正定矩阵的性质和判定方法及应用

------------专业资料-内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩容 提 要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrixisanimportantbasicconceptsinmathematics,butalsoamainresearchobject,atthesametimematrixtheoryisapowerfultoolforthestudyoflinearalgebra.Atthesametime,thepositivedefinitenessofmatrixisanimportantconceptinthematrixtheory.Thepositivedefinitematrixisaspecialmatrix,theequivalencetheoremintheproblemsolvingprocesscanbeusedflexibly.Andthepositivedefinitematrixwithspecialpropertiesofgeneralmatrixdoesnothavetheseproperties,especiallywidelyusedinvariousfields.Inthefirstpartofthisthesistheseproperties,especiallywidelyusedinvariousfields.Inthefirstpartofthisthesisjudgethepositivedefinitenessmatrixinfourthparts:thedefinition,themastermethod,theeigenvaluemethod.Determinationandsimplycitedanumberofexamplesofrealpositivedefinitematrices.Troducestherelateddefinitionofpositivedefiniterealmatrixanditsequivalentjudgethepositivedefinitenessmatrixinfourthparts:thedefinition,themastermethod,theeigenvaluemethod.Determinationandsimplycitedanumberofexamplesofrealpositivedefinitematrices.Twoaspectsofextremefinallythispaperfromtheproofofinequalityandmultiplefunctiondescribesthepracticalapplicationofpositivedefinitematrices.Keywords:QuadraticformPositivedefinitematrixDeterminationmethodApplication目 录引言错误!未定义书签。一、正定矩阵的定义错误!未定义书签。二、正定矩阵的性质错误!未定义书签。三、正定矩阵的有关定理错误!未定义书签。四、正定矩阵的判定方法错误!未定义书签。（一）定义法错误!未定义书签。（二）主子式法错误!未定义书签。（三）特征值法错误!未定义书签。（四）与单位矩阵E合同法错误!未定义书签。五、正定矩阵的应用错误!未定义书签。（一）正定矩阵在不等式中的应用错误!未定义书签。（二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用总结错误!未定义书签。参考文献后记错误!未定义书签。正定矩阵的性质及应用引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论．矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用．二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字X1

, ,Xn

的正定二次型与n阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义．其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题．一、正定矩阵的定义1[3]设aij齐次多项式函数

j

n;ij均为实常数，则关于nxx1 2

, ,xn

的二次fx,x,

,x

x2a

x2

a x22a

xx

xx

x x， 1 2

111

22

nnn

1212

1313

n1,n

n1n称为n元实二次型．定义2[3]只含有平方项的二次型称为标准形，即fy,y1 2

, ,yn

d1

y2d1

y22

dy2． n n定义3[3] 若二次型的标准形中的系数di二次型的规范形．

,n仅为1,1,0，则此标准形称为定义4[1] 实二次型fx,x

x称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c,c,c,,c，都有fc,c,c0fc,,c0，那么fx,x,,x1 2n1 2n1 2n1 2n为负定的；如果都有fc,c

2, ,

n0，那么fx,x

, ,

称称为半正定的；如果都有1 2 n 1 2 nf,c, ,c0那么fx,x, ,

称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是1 2 n 1 2 n半负定，那么fx,x,

x就称为不定的．1 2 n定义5[1]

若实数域上的n元二次型f(xx

,x)

aＸX

a )XTAX1 2 n

ij i j ij jii1j1是正定二次型（负定二次型A为正定矩阵（负定矩阵型（半负定二次型A为半正定矩阵（半负定矩阵．其中a a

a x11 12

1n

1Aa21 a22

a2n，Xx2． a aan1 n2

a xnn n定义6[1] 子式aaa11121iPa21定义6[1] 子式aaa11121iPa21a22a2iiAij

i1 i2 iiaaa的i阶顺序主子式．aaann下面是正定矩阵的一些等价条件．定理1[8]A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价：A是正定矩阵．------A的正惯性指数等于n．A的特征值全大于零．A合同于nE．nA合同于主对角元大于零的对角矩阵．PAPTPPTP的转置．（负定（半负定）判定．二、 正定矩阵的性质性质1[1] 正定矩阵的行列式大于零．证明 设A是正定矩阵．因为A与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C使A两边取行列式，有ACCC20．推论1[1] 若A是正定矩阵，则A的顺序主子式全大于零．证明 设二次型fx,x1 2

