湖南省长沙市2023年高三下学期联合考试数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项1试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设(1i)z1i，则复数z的模等于( )A．2 B．2 C．1 D．3y2x的倾斜角为，则sin的值为（）A．4 B．45 5

C．4 D． 35 5已知复数z满足z1i1i（i为虚数单位，则z的虚部为（ ）ABi C．1 D．14．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距，，AA，P是P的距离与P到点A的距离相等，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ）A．3 3

B．3

C．3 3 D．32 2已知圆系是（ ）

截直线

所得线段的长度是

，则圆与圆 的位置关A．内切 B．相交 C．外切 D．相离设aln3，则blg3，则（ ）A．abababB．abababC．abababD．ababab7．若(1ax)(1x)5的展开式中x2,x3的系数之和为10，则实数a的值为（ ）A．B．C．1 D．18．若复数z满足(23i)z13i，则z（ ）A．2i B．32i C．2i D．32i何？”“中国剩余定理”N除以正整数m后的余数为nNn(modm，例如112(mod3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ．A．21 B．22 C．23 D．24已知数列

}a

a 2aa

成等比数列.若{a

}nS

S

的最小值为（ ）n n1

1 3

n n nA．–10 B．C．–18 D．–20f(x)ex1x2nx2axa30且|mna的取值范围是（ ）A．[2,4] B．2,7

C．7,3

D．[2,3]33 P是正四面体ABCD 的面ABC内一动点，E为棱AD中点，记DP与平面BCE成角为定值，若点P的轨为一段抛物线，则tan（ ）A．2 B．22

C．4

D．2 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。AOB1，面积为3

，则OAAB .已知函数）axln﹣b（，）在点（，（）处的切线方程为=﹣，则ab= .1215 .xx

的展开式中的常数项为 ax的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知各项均为正数的数列an

的前n项和为Sn

San

1与a 的等差中项.n证明：S2n

为等差数列，并求S；n设bn

1S Sn1

，数列

的前n

项和为Tn

，求满足Tn

5的最小正整数n

的值.18（12分）在直角坐标系xQy中，曲线C1

x22cos的参数方程为y42sin

,（为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin.2把C1

的参数方程化为极坐标方程：求C与C1

交点的极坐标0,02.19（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池其底面为长方形ABCD (如图所示其中ADAB.结合现有的生产规模设定修建的发酵池容积为450米3，深2米若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元AD边长的范围；4米和b米的走道（b为常数）.问.20（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEFA＝2A＝M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.21（12分）已知函数fx2xexax.（Ⅰ）x2fxfx在f处的切线方程（Ⅱ）xfxalnxR根的个数.0

1 022（10分）试求曲线＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M N2 ．0 2 0 1 参考答案125601．C【解析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为(1iz1i,1所以z1

iiii,由复数模的定义知,z故选:C【点睛】

1.本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.2．B【解析】根据题意可得：tan

2，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，tan

代入计算即可求出值．【详解】2，由于直线y2x的倾斜角为，所以tan2，则sin22sincos

2sincos

2tan

22

4sin2cos2 tan21 (2)21 5故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．3．D【解析】zzi1iz.【详解】zzi1i，1所以z1

iiii，所以z的虚部为1.D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．D【解析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点Px轴的距离的最小值，利用PxPAP点轨迹方程，得到6yx99.【详解】xOyPxPA的Px轴的距离的最小值．Pxyy

x32y3

，化简得：x326y90，则6yx3299，解得：y3，2即点P的轨迹上的点到的距离的最小值是3.2D.【点睛】最值.5．B【解析】化简圆 到直线 的距离 ，又6．A【解析】根据换底公式可得b【详解】

两圆相交.Bln3，再化简ababab，比较ln3,ln101,ln101的大小，即得答案.ln10blg3log

3ln3，10 ln10abln3

ln

ln3ln101 ,abln3

ln

ln3ln101 ，ab

ln3lnln10

ln10 ln10 ln10 ln10.ln30,ln100abab.3eln10,即ln31ln10,ln3ln101，ln3ln3 ln3ln101 ln10 ln10

