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《导数的计算》试题库第1组一、选择题1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则eq\f(Δy,Δx)为()A.Δx+eq\f(1,Δx)+2 B.Δx-eq\f(1,Δx)-2C.Δx+2 D.Δx-eq\f(1,Δx)+2解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2=(Δx)2+2·(Δx),∴eq\f(Δy,Δx)=Δx+2,选C.答案:C2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于()A.2 B.0C.-2 D.-4解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x∴f′(1)=2f∴f′(1)=-2,∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.故选D.答案:D3.(2022合肥模拟)函数y=x2cosx在x=1处的导数是()A.0 B.2cos1-sin1C.cos1-sin1 D.1解析:∵y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,∴在x=1处的导数为2cos1-sin1,故选B.答案:B4.(2022安庆模拟)设函数f(x)=ex+g(x).若曲线y=g(x)在点P(0,g(0))处的切线方程是y=2x+1,则曲线y=f(x)在点Q(0,f(0))处的切线方程是()A.y=2x+1 B.y=2x+3C.y=x+2 D.y=3x+2解析:由题意得g′(0)=2,g(0)=1,而f′(x)=ex+g′(x),∴f′(0)=e0+2=3,f(0)=e0+1=2,∴切点坐标为(0,2).∴切线方程为y-2=3(x-0),即y=3x+2.选D.答案:D5.(2022潍坊模拟)若曲线f(x)=x·sinx+1在x=eq\f(π,2)处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于()A.-2 B.-1C.1 D.2解析:f′(x)=sinx+xcosx,依题意,f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=1,且-eq\f(a,2)×1=-1,解得a=2,故选D.答案:D6.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)<1,则eq\f(b+1,a+1)的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5),\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,3)))∪(5,+∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),5)) D.(-∞,3)解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,由f(2a+b)<1=f(4),可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a+b<4,,a>0,,b>0,))画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),而eq\f(b+1,a+1)可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得选项C为所求.故选C.答案:C二、填空题7.设直线y=eq\f(1,2)x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为________.解析:由已知条件可得直线的斜率k=eq\f(1,2),y′=(lnx)′=eq\f(1,x)=eq\f(1,2),得切点的横坐标为x=2,切点坐标为(2,ln2).由点(2,ln2)在切线y=eq\f(1,2)x+b上可得b=ln2-eq\f(1,2)×2=ln2-1.答案:ln2-18.(2022芜湖市期末评价)如图所示,函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y=-x+5,则f(3)-f′(3)=________.解析:f(3)=2,f′(3)=-1,所以f(3)-f′(3)=3.答案:39.(2022黄山模拟)函数f(x)的导函数为f′(x),若对于定义域内任意x1、x2(x1≠x2),有eq\f(fx1-fx2,x1-x2)=f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,2)))恒成立,则称f(x)为恒均变函数.给出下列函数:①f(x)=2x+3;②f(x)=x2-2x+3;③f(x)=eq\f(1,x);④f(x)=ex;⑤f(x)=lnx.其中为恒均变函数的序号是________.(写出所有满足条件的函数的序号)解析:函数①是一次函数显然是恒均变函数;对函数②f′(x)=2x-2,所以有f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,2)))=2×eq\f(x1+x2,2)-2=x1+x2-2,又eq\f(fx1-fx2,x1-x2)=eq\f(x\o\al(2,1)-2x1-x\o\al(2,2)+2x2,x1-x2)=x1+x2-2,因此函数②是恒均变函数;对于函数③④⑤可以验证当x1=1,x2=3时等式均不成立.答案:①②10.已知直线l与曲线f(x)=x2+3x-2+lnx相切,则直线l的斜率的最小值为_______.解析:由导数的几何意义可知,曲线上任意一点P(x,y)处的切线l的斜率为f′(x)=2x+3+eq\f(1,x).因为x>0,所以2x+eq\f(1,x)≥2eq\r(2x×\f(1,x))=2eq\r(2)(当且仅当2x=eq\f(1,x),即x=eq\f(\r(2),2)时取等号),所以f′(x)=2x+3+eq\f(1,x)≥2eq\r(2)+3,即直线l的斜率的最小值为2eq\r(2)+3.答案:2eq\r(2)+3三、解答题11.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(eq\r(x)-2)2;(3)y=x-sineq\f(x,2)coseq\f(x,2);(4)设f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcosx.解:(1)法一y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.(2)∵y=(eq\r(x)-2)2=x-4eq\r(x)+4,∴y′=x′-(4eq\r(x))′+4′=1-4×eq\f(1,2)x-eq\f(1,2)=1-2x-eq\f(1,2).(3)∵y=x-sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)=x-eq\f(1,2)sinx,∴y′=x′-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))′=1-eq\f(1,2)cosx.(4)由已知f′(x)=[(ax+b)sinx+(cx+d)cosx]′=[(ax+b)sinx]′+[(cx+d)cosx]′=(ax+b)′sinx+(ax+b)(sinx)′+(cx+d)′cosx+(cx+d)(cosx)′=asinx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)sinx=(a-cx-d)sinx+(ax+b+c)cosx.∵f′(x)=xcosx,∴必须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-d-cx=0,,ax+b+c=x,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-d=0,,-c=0,,a=1,,b+c=0))⇒a=d=1,b=c=0.12.