xnn

axxiji

是正定的．对于每个k,1kn，令i1j1f x,x, xk 1 2

k

axxiji

．下面证明fk

是一个ki1j1为零的实数c, ,c，有1 kf , ,c

k

acc f, ,c,0, ,00．k 1 k

i1

iji j 1 k- - -专业资料-------------专业资料-因此f

x, x是正定的．由性质１可知，

的矩阵的行列式k 1 k ka11a11a1k0,k1, ,n．aak1 kk这就证明了矩阵A的顺序主子式全大于零．性质2[6] 若A是正定矩阵，则A的主对角元全大于零．证明 设A(aij

，对于任意的X0XTAX

axxiji

aij

a ，jiii,j1,2, n．令X(0, 0,1,0

i1j1，将其代入 XTAX

axxiji

(aj

a )，得jiXTAXaii

，所以aii

0，i1,2, n，从而结论得证．

i1j1性质3[6]正定矩阵A(aij

)中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到．证明 设A(aij

)aij

(ij)是A的ii中绝对值最大的一个元素，那么，取A的二阶主子式aii

aij aa

aa

0，由此可a aji jj

ii

ij ji得aaii

aaij

a2aij ii

的绝对值不可能都小于aij

ij

a 或a a ，ii ij jj故A中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到．性质4[8] 若A是正定矩阵，则kA，AkE是正定矩阵，其中k0．证明 由A是正定矩阵，可知A的特征值1

0,2

0，则kA的特征值nk 0(i1,2, n，因此kA是正定矩阵．i同理可得AkE的特征值1

k0,2

k0,

k0，因此AkE也是正定n矩阵．性质5[7] 若A是正定矩阵，则，是正定矩阵，其中表示A的逆矩阵，表示A的伴随矩阵．证明 首先证是正定矩阵．因为A是正定矩阵，所以A可逆且AAT，则有1T

T1A1，即A1为实对称矩阵．设A的特征值为,,

A

0(i

n1 2 n iA1的特征值10,

10,

10，因此A1也是正定矩阵．1 2 n再证A*是正定矩阵．

A

A1

A1

A

1

AA1

A

*A*，即A*是实对*称矩阵．因为

A1A

0,2

AA0, An

0是正定矩阵．性质6[1]若A是正定矩阵，则对于任意整数k，Ak都是正定矩阵．证明 当k0时，AkE显然是正定矩阵．当k0kk，而kA1

，有性质３可知，A1也是正定矩阵，故下面只需假定k为正整数即可．Ⅰ当k为偶数时，由于

kT

k，由正定矩阵的等价条件(6)可知Ak是正定矩阵．

ATA，且Ak

A2A2 Ⅱ当k为奇数时，由于A是正定矩阵，故存在实可逆矩阵CACTC．由此可得：

k1

k

k

k1

kT k，从而仍由正定矩阵的AkA

2

2 A

CTCA

CA

CA2 等价条件(6)可知，Ak是正定矩阵．性质7[4]A为n阶正定矩阵，则Aa

a ，其中

n的主对角元素.

