《离散型随机变量的均值与方差》同步练习（） 全市一等奖

《离散型随机变量的均值与方差》同步练习【高考再现】热点一、频率分布直方图的绘制与应用1．（2022年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望和方差.附:【解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为<,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为,由题意,,从而X的分布列为:2．（2022年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、、.(Ⅰ)求图中的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.3．（2022年高考（安徽理））甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则 （）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】选甲的成绩的方差为,乙的成绩的方差为【方法总结】频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．热点二、茎叶图的应用1．（2022年高考（陕西理））从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,,则热点三、离散型随机变量的均值与方差1．（2022年高考（上海理））设,.随机变量取值、、、、的概率均为,随机变量取值、、、、的概率也为.若记、分别为、的方差,则 （）A．>. B．=. C．<.D．与的大小关系与、、、的取值有关.[解析]=t,++++)=t,2．（2022年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:(Ⅲ)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.(3)的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故所以的分布列为024随机变量的数学期望.3．（2022年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).4．（2022年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(Ⅰ)求甲获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望综上知,有分布列123从而,(次)5．（2022年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-P=,解得P=4分所以,随机变量的概率分布列为:0123P故随机变量X的数学期望为:E=0.6．（2022年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.7．（2022年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分的分布列及数学期望.【解析】:(Ⅰ);(Ⅱ),X012345PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.8．（2022年高考（江西理））如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望.【解析】9．（2022年高考（江苏））两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.(1)求概率(2)求.两条棱平行,则它们的距离为1或距离为∴∴随机变量是:01∴10．（2022年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)302510结算时间(分钟/人)123已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2钟的概率.(注:将频率视为概率)【解析】(1)由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得的分布为X123PX的数学期望为.11．（2022年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量X工期延误天数02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为,,.求:(Ⅰ)工期延误天数的均值与方差;(Ⅱ)在降水量X至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率.所以的分布列为:0261012．（2022年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.(Ⅱ)由题意.;=;;所以13．（2022年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有道试题,其中有道类型试题和道类型试题,以表示两次调题工作完成后,试题库中类试题的数量.(Ⅰ)求的概率;(Ⅱ)设,求的分布列和均值(数学期望).【方法总结】正确求出分布列是求均值和方差的前提，有时善于使用公式，可简化计算。【考点剖析】一．明确要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2.了解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的应用.三．规律总结基础梳理1．频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)作频率分布直方图的步骤①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．②决定组距与组数．③将数据分组．④列频率分布表．⑤画频率分布直方图．(3)在频率分布直方图中，纵轴表示eq\f(频率,组距)，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.4．样本方差与标准差设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为eq\x\to(x)，(1)样本方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(2)样本标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).两个异同(1)众数、中位数与平均数的异同①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．②由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.③众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．④某些数据的变动对中位数可能没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．【基础练习】1.(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下：X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p则p为()\f(1,6)\f(1,3)\f(2,3)\f(1,2)2．（经典习题）抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是 ()A．2颗都是4点B．1颗是1点，另一颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点3．（经典习题）若随机变量X的分布列P(x＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1、2、3)，则P(x＝2)＝()\f(1,9)\f(1,6)\f(1,3)\f(1,4)4．（经典习题）设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝，那么n＝________.5．（经典习题）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为X0126.(人教A版教材习题改编)某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取8粒，量得直径分别为(单位：mm)：,,,,,,,，则估计该厂生产的滚珠直径的平均数为()．A．mmB．mmC．mmD．mm（经典习题）某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有()．A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆依次为和，那么（）（注：标准差，其中为的平均数）（A），（B），（C），（D），3.甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人全做错的概率是，已知乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率。设三人中做对这道题的人数为，则随机变量的数学期望．4.（宁波四中2022学年第一学期期末考试理）已知某随机变量的概率分布列如右表，其中，随机变量的方差，5．(北京市西城区2022届高三下学期二模试卷理)（本小题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．6．(河北唐山市2022届高三第三次模拟理)（本小题满分12分）金融机构对本市内随机抽取的20家微小企业的产业结构调整及生产经营情况进行评估，根据得分将企业评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，金融机构将根据等级对企业提供相应额度的资金支持。（1）在答题卡上作出频率分布直方图，并由此估计该市微小企业所获资金支持的均值；（2）从上述20家企业中随机抽抽取2家，设这2家企业获得资金支持的总额为X千万元，求X的分布列和均值E（X）。9．(襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)（本题满分12分)某科技公司遇到一个技术难题，成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励，已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为，（Ⅰ）设ξ为“攻关期满时获奖的攻关小组数”，求ξ的分布列及Eξ；（Ⅱ）设η为“攻关期满时的获奖小组数与没有获奖的攻关小组数差的平方”，记“函数在定义域内单调递减”为事件C，求事件C的概率。二．能力拔高1.【2022学年浙江省第二次五校联考理】甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制（即先胜3局者获胜）．若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为和，记需要比赛的场次为，则＝．4.(2022东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)（本小题满分13分）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数123参加人数51520（1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；（2）从40人中任选两名学生，用表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.6．(河北省唐山市2022—2022学年度高三年级第二次模拟考试理)（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值．7．(中原六校联谊2022年高三第一次联考理)（本小题满分12分）某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。8．(湖北省武汉市2022届高三下学期4月调研测试理)（本小题满分12分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．三．提升自我1.（2022年高三教学测试（二）理)甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为，则▲．2.（台州2022高三调研试卷理）3.(北京市东城区2022学年度第二学期高三综合练习（二）理)（本小题共13分）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时.（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望.5．(2022洛阳示范高中联考高三理)（本小题满