已知函数f(x)=eq\r(x)在x=eq\f(1,4)处的切线为l,直线g(x)=kx+eq\f(9,4)与l平行,求f(x)的图象上的点到直线g(x)的最短距离.解:因为f(x)=eq\r(x),所以f′(x)=eq\f(1,2\r(x)).所以切线l的斜率为k=f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))=1,切点为Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(1,2))).所以切线l的方程为x-y+eq\f(1,4)=0.因为切线l与直线g(x)=kx+eq\f(9,4)平行,所以k=1,即g(x)=x+eq\f(9,4).f(x)的图象上的点到直线g(x)=x+eq\f(9,4)的最短距离为切线l:x-y+eq\f(1,4)=0与直线x-y+eq\f(9,4)=0之间的距离,所以所求最短距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)-\f(1,4))),\r(2))=eq\r(2).第2组一、选择题1.(2022四川广元二诊)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,则容器中水面的高度h随时间t变化的函数图象可能是()解析:由三视图知容器为锥形漏斗,在向容器中匀速注水过程中,水升高得越来越慢,高度h随时间t的变化率越来越小,表现在切线上就是切线的斜率在减小,故选B.答案:B2.(2022广东惠州模拟)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,eq\f(π,4)],则点P横坐标的取值范围为()A.[-1,-eq\f(1,2)] B.[-1,0]C.[0,1] D.[eq\f(1,2),1]解析:设P(x0,y0),P点处切线倾斜角为α,则0≤tanα≤1,由f(x)=x2+2x+3,得f′(x)=2x+2,令0≤2x0+2≤1,得-1≤x0≤-eq\f(1,2).故选A.答案:A3.(2022东北三省三校联考)已知函数f(x)=eq\r(x)+1,g(x)=alnx,若在x=eq\f(1,4)处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行,则实数a的值为()\f(1,4) \f(1,2)C.1 D.4解析:在x=eq\f(1,4)处两函数图象的切线平行,即两个函数的导数值相等.由f′(x)=eq\f(1,2\r(x)),g′(x)=eq\f(a,x),所以eq\f(1,2\r(\f(1,4)))=eq\f(a,\f(1,4)),即1=4a得a=eq\f(1,4).答案:A4.函数f(x)=sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))的导数是()A.f′(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))B.f′(x)=4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))C.f′(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x+\f(2π,3)))D.f′(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x+\f(2π,3)))解析:由于f(x)=sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))=eq\f(1-cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x+\f(2π,3))),2)=eq\f(1,2)-eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x+\f(2π,3))),∴f′(x)=4×eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x+\f(2π,3)))=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x+\f(2π,3))),故选D.答案:D5.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0 B.x-y-1=0C.x+y+1=0 D.x-y+1=0解析:∵点(0,-1)不在f(x)=xlnx上,∴设切点为(x0,y0).又f′(x)=1+lnx,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0=x0lnx0,,y0+1=1+lnx0x0,))解得x0=1,y0=0.∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln1=1.∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.故选B.答案:B6.(2022河北保定一模)设函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α,则α等于()A.-cosα B.tanαC.sinα D.π解析:如图,若直线与函数有且仅有三个公共点,则直线y=kx与曲线y=-sinx(x∈[π,2π])相切,设切点为(α,-sinα),则-sinα=kα且k=-cosα,所以α=tanα.故选B.答案:B二、填空题7.(2022江西南昌模拟)已知函数f(x)=sinx+cosx,且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则eq\f(1+sin2x,cos2x-sin2x)=________.解析:f′(x)=cosx-sinx,由f′(x)=2f(x)得-cosx=3sinx即tanx=-eq\f(1,3).eq\f(1+sin2x,cos2x-sin2x)=eq\f(2sin2x+cos2x,cos2x-2sinxcosx)=eq\f(2tan2x+1,1-2tanx)=eq\f(\f(2,9)+1,1+\f(2,3))=eq\f(11,15).答案:eq\f(11,15)8.(2022广东江门调研)曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是________.解析:如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=lnx,则y′=eq\f(1,x)=2,得x=eq\f(1,2),y=ln(2×eq\f(1,2))=0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是(eq\f(1,2),0),y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即eq\f(1,\r(5))=eq\f(\r(5),5).答案:eq\f(\r(5),5)9.(2022山师大附中期末)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程为________________.解析:f′(x)=2f′(1)+eq\f(1,x),令x=1得f′(1)=2f′(1)+1,即f′(1)=-1,此时f(x)=-2x+lnx,f(1)=-2,故所求的切线方程为y+2=-(x-1),即x+y+1=0.答案:x+y+1=010.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)<1,则eq\f(b+1,a+1)的取值范围是________.