算器求值比较；4.作差比较法.实数的大小比较方法谢谢大家第7章一元一次不等式与不等式组7.1不等式及其基本性质第1课时不等式及其基本性质学习目标12了解不等式及其概念.会用不等式表示数量之间的不等关系.掌握不等式的五个基本性质.

（重点）经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点.（难点）34新课导入事物之间的数量关系，除了“相等”之外，还会有“不等”的情况.在解决实际问题时，对于等量关系，可以利用等式(包括方程、方程组)来刻画；对于不等量之间的关系，我们则用不等式来刻画.新课导入两对父子却只有三个人，同学们知道是怎么回事吗？问题1设爷爷、爸爸的年龄分别是a,b，则a>b，生活中无处不在的不等关系.交通标志中的限速、限宽、限高、限重等分别表示了什么不等关系？问题2知识讲解用适当的式子表示下列关系：问题1

现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？（1）

2x与3的和不大于-6；（2）

x的5倍与1的差小于x的3倍；（3）

a与b的差是负数.（1）

2x+3≤-6；（2）

5x-1<3x；（3）

a-b<0.一不等式的概念知识讲解问题2雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为

t℃，那么t应满足的关系式是________________.28000>4.5t一种药品每片为0.25g，说明书上写着：“每日用量0.75〜2.25g，分3次服用”.设某人一次服用x片，那么x应满足的关系式是_________________.问题3

知识讲解

用不等号（

）表示不等关系的式子叫做不等式.概念判断：下列式子哪些是不等式？（1）-3<0；（2）

；（3）

；（4）

；（5）

；（6）.不等式有：（1）（2）（5）（6）知识讲解

我们学过利用等式的基本性质解方程，类似地，在不等式问题的求解过程中也需要利用不等式的基本性质.下面我们讨论不等式的基本性质.二不等式的基本性质(1)5>3,5+2___3+2,5－2___3－2;

(2)-1<3,-1+2___3+2,-1－3___3－3;根据发现的规律填空:当不等式两边加（或减）同一个数(正数或负数）时,不等号的方向______.不变﹥﹥﹤﹤思考：用“﹥”或“﹤”填空，你发现其中的规律：发现：知识讲解+C－C性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.观察总结知识讲解问题1已知苹果的价格是a元/kg，梨的价格是b元/kg，且a>b.小李各买了3kg苹果和梨，则买哪种水果花钱较多？用不等号填空：3a

3b.问题2在某次知识抢答赛中，甲、乙两队的总得分分别为a，b，其中a>b.已知每队人员均为3名，则哪队的平均得分高？用不等号填空：a÷3

b÷3.>>知识讲解用不等号填一填：1.a

b;2.2a

2b;3.

.

如图所示，托盘天平的右盘放上一质量为bg的立体木块，左盘放上一质量为ag的立体木块，天平向左倾斜.agbg>>>agbg你发现了什么？观察知识讲解

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.发现性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.总结知识讲解a>b-a-ba-a-b>b-a-b-b>-a(-1)×a<(-1)×b×(-1)不等式两边同乘以-1，不等号方向改变.猜想

不等式的两边都乘以一个负数，不等号方向改变.a>b×(-1)-a<-b×3-3a<-3b×c(c>0)-ac<-bc×-c(-c<0)探究知识讲解

总结性质3：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.知识讲解1.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.（1）a-7____b-7；（2）a÷6____b÷6（3）0.1a____0.1b;（4）-4a____-4b（5）2a+3____2b+3;（6）(m2+1)a____(m2+1)b(m为常数)＞＞＞＞＞＜不等式的性质1不等式的性质2不等式的性质2不等式的性质3不等式的性质1,2不等式的性质2练一练知识讲解2.已知a＜0，用“＜”“＞”填空：

(1)a+2____2；

(2)a-1_____-1；(3)3a______0；(4)______0;

(5)a2_____0;(6)a3______0;