1122 nn iiAA A的n1

,a , a ．证明

1 a TT

1nn

1n 2n

n1,n------那么 E 0

A1 A 0 n1

1 = 1 ，1nnTA1 1T a 1nn

1

a TAnn 1两边取行列式得：

AA1

ann

TA1因为A是正定矩阵，所以A1

，A1都是正定矩阵，那么TA0．由上式可知1 1AAa ．1 nn同理A1

A a2

，其中A2

为A的n2级顺序主子式阵，这样继续下去可得AAa

Aa

a aa a .1 nn 2

n-1,n-1nn

1122 nn性质8[5] 任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的线性组合也是正定矩阵．证明 设A,B都是正定矩阵，又设a,b0．由A,B是正定矩阵，可得AAT,BBT．则有

aAbBTaTbBTaAbB，所以aAbBX0(XRn有XT(aAbB)XaXTAXbXTBX，由性质 4 可知aA,bB是正定矩阵，则有aXTAX0，bXTBX0．所以XT(aAbBX0．因此aAbB是正定矩阵．多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明：当n2时已证明命题成立；假设nk1时命题成立，现证明nk1时命题也成立．设A

A,

a

, ,a,

0X0(XRn有1 2,

k k

1 2

k1- - -专业资料-------------专业资料-XT(aA11

aAk k

ak

Ak

)Xa1

XTAX a1

XTAk

X

k

XTAk

X0，其中每一项均为正．所以当nk1时，结论成立．综合（1（2）可知，对于一切的自然数n矩阵．性质9[8]如果A是正定矩阵，m是任意实数，则存在正定矩阵B，使得ABm．nn1证明由于A是正定矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使QTAQ1

，其中, ,

000，所以1 n 0AQ1

QT．0 0nm mmn令 mnBQ 0

QT

ABm，结论得证．三、 正定矩阵的有关定理A 0定理2[5] 若A，B都是正定矩阵，则 是正定矩阵．0 B由定理2的推广，可以得到如下推论：推论2 若A，B，C，D都是正定矩阵则lAl2

0 (l0,i1,2,3,4)1 是正定矩阵．

0 lClD i3 4A 推论3 若A,A

1 A,A都是正定矩阵，则 2

AsAs1 2 s 定理3[5] 正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵．证明 设B为n阶正定矩阵，A为n阶实对称矩阵且与B合同．由正定矩阵的等价条件可知，B与单位矩阵En

合同．又因为A与B合同，那么A也与单位矩阵En

合同，即A为正定矩阵．定理4[5] 若A,B是实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b．若ab0，则AB是正定矩阵．证明 性质5已证得AB是实对称矩阵，且由已知条件可知AaE，BbE都正定矩阵，由性质5可得(AaE)(BbE)是正定矩阵．设AB的任一特征值，则E(AB)(ab)EAaE)(BbE)，这表明(ab是AaE(BbE的特征值．由于AaE(BbE是正定矩阵，故(ab)0，所以(ab)0，即AB的特征值全大于0，从而AB为正定矩阵．推论4 设A,

, ,A都是实对称矩阵， A的特征值均大于a(i1,2, ,s)．若saii1

1 20，则AA1 2

s i iA是正定矩阵．s定理5[9]若A,B是正定矩阵，则AB是正定矩阵的充要条件是ABBA．证明 必要性：设AB是正定矩阵，则AB是实对称矩阵，从而ABABT

BTATBA．ABBAB

BTATBAAB，故AB是实对称矩阵．由于B正定，存在可逆矩阵P使得BPTP，从而ABAPTPP1PAPTPP1(PAPT)P，即AB与PAPT相似，因而AB与PAPT有相同的特征值．因为A正定，故PAPT也正定， PAPT的特征值全大于零，故AB的特征值全大于零，所以AB是正定矩阵．定理6[7]若A 证明 由已知可知，

A，

A2，则是实对称矩阵.又因为1T21E2E2是正定矩阵正定.6推论5 若A是实对称矩阵，且A可逆，则A2k(kZ)是正定矩阵.注：当A满足推论４的条件时，A2k1(kZ)不一定是正定矩阵．例如1