解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,由f(2a+b)<1=f(4),可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a+b<4,,a>0,,b>0,))画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),而eq\f(b+1,a+1)可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得选项C为所求.答案:(eq\f(1,3),5)三、解答题11.设函数f(x)=ax+eq\f(1,x+b)(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.解:(1)f′(x)=a-eq\f(1,x+b2),于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a+\f(1,2+b)=3,,a-\f(1,2+b2)=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=-1,))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=\f(9,4),,b=-\f(8,3).))因a,b∈Z,故f(x)=x+eq\f(1,x-1).(2)在曲线上任取一点x0,x0+eq\f(1,x0-1).由f′(x0)=1-eq\f(1,x0-12)知,过此点的切线方程为y-eq\f(x\o\al(2,0)-x0+1,x0-1)=1-eq\f(1,x0-12)(x-x0).令x=1得y=eq\f(x0+1,x0-1),切线与直线x=1交点为1,eq\f(x0+1,x0-1).令y=x得y=2x0-1,切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为eq\f(1,2)eq\f(x0+1,x0-1)-1|2x0-1-1|=eq\f(1,2)eq\f(2,x0-1)|2x0-2|=2.所以,所围三角形的面积为定值2.12.(2022浙江永嘉县联合体第二学期联考)已知点M是曲线y=eq\f(1,3)x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,∴当x=2时,y′=-1,y=eq\f(5,3),∴斜率最小的切线过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(5,3))),斜率k=-1,∴切线方程为x+y-eq\f(11,3)=0.(2)由(1)得k≥-1,∴tanα≥-1,∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4),π)).第3组一、选择题1.(2022·黄冈模拟)已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f′()=()2.(2022·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=()(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2022·长春模拟)若函数f(x)=excosx,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为()(A)0 (B)锐角 (C)直角 (D)钝角4.(2022·武汉模拟)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()(A)3(B)2(C)1(D)5.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为()(A)2 (B)- (C)3 (D)-6.(2022·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于()(A)-1或 (B)-1或(C)-或 (D)-或7二、填空题7.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(2),则f′(5)=________.8.(2022·荆门模拟)若曲线f(x)=,g(x)=xα在点P(1,1)处的切线分别为l1,l2,且l1⊥l2,则α的值为____________.9.(能力挑战题)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是__________.三、解答题10.求下列各函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y=.11.已知曲线y=,(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程.(2)求曲线的斜率为4的切线方程.12.(能力挑战题)设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两条切线互相垂直.(1)求a,b之间的关系.(2)求ab的最大值.答案解析1.【解析】选D.因为f(x)=cosx,所以f′(x)=cosx-sinx,所以f(π)=,所以f(π)+f′()=.2.【解析】选′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】选D.由已知得:f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),∴f′(1)=e(cos1-sin1).∵>1>,而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f′(1)<0,即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率k<0,∴切线的倾斜角是钝角.4.【解析】选A.函数的定义域为(0,+∞),函数的导数为由得x2-x-6=0,解得x=3或x=-2(舍去).5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图象开口向上.又∵a≠0,∴其图象必为(3).由图象特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-.6.【思路点拨】先设出切点坐标,再根据导数的几何意义写出切线方程,最后由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x03),所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,解得a=,同理,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以选A.【方法技巧】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.7.【解析】对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.答案:68.【解析】所以在点P处切线的斜率分别为因为l1⊥l2,所以k1k2==-1,所以α=-2.答案:-29.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.【解析】由题意该函数的定义域为(0,+∞),且f′(x)=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f′(x)=2ax+存在零点的问题.方法一(图象法):再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点.当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).方法二(分离变量法):上述也可等价于方程2ax+=0在(0,+∞)内有解,显然可得a=∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=(x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=,∴y′=.(3)∵y==cosx-sinx,∴y′=-sinx-cosx.11.