第四章稳恒电流

第四章稳恒电流§4－1电流和电流密度§4－2稳恒电流§4－3欧姆定律和焦耳定律的微分形式§4－4电动势§4－5金属导体的经典电子理论§4－6基耳霍夫方程组§4－7二端网络理论简介§4－8接触电位差1/12/20231教学要求：1.掌握从场的观点讨论维持稳恒电流的条件，理解电动势的概念；2.了解欧姆定律微分形式的物理意义。3.掌握基尔霍夫方程组，了解二端网络理论和接触电位差1/12/20232§4－1电流和电流密度本章从“场”的角度出发，以电场的规律为基础，研究电路的基本规律。1/12/20233一、电流强度1.电流电流形成条件1)导体内有可以自由运动的电荷；2)导体内要维持一个电场。2.电流强度I大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。方向：正电荷运动的方向单位：安培（A）1/12/20234二、电流密度（currentdensity）的概念就够了。对大块导体，对细导线用电流强度

(electriccurrentstrength)还需电流密度的概念来进一步描写电流的分布。例如：电阻法探矿（图示）1/12/20235定义：电流密度大小：对任意小面元，对任意曲面S：P处正电荷定向移动速度方向上的单位矢量dI方向//vdIdSPI大块导体1/12/20236为形象描写电流分布，引入“电流线”的概念：

要求：1）电流线上某点的切向与该点的方向一致；电流线PjdNdS2）电流线的密度等于j，即：1/12/20237三、电流的连续性方程若（流入正电荷>流出正电荷）面内正电荷增加则（流出正电荷>流入正电荷）若面内正电荷减少则IdsjSq内对闭合曲面S有：—电荷守恒定律1/12/20238四、稳恒条件

稳恒条件：

或（积分形式）（微分形式）则在电流场内作一任意闭合S面，有若电流场内不随时间t变化要求空间电荷分布

不随时间t变化1/12/20239必有I=0稳恒情况必有I入=I出I入I出电路II电路I二端网络对电路的“节点”：

—

基尔霍夫第一定律

（Kirchhofffirstlaw）i=1,2,规定从节点流出：I>0，流入节点：I<0。IiS节点由基尔霍夫第一定律可知稳恒情况1/12/202310三、稳恒电场对于稳恒电路，导体内存在电场。稳恒电场：是由不随时间改变的电荷分布产生的。可引进电位概念。回路电压定律（基尔霍夫第二定律）：在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。1/12/202311§4.2欧姆定律的微分形式─电阻率

(resistivity)，单位：─电导率

(conductivity)，单位：对一段均匀金属导体：电阻(resistance)SRULabI电导：(conductance)单位：（西门子）ab欧姆定律（Ohmslaw）1/12/202312一、欧姆定律的微分形式IjdldS电流线dU将欧姆定律用于大块导体中的一小段，—欧姆定律微分形式上式对非均匀导体，非稳恒电流也成立。1/12/202313(2)焦耳定律及电功率

电流通过一段电路时，电场力对电荷做功电场在单位时间内所做的功，叫做电功率瓦特焦耳1度电1千瓦·小时＝1000瓦×3600秒＝3.6×10６焦＝3.6兆焦

额定电压和额定功率电灯泡上标有“220V60W"，1/12/202314如果一段电路只包含电阻，而不包含其他转换能量的装置，那么电场所做的功就全部转化成热,根据能量转化和守恒定律，焦耳直接根据实验结果确定的，叫做焦耳定律功率

电流通过电阻时发热的功率1/12/202315二、焦耳定律的微分形式在导体内取一小柱体dSdl

jdUEdI小柱体的发热功率由有焦耳定律的微分形式对导体内任一点热功率密度1/12/202316§4－4金属体的经典电子理论一、基本概念1.自由电子气金属导体具有晶体结构，正离子排列成整齐的空间点阵。自由电子在点阵间热运动，运动图象与容器中的气体分子的热运动相似。金属中自由电子的整体自由电子气。古典电子论的基本观点：气体分子运动论的规律同样适应于金属中的自由电子气。1/12/2023172.金属导体中电流形成的微观过程1)金属中无电场时,电子作无规则的热运动。2)金属中存在电场时，电子受电场力在热运动基础上叠加一定方向的运动。（漂移运动）。自由电子速度=热运动速度+定向速度自由电子平均速度=定向速度平均值（漂移速度u）大量电子的漂移运动形成金属中的电流E漂移方向1/12/2023183.电流密度j和漂移速度u的关系设导体内某点处自由电子数密度n

t时间内穿过左端面的电量的大小电流强度电流密度在该点附近取小圆柱体（截面垂直)S

j

uut1/12/202319二、由古典电子论推导欧姆定律1.推导欧姆定律微分形式设导体内有电场每个自由电子受力加速度由于电子与点阵碰撞，电子不能一直加速，电子定向速度增加受到限制。由于热运动速度>>定向速度电子与点阵碰撞所受冲力>>电场力1/12/202320设两次碰撞间电子平均自由飞行时间为u0=0ut某次碰撞下一次碰撞··碰撞后电子向各方向运动概率相等每次碰撞后瞬间平均而言，定向速度为零，即此后运动中的定向初速度u0=0下次碰撞前的定向速度内平均定向速度，即漂移速度有由1/12/202321可见电导率2.古典电子论的困难上式中可近似写作平均自由程[和温度T