(7)a-1_____0；

(8)|a|______0．＜＜＜＞＜＞＜＞知识讲解思考

等式有对称性及传递性，那么不等式具有对

称性和传递性吗?已知x>5,那么5<x吗?由8<x,x<y,可以得到8<y吗?如：8<10，10<15，8

15.x>5

5<x<性质4（对称性）:如果a>b,那么b<a.性质5（同向传递性）:如果a>b,b>c,那么a>c.知识讲解方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．解析：根据不等式的基本性质可判断，a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.

a＜－1例

如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________.随堂训练1.下列数学表达式：①2x－1≥0；②4x＞2y；③x＝y；④x－1＜y＋2.；⑤3x≠5+2y；⑥x2－xy－1其中不等式有(

)A．5个B．4个C．3个

D．2个B

D随堂训练3.由x＜y得到ax＜ay，则a应满足条件是()A.a≥0

B.a≤0 C.a＞0

D.a＜0C

D随堂训练5.用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：(1)若x＋3＞6，则x______3，根据______________；(2)若a－2＜3，则a______5，根据____________．><不等式性质1不等式性质1随堂训练6.用不等式表示下列关系.（1）x的一半不小于－1；

（2）y与4的和大于0.5；

（3）a是负数；

（4）b是非负数.

(1)0.5x≥－1.(2)y+4>0.5.(3)a<0.(4)b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b=0.课堂小结不等式的基本性质不等式的基本性质2不等式的基本性质3→→

不等式的基本性质1如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c→谢谢大家第7章一元一次不等式与不等式组7.1不等式及其基本性质第2课时不等式基本性质的应用学习目标12学生熟练掌握不等式的基本性质后，会用不等式的基本性质判断不等式的变形是否正确.会用不等式的基本性质求变形中字母的取值范围.（难点）会利用不等式的基本性质将简单的不等式化为“

”或“

”的形式.（重点）3知识回顾

不等式的基本性质有哪些？知识讲解

一利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确例1

C知识讲解注意

判断不等式的变形是否正确时，要先观察比较已知不等式与变化后的不等式两边的变化情况，再确定应用的是不等式的哪一条基本性质，最后判断不等式的变形是否正确.知识讲解二利用不等式的性质求变形中字母的取值范围（1）∵2a>3a，∴

a

0.（2）∵

，∴

a

0.（3）ax<a可变形为x>1，∴

a

0.例2><<【注意】主要观察不等号的方向是否发生了变化.

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；

(2)

；(3)

；

(4)

.

例3知识讲解

通过两小题得到：解不等式时也可以“移项”，即把不等式的一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．知识讲解

通过(3)(4)的求解过程，类似于解方程两边都除以未知数的系数(未知数系数化为１)，解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向。知识讲解

下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：在不等式-4x+5>9的两边都减去5，得

-4x>4在不等式-4x>4的两边都除以-4，得

x>-1

请问他做对了吗？如果不对，请改正.不对x<-1练一练随堂训练

B随堂训练x<2x<63.把下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）5＞3+x；（2）2x＜x+6.

2.下列不等式的变形正确的是（）A．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc

B．若a＞b，则1+a＜1+b

C．若ac2＜bc2，则a＜b

D．若a＞b，则ac2＞bc2C随堂训练

课堂小结

谢谢大家第7章一元一次不等式与不等式组7.2一元一次不等式第1课时一元一次不等式的概念及解法学习目标12理解一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式等概念．会解简单的一元一次不等式，并会在数轴上表示不等式的解集．（重点、难点）新课导入问题

某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元．如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费应高于多少万元？