【解析】(1)∵点P(2,4)在曲线y=上,且y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′︱x=2=4,∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=x02=4,x0=±2,所以切点为(2,4),(-2,-),∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.(1)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)方法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1,∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又∵直线l过点(0,0),∴0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k=.又∵k=f′(x0)=3x02+1,∴=3x02+1,解得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x02+1=4,∴x0=±1,∴∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,设C1与C2的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直,∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4x02-2(a+2)x0+2a-1=0.①又点(x0,y0)在C1与C2上,故有∴2x02-(a+2)x0+2-b=0.②由①-②×2得,2a+2b=5,∴b=-a.(2)由(1)知:b=-a,∴ab=a(-a)=-(a-)2+,∴当a=时,(ab)最大=.第4组一、选择题1.(2022·泰安模拟)已知函数f(x)=asinx且f′(π)=2,则a的值为()(A)1 (B)2 (C) (D)-22.(2022·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=()(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2022·海口模拟)下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是()(A)f(x)=ex (B)f(x)=x3(C)f(x)=lnx (D)f(x)=sinx4.(2022·青岛模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()(A)2 (B)- (C)4 (D)-5.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为()(A)2 (B)- (C)3 (D)-6.(2022·莱芜模拟)已知点P在曲线上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()(A)(0,) (B)()(C)() (D)[)二、填空题7.如图,函数F(x)=f(x)+的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=_________.8.设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为___________.9.(能力挑战题)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.三、解答题10.求下列各函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y=e-xsin2x.11.已知曲线y=,(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程.(2)求曲线的斜率为4的切线方程.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.(1)求a的值.(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选D.因为f′(x)=acosx,所以f′(π)=acosπ=-a=2,所以a=-2,故选D.2.【解析】选′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】选D.设切点的横坐标为x1,x2,则存在无数对互相垂直的切线,即f′(x1)·f′(x2)=-1有无数对x1,x2使之成立,对于A由于f′(x)=ex>0,所以不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立;对于B由于f′(x)=3x2≥0,所以也不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立;对于C由于f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=>0;对于D,由于f′(x)=cosx,所以f′(x1)·f′(x2)=cosx1·cosx2,若x1=2mπ,m∈Z,x2=(2k+1)π,k∈Z,则f′(x1)·f′(x2)=-1恒成立.4.【解析】选C.因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图象开口向上.又∵a≠0,∴其图象必为(3).由图象特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-.6.【解析】选D.设t=ex∈(0,+∞),则∵,∴y′∈[-1,0),α∈[).7.【解析】F′(x)=f′(x)+x,由题意可知F′(5)=f′(5)+2=-1,∴f′(5)=-3.又点(5,3)在F(x)的图象上,∴f(5)+5=3,∴f(5)=-2,∴f(5)+f′(5)=-5.答案:-58.【解析】∵y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],∴0≤f′(x0)≤1,即0≤2ax0+b≤1.又∵a>0,∴≤x0≤,∴0≤x0+≤,即点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为[0,].答案:[0,]9.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.【解析】由题意该函数的定义域为(0,+∞),且f′(x)=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f′(x)=2ax+存在零点的问题.方法一(图象法):再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点.当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).方法二(分离变量法):上述也可等价于方程2ax+=0在(0,+∞)内有解,显然可得a=∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=,∴y′=.(3)y′=(-e-x)sin2x+e-x(cos2x)×2=e-x(2cos2x-sin2x).11.【解析】(1)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,x03+),则切线的斜率k=,∴切线方程为y-()=x02(x-x0),即y=x02·x-x03+.∵点P(2,4)在切线上,∴4=,即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(2)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=x02=4,x0=±2,所以切点为(2,4),(-2,-),∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13,∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x02+1=4,∴x0=±1,∴∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0,即3a-6-6a=0,∴a=-2.