1 A 2

则A是实对称矩阵且A可逆显然A

22k1

不是 2k1 3

2k1 3 正定矩阵．定理7[6]设A aij

,Bb

nCij

也是正定矩阵，其中c ab．ij ijijBCXx1

x)T0n阵A,B是正定矩阵，可知：XTAXn

xxjk j

0,XTBXn

xxjk j

0，且存在n阶可逆矩阵Qij

j1kj1k，使得BQTQ，即b jkl1所以

qqljlk

(j,k1,

,n)，nna b x

nn

n q

xx

n

nn

q ，jk jk j k

jk

ljlk j

jk j

k lkj1kj1k

l1

l1j1k1对任意X(x1

, ,xn

)T0，因为Q可逆，所以总存在一个l，使得(xq, ,xq

)T0，1l nl1 n(不妨设x1

0，则由Q可逆知Q的第一列中总有一个元素不为零，设为 ql1

，于是xq 0)．又由A是正定矩阵有： n

0对以上的l成立．所以1l jk1 j1k

lj

lk

a b xxjk jk j

0，即Cbijij

为正定矩阵．j1k1

AB为mn实矩阵，其中BTB的转置矩阵，则BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩rBn．证明 必要性 设BTAB为正定矩阵，则对任意的n维非零列向量X，有XTBTABX=BX

ABX>0，于是BX0，因此n元齐次线性方程组BX0只有零解，故系数矩阵B的秩rBn．BTAB充分性 因BTAB

T=BTTB=BTABBTAB为实对称矩阵.若rBnBX0nX，BX0ABX0有BXABX0X0时，有XTBTABX=BX

ABX>0，故BTAB为正定矩阵.四、 正定矩阵的判定方法(一)定义法n阶实对称矩阵A称为正定矩阵，如果对于任意n维实非零向量XXTAX0．则实对称矩阵A简称为正定矩阵，记作：A0．用定义证明矩阵A是正定矩阵需证明两点：A为实对称矩阵．XXTAX0．运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则可以确定该矩阵属于正定矩阵．例1 设A是nm实矩阵，且A是列满秩，即rAm，证明A是正定矩阵．证明 首先，因为TA

ATA，所以，ATA是实对称矩阵．rAm可知，齐次线性方程组AX0只有零解．因此，对任意m维列向量X0，必有AX0，不妨设AXa1 2

, ,an

，则aa,1 2

a 是一组不全为零n的实数．从而，对任意mX0，二次型TT

T

，X AA X

AX

a20ii1XTTAXTA是正定矩阵．例2 设A是mn矩阵，BEA，证明当0时，B是正定矩阵．证明 因为BTETA

EABB是nn维实向量x0，有xTBxxTxxTTAxxTxx

Axx

2Ax2．由于x0，0，则恒有xB是正定矩阵．

0，而Ax

0，因此xTBx0x0，由定义可得若矩阵A的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵A为正定矩阵．运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得．然后根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵，但是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵．例3设二次型fxx

6x25x27x24x

4x

，判定该二次型的矩阵是否属于正定矩阵.解二次型的矩阵为

1 2 3

1 2 3

12 136 2 2 A2 5 0 2 0 7 其各阶顺序主子式分别为D1

6,D 62 2

226,D5

A162全大于零，所以矩阵A是正定矩阵．例4t取何值时，二次型fx22xx

2x

2x

24tx

10x

2的矩阵是正定矩1阵．解 二次型f对应的矩阵为

12 13 2

23 31 1 1 A1 2 2t 1 2t 10 要使矩阵A正定，必须使A的各阶顺序主子式全大于零，即满足1 1 1

D10,D1

1 11 2

10,D A0 3

2t19

4t24t1

04t24t84(t2t2)0，0 2t1 9得到2t1，所以，当t(2,1)时，二次型f的矩阵是正定矩阵．(三)特征值法若矩阵A的特征值全为正数，则矩阵A为正定矩阵．运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，若所有特征值都为正数则可以判定该矩阵属于正定矩阵．如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算出特征值的具体值直接判定．此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或根据已知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵．例5 已知AE是n阶实对称正定矩阵，证明EA1是正定矩阵．证明 由EA1

