沪科版九年级上册数学《23.2.3解直角三角形及其应用》课件

23.2.3解直角三角形及其应用（三）（四）学习目标【学习目标】1.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．2．了解测量中坡度、坡角的概念．3．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题．【学习重点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？情景导入情景导入方位角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫_______．如右图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示______60°，______45°(或________)，______80°及______30°方位角北偏东南偏东东南方向南偏西北偏西自学互研知识模块一基本的方位角问题范例(1)如图，小红从A地向北偏东30°方向走100m到B地，再从B地向西走200m到C地，这时小红距A地(

)A．150m

B．100m

C．100m

D．50mB(2)如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6km，则AB＝_____km.(3)如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B处，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中，距灯塔S的最近距离是____海里．第(2)题图)第(3)题图)36知识模块二复杂的方位角问题范例

如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．解：过C作CD⊥AB于点D.由题意可知：AB＝24×＝12，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△BDC中，tan60°＝

，∴BD＝CD.在Rt△ADC中，tan30°＝

，∴AD＝CD.又AD＝AB＋BD，∴

CD＝12＋

CD，∴CD＝6＞9.∴若继续向正东方向航行，该货船没有触礁危险．知识模块三较为复杂的方位角问题

已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，

≈1.41，

≈2.24)范例解：过B作BH⊥AC交AC延长线于H.在Rt△ABD中，sin∠DAB＝

，AB＝

≈20.在Rt△ABH中，∠BAH＝79.8°－53.2°＝26.6°，tan∠BAH＝

，tan26.6°＝

≈

，∴AH＝2BH.由BH2＋AH2＝AB2＝202得BH＝4(取正值)、AH＝8.在Rt△BCH中，BC＝40×＝10，CH＝

＝2.故AC＝AH－CH＝8－2＝6≈13.4(km)仿例

如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos(90°－65°)＝80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sinB＝

，∴PB＝

＝

≈129.66.因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66海里．知识模块四简单的坡度坡角问题

如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC自学互研αlhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.2.坡度(或坡比)坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.

如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，

即i=h:l

.坡面水平面自学互研旧知回顾：3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值.αlhi=h:l坡面水平面自学互研范例自学互研(德州中考)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(

)A．4m

B．6mC．12m

D．24mB仿例1：如图，某铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，已知路基高AE为5米，左侧坡面AB长10米，则左侧坡面AB的坡度为(

)仿例CA．1∶2

B．1∶C．1∶

D．1∶仿例2：如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为(

)仿例A．5cosα米

B.米C．5sinα米

D.米B自学互研知识模块五复杂的坡度坡角问题范例1：水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为16米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．范例(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．解：(1)如图，分别过A、D作下底的垂线，垂足为F、G，在Rt△ABF中，AB＝16，∠B＝60°，∴AF＝16sin60°＝8＝DG.又∵CE＝8，∴S△DCE＝

×8×8＝32.∴需要填土32×150＝4800(立方米)．(2)在Rt△DGC中，CG＝

＝

＝24，∴GE＝24＋8＝32.在Rt△DGE中，tan∠DEG＝

＝

＝

＝i.范例2：某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E、F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝

，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．求：(1)∠D的度数；(2)线段AD的长．解：(1)∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE＝∠CEF＝90°，∴∠BFA＝∠CED＝90°，CE＝BF＝3米，∵CD＝6米∴sin∠CDE＝

，∴∠D＝30°.(2)∵sin∠BAF＝

，∴

＝

，∵BF＝3米，∴AB＝

m，∴AF＝

＝

m，∵CD＝6米，∠CED＝90°，∠D＝30°，∴cos30°＝

，∴DE＝3m，∴AD＝AF＋FE＋ED＝(＋1＋3)m.仿例仿例：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(

)A．(6＋)米B．12米C．(4＋2)米

D．10米A检测反馈1．上午8时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，8时30分到达B处(如图所示)，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为(

)A．20海里

B．20海里C．15海里

D．20海里B2．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为(

)A．10海里/小时B．30海里/小时C．20海里/小时D．30海里/小时D4．如图，在坡比为i＝1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米．33．水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，背水坡CD的坡比i＝1∶1，已知背水坡的坡长CD＝24m，则背水坡的坡角α为____，拦水坝的高度为_______m.45°12(第3题图)(第4题图)5．某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i≈1∶0.5，求山的高度(不计测角仪的高度，

≈1.73，结果保留整数)．解：i＝

＝

，设BC＝x，则AB＝

x.∵∠D＝30°，∴DB＝

x，∴

x－