不等式：观察上述不等式，找出它们有何相同点？知识讲解

含有一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式.一一元一次不等式的概念

三个条件（1）含有一个未知数（2）未知数的次数为1（3）是整式知识讲解

C练一练知识讲解

✓✓✕✕左边不是整式化简后是x2-x<2x知识讲解

1例1知识讲解对于不等式当x取26时，代入原不等式左边，得

200+1.8×26=246.8.当x取25时，代入原不等式左边，得

200+1.8×25=245.当x取24时，代入原不等式左边，得

200+1.8×24=243.2.不等式成立不等式不成立不等式不成立知识讲解

一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法.二不等式的解知识讲解

判断下列数中哪些是不等式的解：60，73，74.9，75.1，76，79，80，90.你还能找出这个不等式的其他解吗？

x607374.975.176798090不是是是不是不是是是是（2）这个不等式有多少个解？（1）你发现了哪些数是这个不等式的解？无数个做一做知识讲解对于不等式大与25的任何一个实数都是这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集．求不等式解集的过程，叫做解不等式．不等式的解集与不等式的解的区别：解集是使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合．而不等式的解是使不等式成立的未知数的值，二者的关系是解集包含解，所有的解组成解集．三不等式的解集知识讲解下列说法正确的是()A.x=3是2x+1>5的解B.x=3是2x+1>5的唯一解C.x=3不是2x+1>5的解D.x=3是2x+1>5的解集A练一练知识讲解四解一元一次不等式解方程：3x-1=5x+11解：移项，得3x-5x=11+1合并同类项，得-2x=12系数化为1，得x=-6解不等式：3x-1<5x+11解：移项，得3x-5x<11+1合并同类项，得-2x<12系数化为1，得x>-6知识讲解

解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？

它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.

它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.

这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方.知识讲解解下列一元一次不等式：2（1+x）

<7-3x.解：去括号，得2+2x

<7-3x，

移项要变号系数化为1，得x<1.

移项，得2x+3x<7-2，例2

合并同类项，得5x<5，知识讲解解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在数轴上表示出来.解：去括号，得12-6x

≥2-4x移项，得-6x+4x

≥2-12合并同类项，得

-2x

≥-10两边都除以-2，得x≤5根据不等式基本性质3原不等式的解集在数轴上表示如图所示.-10123456注：解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.例3知识讲解在用数轴表示不等式的解集时：（1）解集含等号时用实心圆点，不含等号时用空心圆圈；（2）小于（小于或等于）时向左，大于（大于或等于）时向右．注意随堂训练1.判断下列说法是否正确？(1)x=2是不等式x+3<4的解；（

）(2)不等式x+1<2的解有无穷多个；（）(3)

x=3是不等式3x<9的解（）(4)x=2是不等式3x<7的解集；

（）√×××随堂训练3.解下列不等式：

（1）

-5x≤10；

（2）4x-3<

10x+7.x≥-2

2.在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（

）AA1253012BD5301253012530C随堂训练解：由方程的解的定义，把x=3代入ax+12=0中，

得a=－4.

把a=－4代入（a+2）x＞－6中，

得－2x＞－6，

解得x＜3.

在数轴上表示如图：

其中正整数解有1和2.4.已知方程ax+12=0的解是x=3，求关于x不等式（a+2）x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？-10123456课堂小结1.一元一次不等式的有关概念（1）含有一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式．（2）一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．（3）所有这些解的全体成为这个不等式的解集．（4）求不等式解集的过程，叫做解不等式．2.解一元一次不等式的过程（1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项；（4）未知数系数化为1.谢谢大家第7章一元一次不等式与不等式组7.2一元一次不等式第2课时去分母解一元一次不等式学习目标12会解含分母的一元一次不等式，并会在数轴上表示其解集.（重点、难点）总结出解一元一次不等式的基本步骤.知识回顾问题

1．一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念？2．不等式的解集如何在数轴上表示出来？3．解一元一次不等式的步骤？知识讲解

知识讲解解：方程两边同乘6，将分母去掉去括号，得2x-10+6≤9x

去分母，得2(x-5)+1×6≤9x移项，得2x-9x≤10-6将同类项放在一起

原不等式为合并同类项，得

-7x≤4两边都除以-7，得

根据不等式性质3不等式两边同除－7

不等号的方向改变解下列一元一次不等式：

例1知识讲解练一练

C知识讲解解：解得x≤6.x≤6在数轴上表示如图所示.-10123456

由图可知，满足条件的正整数有1,2,3,4,5,6.