无关]热运动平均速率[T1/2]有电阻率这就定性说明了随T

增加的事实。但实验指出，对大多数金属，近代物理学指出，只有根据量子力学来研究金属导电时，才能得到与实验一致的结果。1/12/202322一.电动势（electromotiveforce，简写作emf）-q(t)q(t)I一段不闭合电路q(t)E

(t)I(t)要维持稳恒电流，§4.5电动势+qR-I+才能在闭合电路中形成稳恒电流。必须有非静电力存在，电磁，化学，热，光，原子，电路必须闭合。而1/12/202323定义非静电性场强仿照电势差（电压）的定义—电势降定义电动势—电势升1/12/202324若电动势存在于整个电流回路L，可写作闭合回路上的电势降落测油计工作原理电动势：把单位正电荷经电源内部由负极移向正极过程中，非静电力所作的功。1/12/202325考虑到，有：对上图单回路：U—电源的端电压含源电路一.单闭合回路IR+_rU1/12/202326二.有分叉的回路—基尔霍夫第二定律

(Kirchhoffsecondlaw)与L绕向一致为正。L..iRiIi..ab1/12/202327三.一段含源电路—

一段含源电路的正方向：有bL..iRiIi..aab的欧姆定律例如，上面电路从a、b间断开：1/12/202328三、电源端电压含源电路欧姆定律ABR，rI1）BA电源放电2）BA电源充电ABR，rI3）电源端电压与电动势的关系放电：充电：I=0：电动势测量方法1/12/202329三、电路网络结构的基本概念1.支路：电路中的每一个二端元件称为一条支路；2.节点：三条以上的支路的连接点称为节点；3.网孔：电路中由各支路一.构成的无重复支路的回路为网孔；4.回路：电路中由支路构成的闭和电路称为回路。以右图的电路为例说明：支路、节点、网孔和回路。1/12/202330§4－6基耳霍夫方程组一、概念简单电路、复杂电路二、节点电流方程组：说明：1）符号规定：流入节点（—），流出节点（+）。2）若有n个节点，则只有n-1独立节点方程，构成电流方程组。3）电流未知时，可先预设一个正方向。

I4

S

I3

I1

I21/12/202331例1：如图3所示的电路：节点a：

I1+I4+I6=0节点c：I3-I5-I6=0节点d：-I1-I2-I3=0例2：如图4所示的电路闭和球面：-I1-I2-I3=01/12/202332三、环路电压方程ABR11rI1R22rI2I31/12/202333四、应用举例（P242例1，P243例2，例3）说明：1）符号约定，预设所有支路电流的方向，并选定回路的绕行方向。对电源而言，若绕行方向由电源负极至正极，则取正，反之则取负。对电阻而言，若绕行方向由电流方向一致，则I

取正，反之则取负。2）独立方程个数，若有m个独立回路，则有m个独立方程。3）支路数b，节点数n，独立回路数m之间的关系：

b=m+n-11/12/202334例1电路如图所示。图a)选择b点为参考点，图b)选择a点为电势的参考点，分别计算各点的电压

a+3V-b–5V+ca+3V-b-5V+c

例2:电路如图所示试计算电路中当S闭和与断开两种情况下A点的电位。6k6k12KB-12VC12VAD1/12/202335§4－7线性二端网络技术简介一、概念举例：桥路二端网络：电路中任意划出来的有两个引出端的部分.2.无源二端网络：网络内部不含电源的二端网络.3.有源二端网络：网络内部含电源的二端网络4.二端网络电压UAB：

网络两个引出端之间的电位差。5.二端网络电流I0：每个二端网络可用一个电流表征：1/12/2023361/12/202337例2.1-1

图示2.1-3电路中，已知R1=15Ω，R2=1.5Ω，R3=1Ω,us1=15V，us2=4.5V,us3=9V。求电压uab及各电源产生的功率。1/12/202338例2电路如图所示，已知US1=50V，US2=20V，IS=2A，R1=10Ω，R2=10Ω，R2=10Ω

，R3=20Ω

，求节点a的电压U和各支路电流I1，I2，I3。US1US2ISR1R3R2I1I3I2abIs++--解：1/12/202339无源二端网络开路电压u=除源网络电阻Re等效电阻R等效电源（，Re）二、等效原理2.有源二端网络开路电压u=：两个应引端不于外界相接时的电压。除源网络电阻Re：处掉网络内部所有电源电动势而只保留其内阻之后的网络电阻。1/12/202340八、电压源、电流源及其等效变换