ET

1

ATEA1可知A1是对称矩阵设,, ,AT1 2 n是A的特征值，则AE的特征值1

10,2

1,

10，即n

1，那么1

1，从而1

i10．i综上可得：EA1的特征值全为正数，即EA1是正定矩阵．例6 判定n元二次型f

x2n1x

的矩阵是否属于正定矩阵．解 二次型f的矩阵

ii1 i1111A21212121

ii1121

1212 ．nn2 11

1 1 1 1

则A 2

E 2

1, 1,

, 1，记B

1, 1,

, 1．1

2

B2nB的特征值是n与n1重A11n1重)．2 2A的特征值全为正数，故A属于正定矩阵．例7 设A是n阶实对称矩阵，且满足A43A34A26A4E0，证明A是正定矩阵．证明 设是矩阵A的特征值，是矩阵A的属于特征值的特征向量，则有3A34A26A4E

4334264

0，因为0，所以43342640，即2220，由于A是实对称矩阵，故由上式可知矩阵A的特征值为１或２，即矩阵A的特征值全为正数，从而可得A是正定矩阵．(四)与单位矩阵E合同法正定二次型fxx

x y2y2

y2，而规范形的矩阵为单位矩1 2 n 1 2 n阵E，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵E合同．此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对应的二次型是否大于零，也不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单位矩阵合同即可．此法适用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵．例8A是nA是正定矩阵．ATA证明 由ATA

TTATA是对称矩阵．因为ATAATEA，且A是可逆矩阵，所以ATA与E是合同矩阵，从而ATA是正定矩阵． 例9用此法证明分块矩阵QA 0是正定矩阵，其中B分别为n 0 B 阵．证明 由于矩阵B为正定矩阵，故存在可逆矩阵

mm

和Dnn

，使得CTACEm

,DTBDE，n令 C 0，则 CT 0，且P为mn阶可逆矩阵．P PT 0 D 0 DTCTPTQP

0A 0

0 CT

0 E 0，n m ，n0 DT0 B

D

DTBD 0 E 所以，矩阵Q与单位矩阵E合同，故分块矩阵QA 0 0 B 五、 正定矩阵的应用(一)正定矩阵在不等式中的应用实对称矩阵A是正定矩阵是由于其对应的实二次型XAXT（其中Xx

, ,x）1 2 n正定，而二次型正定是指对于任意X0等式是否成立．

恒有XAX0

T0．因此可以利用此性质来证明不0例10证明不等式x24x1 2

22x3

22xx12

2xx13

（xxx1 2

是不全为零的实数）成立．证明 令fx,x,x x24x22x22xx 2x

，其系数矩阵为1 2 3 1 2 3 12 13A的各阶顺序主子式为A11

=10,A22

1 -1 1 A-1 4 0 1 0 2 1 -1=30,A20A-1 4于任意一组不全为零的xx

都有fxx

0，故原不等式成立．1 2 3 1 2 3例11证明不等式n

X2i

X2成立．ii1 i1证明 令fn

X2i

Xi

XTAX，则二次型为i1

n1

1 1X1 fX,X,1 2

1 n,Xn

1 2， 1则

11 1

Xnn1 11 nA

111．1 1 1A的各阶顺序主子式A11

n10,A22

n1

1n

n22n0, A0，所以A是半正定的，那么二次型是半正定的，即f0在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解决.定义7[2]设n元实函数f(X)f(x,x, x1 2 n

)在X(x,x1 2

, ,xn

)TRn的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数．记 f(X)(X),(X), ,(X),称f(X)为函数fXX(xx1 2

, ,xn

)T处的梯度．

x1 2 n2f(X x22f(X) 1

2f(Xxx1 2

2f(X)xx 1 n定义8[2]H(X)

，此矩阵称为函数xxi j

nn

2f(X

2f(X

2f(X)xxn 1

xxn

x2 nf(X)f(x,x, x1 2

XRn处的(HessianHX是由fX的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵．定理9[2]fX

(x0x0, x0)T

为该函数的极值点，则

0 1 2 n 0X0

必为f(X)的稳定点，即f(X0

)0.若fXX0

的某领域UX0

存在连续二阶偏导数，则当fX0

为极小值时，fXX0

的黑塞矩阵为正定或正半定；则当fX0

fXX0

的黑塞矩阵为负定