例2知识讲解

求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．知识讲解交流

解一元一次方程与解一元一次不等式有哪些相同和不同的地方？为什么？不等式的解法与方程的解法基本一样，只是最后一步“系数化为1”时，要注意不等号的方向是否需要改变。知识讲解总结：解一元一次不等式的一般步骤：1．去分母（不等式基本性质2）；2．去括号（去括号法则）；3．移项（移项法则、不等式基本性质1）；4．合并同类项（整式加减）；5．系数化为1（不等式基本性质2或3）.随堂训练1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）

4x-3

<2x+7；

（2）

.解：(1)原不等式的解集为x<5，在数轴上表示为

(2)原不等式的解集为x≤-11，在数轴上表示为：-101234560-11随堂训练2、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：解：（1）x＞－1

（2）x≤2随堂训练3.x取哪些正整数时，代数式

的值不小于代数式

的值？3.解：不等式的解集为

，x可取1,2,3,4.课堂小结总结：解一元一次不等式的一般步骤：1．去分母（不等式基本性质2）；2．去括号（去括号法则）；3．移项（移项法则、不等式基本性质1）；4．合并同类项（整式加减）；5．系数化为1（不等式基本性质2或3）.谢谢大家第7章一元一次不等式与不等式组7.2一元一次不等式第3课时一元一次不等式的实际应用学习目标12能根据具体问题中的数量关系建立不等式模型，会用一元一次不等式解决实际问题.

（重点）通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决问题的经验.（难点）知识回顾解下列不等式：（1）

；（2）.（1）；（2）知识讲解列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题的步骤相类似.有些实际问题中，存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的答案.知识讲解例1

松山公园梅花展个人票每张10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠。在人数不足20人的情况下，试问何时买20人的团体票比买个人票要便宜？

解：设人数为x，买个人票需要10x元，买20人的团体票需要20×10×80%元，根据题意，得

10x>

20×10×80%.解不等式，得x>16.因为人数必须是小于20的整数，即x<20.因此，当人数是17，18，19时，买20人的团体票比买个人票要便宜.知识讲解例2x≥125.

某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%.如果要获得不低于

900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？解：

设每套童装的售价是x元.则40x－90×40－40x·10％≥900.解得

答：每套童装的售价至少是125元.分析：

本题涉及的数量关系是： 销售额－成本－税费≥纯利润(900元).知识讲解

甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出了不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，顾客到哪家商场购物花费少？分析:甲乙两商场的优惠价格不一样，因此需要分类讨论：(1)当购物不超过50元；(2)当购物超过50元而不超过100元,(3)当购物超过100元.

例3知识讲解解:(1)当购物不超过50元时,在甲、乙两商场都不享受优惠，购物花费一样；

(2)当购物超过50元而不超过100元时,在乙商场享受优惠，

购物花费少;

(3)当累计购物超过100元后，设购物为x(x>100)元

①若到甲商场购物花费少，则50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100)，解得x>150.所以累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少;

②若到乙商场购物花费少，则50+0.95(x-50)<100+0.9(x-100)，解得x<150.所以累计购物超过100元而不到100元时，到乙商场购物花费少;

③若50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)，解得x=150.

所以累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样.知识讲解列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题的步骤相类似，即（1）审题：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设未知数：设出适当的未知数；（3）找出题中的不等量关系：要抓住题中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“不超过”“超过”“至少”等.（4）列不等式：根据题中的不等关系列出不等式；（5）解不等式：解所列的不等式；（6）答：检验是否符合题意，写出答案归纳随堂训练

B

由题意，得

随堂训练

C

随堂训练

设需要购买x块地板砖，根据题意，得

5×4≤0.6×0.6x解得

x

≥55.6由于地板砖的数目必须是整数,所以x的最小值为56.

小明至少要购买56块地板砖.解：

3.小明家的客厅长5m，宽4m．现在想购买边长为60cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？随堂训练4.

一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有(25－x)道题.根据题意，得

4x－1×(25－x)≥85.解这个不等式，得x≥22.

答：小明至少答对了22道题.分析：本题涉及的数量关系是：总得分≥85.随堂训练5.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．(1)符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由。(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？

随堂训练解：(1)设轿车要购买x辆,那么面包车要购买(10－x)辆， 7x＋4(10－x)≤55，解得x≤5，

又x≥3，则x＝3，4，5，

∴有三种方案：①轿车3辆，面包车7辆；

②轿车4辆，面包车6辆；

③轿车5辆，面包车5辆.