1、理想电压源：不管外电路如何，能够向外电路提供恒定电压US，内阻为零的电源模型定义为理想电压源其模型，如图所示。US+IRL-US2.实际电压源：一个实际电压源可以用一个电压为US的理想电压源，电阻为RS的模型代替。U=US-IRSUSRSRLUUIIUSIRS1/12/2023413、理想电流源：不管外电路的特点如何，凡是能够给外电路提供恒定电流IS的电源模型定义为理想电流源。ISIRLUISIU4、实际电流源：实际的电源可以用一个电流为IS，内阻为RS的电源模型表示。ISRLRSUIISU/RSIU5、电压源与电流源的等效变换1/12/202342电路里的电源可以用电压源也可以用电流源代替，不影响电路的分析结果。如图所示：ISRLRSUIUSRSRLU1/12/202343例3、如图所示的电路中，US1=15V，US2=12V，US3=1V，RL=2Ώ，RS1=3Ώ，RS2=6Ώ，RS3=1Ώ，试用电源的等效变换计算I。US1RS2RS1RS3US3RS1US2I-+-+-+1/12/202344例2如图所示的电路，试求负载电阻RL=2Ώ上通过的电流I2Ω3Ω6Ω10A20Ω6Ω6V+-九、叠加原理

1叠加原理的内容：在有多个电源同时作用的电路中，任一的支路里的电压和电流都可以看作是由电路里的各个电源单独作用时在此支路里产生的电压或电流的代数和。

2考虑一个电源的作用时，其它的电源除源，具体方法是：电压源短路，电流源开路。如下页图计算电流I11/12/2023453求代数和时要注意各电流的参考方向是否与原电流方向一致，一致的取正号，不一致的取负号。

I1=I11-I12R1R3R2USISI1USR1R2R3R1ISR3R2I11I221/12/202346例2电路如图所示，已知US1=50V，US2=20V，IS=2A，R1=10Ω，R2=10Ω，R2=10Ω

，R3=20Ω

，求节点a的电压U和各支路电流I1，I2，I3。US1US2ISR1R3R2I1I3I2abIs++--例3列写如图电路的节点电压方程50V

5Ω

10Ω

2Ω

3A12Ω+-

Ibcd例3图例2图1/12/202347二戴维南定理及应用

1有源二端网络和无源二端网络

2戴维南定理：任何一个线性有源二端网络可以用一个理想电压源US与电阻RS串联支路来代替。这个理想电压源的电压值US等于原有源二端网络的开路电压U。，等效电阻RS则等于将原有源二端网络除源后的无源二端网络两端口处的等效电阻Rab。50V

5Ω

10Ω

2Ω

3A12Ω+-

Ibcd1)除源的方法2)计算U。与Rab1/12/202348例4计算如图所示电路中电流ILRLIL20V+-10Ω10Ω3Ω5V+-例5计算如图所示电路中电流I50V

5Ω

10Ω

2Ω

3A12Ω+-

Ibcd1/12/202349CuFeII热接头冷接头若两个接头处的温度不同，两种金属接成一个回路，温差电动势的成因：▲在同种金属中，温差形成自由电子的热扩散（汤姆孙Thomon电动势）▲不同金属自由电子浓度不同，在接头处产生与温度有关的扩散（珀耳帖Peltier电动势）则回路中形成温差电动势。（*二.温差电现象（席贝克Seebeck效应，1821）1/12/202350温差电形成温差电动势的非静电力与热现象有关

汤姆孙效应及电动势

因温度不均匀引起的热扩散——等效于一种非静电力类似气体分子热运动，自由电子从高温端向低温端扩散宏观上等效于一个非静电力——K导致电荷迁移在导体两端，有电荷积累——E，反抗KE+K＝0，达到平衡瞬间完成——吸热汤姆孙系数(T)~10-5V/ºC1/12/202351此电流过程K作正功吸热——转化成电势能此电流过程K作负功电势能降低——放热汤姆孙效应是热——电转换效应可逆（不同于焦耳热）

(T)与材料的性质有关

用同种金属，只依靠汤姆孙电动势，也不能在闭合回路内建立恒定电流。

1/12/202352佩尔捷效应及其电动势

密度不均匀引起的电子扩散——等效于一种非静电力吸热——K作正功电势能提高放热——K作负功电势能降低在单一温度下只依靠珀耳帖电动势不能在闭合回路内建立恒定电流

1/12/202353温差电动势

闭合回路是由两种金属A、B组成的，接头1、2温度分别为T1，T2

在接头1、2两处形成了佩尔捷电动势大小不等在金属A和B内分别形成的汤姆孙电动势的大小也不相等——温差电动势

温差电动势存