(2)存在.∵直线m恒过定点(0,9),直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3x02+6x0+12),∵g′(x0)=6x0+6,∴切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入,得x0=±1,当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.∴公切线是y=9.又令f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,∴公切线不是y=12x+9.综上所述公切线是y=9,此时k=0.第5组时间:45分钟分值:75分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=eq\f(1,x·ln2);③(ex)′=ex;④(eq\f(1,lnx))′=x;⑤(x·ex)′=ex+1.A.1 B.2C.3 D.4解析①(3x)′=3xln3;②(log2x)′=eq\f(1,xln2);③(ex)′=ex;④(eq\f(1,lnx))′=-eq\f(\f(1,x),lnx2)=-eq\f(1,x·lnx2);⑤(x·ex)′=ex+x·ex=ex(x+1),故选B.答案B2.(2022·云南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f(x)=ex+x2-x+sinx,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是()A.y=x+1 B.y=3x+2C.y=2x-1 D.y=-2x+3解析令x=0,解得f(0)=1.对f(x)求导,得f′(x)=ex+2x-1+cosx,令x=0,解得f′(0)=1,故切线方程为y=x+1.选A.答案A3.(2022·北大附中河南分校模拟)如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,eq\r(3)),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,3))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(π,2)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(2π,3))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),π))解析由题意可设f′(x)=a(x-1)2+eq\r(3)(a>0),即函数切线的斜率为k=f′(x)=a(x-1)2+eq\r(3)≥eq\r(3),即tanα≥eq\r(3),所以eq\f(π,3)≤α<eq\f(π,2),选B.答案B4.(2022·青岛一中模拟)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=3x+1 B.y=-3xC.y=-3x+1 D.y=3x-3解析函数的导数为f′(x)=3x2+2ax+(a-3),若f′(x)为偶函数,则a=0,∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3.∴f′(0)=-3,∴在原点处的切线方程为y=-3x,选B.答案B5.(2022·山西测试)已知函数f(x)=x3+ax2-2ax+3a2,且在f(x)的图象上点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距小于0,则aA.(-1,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3),1)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(2,3)))解析∵f′(x)=3x2+2ax-2a,∴f′(1)=3,又f(1)=1-a+3a2,∴在点(1,f(1))处的切线为y=3(x-1)+1-a+3a2,则可得3a2-a-2<0,解得-eq\f(2,3)<a答案C6.(2022·吉林联考)函数f(x)=sinx+2xf′(eq\f(π,3)),f′(x)为f(x)的导函数,令a=-eq\f(1,2),b=log32,则下列关系正确的是()A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b)C.f(a)=f(b) D.f(|a|)<f(b)解析∵f′(x)=cosx+2f′(eq\f(π,3)),∴f′(eq\f(π,3))=coseq\f(π,3)+2f′(eq\f(π,3)),f′(eq\f(π,3))=-eq\f(1,2),∴f′(x)=cosx-1≤0,f(x)单调递减.又∵a<b,∴f(a)>f(b).答案A二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.已知函数f(x)=f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx+cosx,则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))=________.解析f′(x)=f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))cosx-sinx,则x=eq\f(π,2),则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=-sineq\f(π,2)=-1,所以f(x=-sinx+cosx,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))=-sineq\f(π,4)+coseq\f(π,4)=0.答案08.若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.解析曲线f(x)=ax5+lnx存在垂直于y轴的切线,即f′(x)=0有解.又因为f′(x)=5ax4+eq\f(1,x),所以方程5ax4+eq\f(1,x)=0有解.所以5ax5=-1有解.又因为x>0,所以a<0.故实数a的取值范围是(-∞,0).答案(-∞,0)9.若对任意m∈R,直线x+y+m=0都不是曲线f(x)=eq\f(1,3)x3-ax的切线,则实数a的取值范围是________.解析直线x+y+m=0的斜率为-1,依题意得关于x的方程f′(x)=x2-a=-1没有实数解,因此,a-1<0,即a<1.答案(-∞,1)三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)10.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(eq\r(x)-2)2;(3)y=x-sineq\f(x,2)coseq\f(x,2);(4)y=eq\f(ln2x+3,x2+1).解(1)解法1:y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x2-3)=18x2-4x+9.解法2:∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.(2)∵y=(eq\r(x)-2)2=x-4eq\r(x)+4,∴y′=x′-(4eq\r(x))′+4′=1-4×eq\f(1,2)xeq\s\up15(-eq\f(1,2))=1-2xeq\s\up15(-eq\f(1,2)).(3)∵y=x-sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)=x-eq\f(1,2)sinx,∴y′=x′-(eq\f(1,2)sinx)′=1-eq\f(1,2)cosx.