，即abab.abababA.【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.7．B【解析】由(1ax)(1x)5

(1x)5ax(1x)5x2x3的系数，令二者之和等于10，可求出实数a的值.【详解】由(1ax)(1x)5

(1x)5ax(1x)5，x2的系数为C2aC5 5

105ax3的系数为C3aC5 5

1010a，二者的系数之和为(105a10)15a2010，得a.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8．B【解析】由题意得,z【详解】

13i ,求解即可.23i(23i)z13i

z13i 13i(23i) 26i3932i.因为 所以

23i (23i)(23i) 49故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.9．C【解析】21325323C.10．D【解析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得Sn4或5时，S取到最小值.n n【详解】根据题意，可知{a}为等差数列，公差d2，na,a,

成等比数列，可得a2

aa，1 3 4 3 14∴(a1

a(a1

6)，解得a1

8.∴S n

n(n1) 9 812n29n(n )2 .2 2 4n4或5S取到最小值，最小值为20.n【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当n4或5时同时取到最值.11．D【解析】易知f(x)单调递增,由f(1)0可得唯一零点m1,通过已知可求得0n2,则问题转化为使方程x2axa30在区间0,2上有解化简可得ax1

4 2,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.x1【详解】f(xex1x2单调递增且有惟一的零点为m1，所以|1n10n2，问题转化为：使方程x2axa30

0,2

上有解，即a

x23(x1)22(x1)4x1 4 2x1 x1 x1在区间0,2对勾函数yx1D．【点睛】

4 2在区间0,2的值域为[2,3]2a3.x1本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.12．B【解析】设正四面体的棱长为2BCEPDP，求出线面所成角的正弦值，再由角0,，结合为定值，得出sinP的轨迹为一段抛物线，2所以求出坐标的关系，进而求出正切值．【详解】由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O为BC的中点，以O为坐标原点，以OAx轴，以OBy轴，过OABCz轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则可得OBOC1，OA 32 3，取OA的三等分点G、F如图，21 3 2 2 3 2 6 1 6则OG

OA ，AGOF OA ，DG AD2AG2 ，EF DG ，3 3 3 3 3 2 3B

C

A 3,0,0

3D

2 6

2 3 6E ,0,所以 、 、

、3

3 、 3

3，由题意设

Px,y,0，

DPx

3 2 63,y, 3 ，ABD和ACDEAD的中点，BEADCEAD，AD

2 3 2 6BE CEE，ADBCE，

,0,3

3 BCE的一个法向量， 因为DP与平面BCE 所成角为定值，则0,，2由题意可得AD,DPADAD,DPADDPADDP233x3 3262 32 x32623y223 x 33xx 33x1 3y282x323x23y22 3x9x22 3x33x23y22 3xPtan为定值，则sin也为定值，2 3x3y22 3x3y22 3x3

sin 3x2

，可得3y28 3x，此时sin9 3

，则cos 3 ，tancos 2.6262【点睛】考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．32【解析】OAAB.根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角AOB，再根据等腰三角形性质求出|OAAB.出

，利用向量的数量积公式求【详解】设角AOB

1 12，3 22，3所以在等腰三角形OAB中，|AB| 3，3则OAAB1 3cos150故答案为：3.2

.2【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.14．0【解析】fe,f'e3，列方程组可求ab，即求ab.【详解】∵在点e,fe处的切线方程为y3xe，fefxaxlnxbx得ab2①.又 f'xalnxf'e2ab3②.a1,b1.ab0.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.15．31【解析】

