《排列与组合》同步练习 全省一等奖

《排列与组合》同步练习一、选择题1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个 B．36个C．40个 D．60个解析：分两步完成：个位必为奇数，有Aeq\o\al(1,3)种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有Aeq\o\al(2,4)种选法．由分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(2,4)＝36(个)无重复数字的三位奇数．答案：B2．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有()A．3种 B．6种C．9种 D．12种解析：本题用排除法，甲、乙两人从A，B，C三个景点中各选两个游玩，共有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,3)＝9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种，选B.答案：B3．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现将下层8件中的2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同的调整种数是()A．420 B．560C．840 D．20160解析：从下层8件中取2件有Ceq\o\al(2,8)＝28种方法，将2件调整到上层，有5×6＝30种，所以不同的调整方法有28×30＝840(种)．答案：C4．某大学8名学生准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式有()A．24种 B．18种C．48种 D．36种解析：若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝12种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则2名同学来自一个年级，另外2名同学来自不同年级，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝12种，所以共有24种乘车方式，选A.答案：A5．(2022·重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168解析：先排歌舞类节目有Aeq\o\al(3,3)种方法，若小品类与相声类去插空时插两个位置，则有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝8种方法．若小品类与相声类去插空时插三个位置则有Aeq\o\al(3,3)×2＝12种方法，∴综合可知同类节目不相邻的有Aeq\o\al(3,3)(8＋12)＝120种方法．答案：B6．四棱锥的8条棱分别代表8种不同的国家级保护动物，有公共点的2条棱所代表的2种动物不能放在同一放养区，没有公共点的2条棱所代表的2种动物可以放在同一放养区．现打算用编号a，b，c，d的4个放养区来放养这8种动物，那么安全的放养方式有()A．96种 B．48种C．24种 D．100种解析：相交的两条棱所代表的2种动物不能放养在同一区域，如图，现设侧棱分别为1,2,3,4，底面上的边分别为5,6,7,8.由图分析可知，每个放养区可放2种动物，由图可知右下图中的对应是安全的．不妨设先将编号为1,2,3,4的动物放入放养区，有Aeq\o\al(4,4)种放法，然后从有1的开始：①若有1的放养区放5，则有2的放养区放6，且8只能放在含4的放养区中，那么7只能放在含有3的放养区中；②若有1的放养区放8，同理可知也只有1种放法，故放法有2种．∴安全的放养方式有2Aeq\o\al(4,4)＝48种．答案：B二、填空题7．有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方案的种数为________(用数字作答)．解析：首先把4名同学转化为3名同学，然后分给3个比赛项目，则每个比赛项目至少有一名同学参加，不同参加方案的种数有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，但要去掉甲同学参加跳舞比赛方案的种数有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝12，所以该比赛不同的参赛方案的种数有36－12＝24.答案：248．(2022·北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑A、B相邻，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48种方法，再排除A与B相邻，又满足A与C相邻的情况，共有Aeq\o\al(3,3)×2＝12种方法，综上，符合题意的摆放顺序共有48－12＝36种．答案：369．6人站一排照相，其中有甲、乙两人，则甲、乙两人之间间隔两人的排法有________种．解析：从除了甲、乙之外的4人中选两个人排在一起放在甲、乙中间则有Aeq\o\al(2,4)；甲、乙二人的排法：Aeq\o\al(2,2)，所以6人站在一排的所有的排法有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝4×3×2×3×2×1＝144(种)．答案：144三、解答题10．要从12人中选出5人去参加一项活动．(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？解：(1)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有Ceq\o\al(2,9)＝36种选法．(2)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有Ceq\o\al(1,3)种选法，再从余下的9人中选4人，有Ceq\o\al(4,9)种选法，所以共有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(4,9)＝378种选法．(3)可考虑间接法，从12人中选5人共有Ceq\o\al(5,12)种，再减去A，B，C三人都入选的情况有Ceq\o\al(2,9)种，所以共有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,9)＝756种选法．11．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)种测试方法，再排余下4件的测试位置，有Aeq\o\al(4,4)种测试方法．所以共有Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680种不同的测试方法．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有Aeq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(4,4)＝576种不同的测试方法．1．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A．50种 B．51种C．140种 D．141种解析：因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3，共4种情况，所以共有Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝141种，故选D.答案：D2．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为()A．36 B．72C．84 D．108解析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组有Aeq\o\al(3,3)＋4Aeq\o\al(3,3)种；②有二所医院分1人另一所医院分3人，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)种，故满足条件的分法共有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)－4Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＝90－6－24＋24＝84种．答案：C3．已知集合M＝{1,2,3,4,5,6}，集合A、B、C为M的非空子集，若∀x∈A、y∈B、z∈C，x<y<z恒成立，则称“A—B—C”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有________个．解析：若A、B、C共有三个元素，则Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,2)＝20.若A、B、C共有四个元素，则Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,3)＝45，若A、B、C共5个元素，则Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(2,4)＝36.若A、B、C共有6个元素，则Ceq\o\al(6,6)Ceq\o\al(2,5)＝10，则M的子集串共有20＋45＋36＋10＝111个．答案：1114．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)比21034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．解：(1)法1：可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12个五位数；当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；当末位数字是4，而首位数字是3时，有Aeq\o\al(3,3)＝6个五位数；故有39个满足条件的五位数．法2：不大于21034的偶数可分为三类：万位数字是1的偶数，有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18个五位数；万位数字是2，而千位数字是0的偶数，有Aeq\o\al(2,2)个五位数；还有一个为21034本身．而由0,1,2,3,4组成的五位偶数个数有Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝60个，故满足条件的五位偶数的个数为60－18－2－1＝39.(2)法1：可分为两类：末位数是0，个数有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4；末位数是2或