2023年高考数学压轴题突破训练-数列(含详解)

高考数学压轴题突破训练：数列1.设函数．〔1〕假设在定义域内为单调函数，求的取值范围；〔2〕证明：①；②1.解：〔1〕∵在单调，∴≤０或≥０在恒成立，即或在恒成立，∴≤０或≥1．〔2〕①设=，那么，当时，=0当时，＞0∴递增，当时，＜0∴递减，∴∴=≤0即〔＞0〕②由①，又＞∴左边=≤右边∴原不等式成立2.，数列满足，。〔〕判断并证明函数的单调性；(2)数列满足，为的前项和。证明：<2.解：〔1〕≥0，仅当时，，故在R上单调递增。〔2〕为奇函数，,由〔1〕知当时，,即也就是在上恒成立。由得所以所以=3.数列的前项和为，假设，〔1〕证明数列为等差数列，并求其通项公式;〔2〕令，①当为何正整数值时，：②假设对一切正整数，总有，求的取值范围。3.解：〔1〕令，，即由∵，∴，即数列是以为首项、为公差的等差数列，∴〔2〕①，即②∵，又∵时，∴各项中数值最大为，∵对一切正整数，总有恒成立，因此4.数列中，，且是函数的一个极值点。〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设点Pn的坐标为，过函数图象上的点的切线始终与平行〔点O为坐标原点〕；求证：当时，不等式对成立。4.解：〔1〕∴∴∴，…∴，∴时，∴综上〔2〕由得∴∵，∴∴3.(2023年高考浙江卷理科19)〔此题总分值14分〕公差不为0的等差数列的首项(),设数列的前n项和为，且，，成等比数列〔Ⅰ〕求数列的通项公式及〔Ⅱ〕记，，当时，试比较与的大小.【解析】〔Ⅰ〕那么，〔Ⅱ〕因为，所以当时，即；所以当时，；当时，.5.，，数列满足，，．〔Ⅰ〕求证：数列是等比数列；〔Ⅱ〕当n取何值时，取最大值，并求出最大值；〔=3\*ROMANIII〕假设对任意恒成立，求实数的取值范围5.解：〔=1\*ROMANI〕∵，，，∴．即．又，可知对任何，，所以．∵，∴是以为首项，公比为的等比数列．〔=2\*ROMANII〕由〔=1\*ROMANI〕可知=〔〕．∴．．当n=7时，，；当n<7时，，；当n>7时，，．∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．〔=3\*ROMANIII〕由，得〔*〕依题意〔*〕式对任意恒成立，①当t=0时，〔*〕式显然不成立，因此t=0不合题意．②当t<0时，由，可知〔〕．而当m是偶数时，因此t<0不合题意．③当t>0时，由〔〕,∴∴．〔〕设〔〕∵=,∴．∴的最大值为．所以实数的取值范围是．6.函数．〔Ⅰ〕假设函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；〔Ⅱ〕假设函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，a1=4，求证：an2n+2；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．6.解：(1)，．要使函数f(x)在定义域内为单调函数，那么在内恒大于0或恒小于0，当在内恒成立；当要使恒成立，那么，解得，当恒成立，所以的取值范围为．〔2〕根据题意得：，于是，用数学归纳法证明如下：当，不等式成立；假设当时，不等式成立，即也成立，当时，，所以当，不等式也成立，综上得对所有时，都有．(3)由(2)得，于是，所以，累乘得：，所以7．〔2023•四川〕a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f〔n〕为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．〔Ⅰ〕用a和n表示f〔n〕；〔Ⅱ〕求对所有n都有成立的a的最小值；〔Ⅲ〕当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．考点圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用。766398专综合题。解答：解：〔Ⅰ〕∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A〔〕对求导得y′=﹣2x∴抛物线在点A处的切线方程为，∴∵f〔n〕为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f〔n〕=an；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f〔n〕=an，那么成立的充要条件是an≥2n3+1即知，an≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥当a=，n≥3时，an＞4n=〔1+3〕n≥1+=1+2n3+＞2n3+1当n=0，1，2时，∴a=时，对所有n都有成立∴a的最小值为；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知f〔k〕=ak，下面证明：首先证明：当0＜x＜1时，设函数g〔x〕=x〔x2﹣x〕+1，0＜x＜1，那么g′〔x〕=x〔x﹣〕当0＜x＜时，g′〔x〕＜0；当时，g′〔x〕＞0故函数g〔x〕在区间〔0，1〕上的最小值g〔x〕min=g〔〕=0∴当0＜x＜1时，g〔x〕≥0，∴由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此，从而=≥=＞=6.(2023年高考天津卷理科20)〔本小题总分值14分〕数列与满足：，，且．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕设，证明：是等比数列；〔Ⅲ〕设证明：．【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.〔Ⅰ〕解:由,,可得,又当n=1时,,由,,得;当n=2时,,可得.当n=3时,,可得.〔Ⅱ〕证明:对任意,,①,②,③②-③得④,将④代入①,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.〔III〕证明：由〔II〕可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由④式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意〔2023江西理数〕22.〔本小题总分值14分〕证明以下命题：对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得成等差数列。存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。〔1〕考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，那么，分解得：选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解比照目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m，n，假设△m，△相似：那么三边对应成比例，由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。〔2023安徽文数〕〔21〕〔本小题总分值13分)设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；〔Ⅱ〕设，求数列的前项和.【命题意图】此题考查等比列的根本知识，利用错位相减法求和等根本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】〔1〕求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；〔2〕利用〔1〕的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，假设数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.〔2023天津文数〕〔22〕〔本小题总分值14分〕在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.〔Ⅰ〕证明成等比数列；〔Ⅱ〕求数列的通项公式；〔Ⅲ〕记，证明.【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，总分值14分。〔I〕证明：由题设可知，，，，，。从而，所以，，成等比数列。〔II〕解：由题设可得所以.由，得，从而.所以数列的通项公式为或写为，。〔III〕证明：由〔II〕可知，，以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n=2m假设，那么，假设，那么.所以，从而当n为奇数时，设。所以，从而综合〔1〕和〔2〕可知，对任意有〔2023天津理数〕〔22〕〔本小题总分值14分〕在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。〔Ⅰ〕假设=，证明，，成等比数列〔〕〔Ⅱ〕假设对任意，，，成等比数列，其公比为。【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。总分值14分。〔Ⅰ〕证明：由题设，可得。所以==2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比数列。〔Ⅱ〕证法一：〔i〕证明：由成等差数列，及成等比数列，得当≠1时，可知≠1，k从而所以是等差数列，公差为1。〔Ⅱ〕证明：，，可得，从而=1.由〔Ⅰ〕有所以因此，以下分两种情况进行讨论：当n