2 5

r由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为 1的展开式得通项为T

=-1

25rCrxr5，则 2 5

x 4 5

r53x1 1的展开式中的常数项为：31 C41 C5

14，得解.x 5 5【详解】解：Tr1

=-r5rCrxr5，51215则 的展开式中的常数项为：x x341C4520C5

31.5 5故答案为：31.【点睛】本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.216． a327【解析】由题意容积Va2x2x，求导研究单调性，分析即得解.【详解】由题意：容积V2x2x0xa，2则V2(a2x(2x(a2x)2(a2x)(a6x，由V0xax

a（舍去，6 2令Vx(0,a);V0xaa)6 6 2x

a为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V6

2a3.27故答案为：

2a327【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。n17（）见解析，S nn

（2）最小正整数n的值为35.【解析】（1）由等差中项可知2S

a 1

，当n2时，得

2S S S

1，整理后可得S2S2

1，从而证n n an

n n n1 Sn

Sn1

n n1明S2 n n1n1n1

为等差数列，继而可求Sn.n1 nnn1 nn

，则可求出T nnn

1，令

15，即可求出n 的取值范围，进而求出最小值.【详解】（）由题意可得2S

a

1n12Sa1

，∴a2

1，a

1，n n an

1 1 a 1 11n22S

S S

S2S2

1，1n n 1

S n

n1

n n1∴S2 11S

S21n，S . n1n1 n（2）由（n1 nn

n 1 nn，n2∴T2n

1

n n1 n1

n115，解得n35，32n∴最小正整数n的值为35.32n【点睛】本题考查了等差中项考查了等差数列的定义考查了a 与S 的关系考查了裂项相消求当已知有a 与S 的n n n na,n1递推关系时，常代入a 1

进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常n S Sn数.

n1

2 2,18（）p24pcos8psin16（）C与C

交点的极坐标为4,

，和 1 2 2 4【解析】先把曲线C1

化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；联立曲线C1

和曲线C2

的方程解得即可.【详解】曲线C1

的直角坐标方程为：x22y4

4x2y24x8y160.C1

的参数方程化为极坐标p24pcos8psin160；p24pcos8psin160

p4 2p 2 2p 2

p4sin

或

与

交点的极坐标为4,2和2

4.2 1 22 4

【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.19（）AD[15,25]（）当0b36时，AD25，AB9b36,4时，25 25 AD

30 b,AB30 bb 2

15 b时，发酵馆的占地面积最小；当b4ABAD1515 bn【解析】n（1）ADxf(x)22520015022x450fx65400即可得解； x x（2）结合（1）Sx(x8)2252b. x x【详解】（1）由题意知ABCDS

4502252，2ADxAB

225米，由题意知x

2250x15，x x设总费用为fx，f(x)22520015022x

450

2254500065400， x x 600 x 600 x解得9x25x15x[15,25]，所以发酵池D边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）Sx由（1）知Sx(x8)2252b2bx180016b225,x[15,25]， x xS(x)2

bx2900x2

,x[15,25]b4Sx0Sx在[15,25]x15ABAD15米时，发酵馆的占地面积最小；0b小；

36Sx0Sx在[15,25]x25AD25,AB9米时，发酵馆的占地面积最25③b36,4时，x 30时，Sx0，Sx递减；x30,25时，S(x)0,S(x)递增，25

bb bbbx30b

30 bAD30 b

30 b,AB30 b

15 b15 bb b 2综上所述：当0b

36AD25AB9米时，发酵馆的占地面积最小；当b364时，25 25 AD

30 b,AB30 bb 2

15 b时，发酵馆的占地面积最小；当b4ABAD1515 b【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.20（）见解析（）见解析【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE. 2 2 2 2 N

2,2,0，E(0，0，1)，A(

2，2，0)，M

2,2,1. 2, 2,1 2, 2,1∴NE＝ 2 2 ，AM＝ 2 2 . NE＝AMNEAM不共线．∴NE∥AM.∵NE BDE，AMBDE，∴AMBDE. 2, 2,1(2)由(1)知AM＝ 2 2 ， ∵D( 2，0，0)，F( 2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)，∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.21（Ⅰ）e2xy20（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f(x)的一个极值点，得f'(2)=0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求解即可；（Ⅱ）利用参数法分离法得到ahx

x2exxlnx

，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.【详解】（Ⅰ）因为fx2xexa