（2）方案一的日租金为3×200＋7×110＝1370；

方案二的日租金为：4×200＋6×110＝1460；

方案三的日租金为：5×200＋5×110＝1550；为保证日租金不低于1500，应选方案三.课堂小结一元一次不等式的应用实际问题↓根据题意列不等式↓解一元一次不等式→→根据实际问题找出符合条件的解集或整数解↑得出解决问题的答案谢谢大家第7章一元一次不等式与不等式组7.3

一元一次不等式组第1课时一元一次不等式组的概念及解法学习目标12了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义.掌握解一元一次不等式组的过程，会解含分母的一元一次不等式组.（重点）掌握在数轴上正确表示一元一次不等式组的解集的方法.

（难点）3新课导入

问题

用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间,那么大约需要多少时间能将污水抽完？设用xmin将污水抽完，则x同时满足不等式30x>1200,30x<1500.类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作30x>1200,30x<1500.知识讲解像这样，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.30x>1200,30x<1500一一元一次不等式组的概念及解集知识讲解判断下列不等式组是否为一元一次不等式组：××√√练一练知识讲解思考

怎样确定上面的不等式组中未知数的取值范围呢？类比方程组的求解，不等式组中的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组中的未知数的取值范围.归纳不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.求一元一次不等式组的解集的过程叫做解不等式组.知识讲解二一元一次不等式组的解法问题1

通常我们运用数轴表示不等式的解集，那么我们能用它直接表示不等式组的解集吗？试一试

用数轴表示出不等式组的解集.所以这个不等式组的解集为-3<x≤3.x>-3②

x≤3

①0-33公共部分①②知识讲解问题2

解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有几种不同情况?

a

b

a

b

a

b

a

b

同大取大

同小取小

大小小大中间找

大大小小无处找x>bx<aa<x<b无解知识讲解试一试

解上面问题中的不等式组解：解不等式①，得解不等式②，得x＞40.x＜50.30x>1200,30x<1500.①②知识讲解04050把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.从上图容易看出，x的取值范围是40＜x＜50.这就是说，将污水抽完所用时间多余40min而少于50min.知识讲解

解不等式②，得

解:解不等式①，得

x≤

3.①②0-33由图可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x＜-3，所以这个不等式组的解集是x＜－3.例1

x＜－3.知识讲解

①②解:解不等式①，得x＞－2.

解不等式②，得x

＞6.

把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示.0－26

由图可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x＞6，所以这个不等式组的解集是x＞6.例2知识讲解练一练

的解集表示在数轴上，正确的是(

)A.B.C.D.D

知识讲解

解：

解不等式①，得x＜－2.

解不等式②，得x＞3.①②

把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示.

由图可以看出这两个不等式的解集没有公共部分.所以，这个不等式组无解.0-23知识讲解已知不等式组的解集为－1＜x＜1,

则(a+1)(b-1)的值为多少?2x—a＜1x—2b＞3解:由不等式组，得

因为不等式组的解集为

-1<x<1,所以

3+2b=-1.解得

a=1,b=-2所以(a+1)(b-1)=2×(-3)=-6.例3知识讲解解不等式组的步骤：(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．(若各个不等式的解集无公共部分，则此不等式无解)总结随堂训练

C随堂训练

A.x＞-1

B.x＜5C.-1＜x＜5

D.x＜-1或x＜5C解析：解不等式①，得x＞-1.解不等式②，得x＜5,在同一条数轴上表不等式①②的解集，如图所示.

随堂训练

解不等式②，得x＜6.

①②

把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示：306

随堂训练

解不等式②，得x>4.

解:解不等式①，得x>2.①②

把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示.204

由图可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x>4，所以这个不等式组的解集是x>4.随堂训练

解：由题意可得不等式组解不等式①，得x≤2.解不等式②，得x＞－3.故此不等式组的解集为－3＜x≤2，x可取的整数值为－2，－1，0，1，2.①②

随堂训练解：①×2+②，得5x=10m-5，得x=2m-1.①-②×2,得5y=5m+40，得y=m+8.又∵x，y的值都是正数，且x<y.∴2m-1>0，m+8>0，2m-1<m+8.6.已知方程组

的解x，y的值都是正