(4)y′=eq\f(ln2x+3′x2+1-ln2x+3x2+1′,x2+12)=eq\f(\f(2x+3′,2x+3)·x2+1-2xln2x+3,x2+12)=eq\f(2x2+1-2x2x+3ln2x+3,2x+3x2+12).11.已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标;(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.解(1)证明:由y=x3+x-2,得y′=3x2+1.由已知令3x2+1=4,解之得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为(-1,-4).(2)∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为-eq\f(1,4).∵l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),∴直线l的方程为y+4=-eq\f(1,4)(x+1),即x+4y+17=0.12.已知函数f(x)=x+eq\f(t,x)(t>0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM,PN,切点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).(1)求证:x1,x2为关于x的方程x2+2tx-t=0的两根;(2)设|MN|=g(t),求函数g(t)的表达式.解(1)证明:由题意,可知y1=x1+eq\f(t,x1),y2=x2+eq\f(t,x2).因为f′(x)=1-eq\f(t,x2),所以切线PM的方程为y-(x1+eq\f(t,x1))=(1-eq\f(t,x\o\al(2,1)))(x-x1).又切线PM过点P(1,0),所以0-(x1+eq\f(t,x1))=(1-eq\f(t,x\o\al(2,1)))(1-x1),即xeq\o\al(2,1)+2tx1-t=0.①同理,由切线PN也过点P(1,0),得xeq\o\al(2,2)+2tx2-t=0.②由①②,可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根.(2)由(1),知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1+x2=-2t,,x1·x2=-t.))|MN|=eq\r(x1-x22+x1+\f(t,x1)-x2-\f(t,x2)2)=eq\r([x1+x22-4x1x2][1+1-\f(t,x1x2)2])=eq\r(20t2+20t)所以g(t)=eq\r(20t2+20t)(t>0).第6组A级1.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)2.曲线y=eq\f(x,x+2)在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-23.在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于eq\f(π,4),且横、纵坐标都为整数的点的个数是()A.0 B.1C.2 D.34.已知曲线y=lnx在点P(1,0)处的切线为l,直线l′过点P且垂直于直线l,则直线l′与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.4 B.2C.1 \f(1,2)5.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0 B.x-y-1=0C.x+y+1=0 D.x-y+1=06.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值为________.7.已知函数f(x)=2xsinx,则当x=eq\f(π,2)时,其导函数的值为________.8.(2022·辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.9.(2022·宜昌模拟)已知函数f(x)=eq\f(1,3)x3+3xf′(0),则f′(1)等于________.10.求下列函数的导数:(1)y=ex·lnx;(2)y=xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2+\f(1,x)+\f(1,x3))).11.已知函数f(x)=eq\r(x),g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程,B级1.(2022·郑州模拟)若函数f(x)=cosx+2xf′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3)))与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的大小关系是()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) D.不确定2.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),则f1eq\a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2))))+f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))+…+f2012eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=________.3.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.答案:A级1.Cf′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a22.A因为y′=eq\f(2,x+22),所以,在点(-1,-1)处的切线斜率k=y′|x=-1=eq\f(2,-1+22)=2,所以,切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1,故选A.3.A依题意得,y′=3x2-9,令0≤y′<1得3≤x2<eq\f(10,3),显然满足该不等式的整数x不存在,因此在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于eq\f(π,4),且横、纵坐标都为整数的点的个数是0,选A.4.D由于f′(x)=eq\f(1,x),故f′(1)=1,则切线方程为y=x-1,故直线l′方程为y=-x+1,其在x,y轴上的截距分别为1,1故直线与坐标轴所围成三角形面积S=eq\f(1,2)×1×1=eq\f(1,2).5.Bf′(x)=lnx+1,x>0,设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,所以lnx0+1=eq\f(y0+1,x0),解得x0=1,y0=0,所以直线l的方程为x-y-1=0.6.解析:∵f′(x)=3ax2+6x,∴f′(-1)=3a-6=4,∴a=eq\f(10,3).答案:eq\f(10,3)7.解析:f′(x)=2sinx+2xcosx,∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=2sineq\f(π,2)+2·eq\f(π,2)·coseq\f(π,2)=2.答案:28.解析:因为y=eq\f(1,2)x2,所以y′=x,易知P(4,8),Q(-2,2),所以在P,Q两点处切线的斜率的值为4或-2.所以这两条切线的方程为l1:4x-y-8=0,l2:2x+y+2=0,将这两个方程联立方程组求得y=-4.答案:-49.解析:∵f′(x)=x2+3f∴f′(0)=0+3f′(0),即f∴f′(x)=x2,则有f′(1)=1.答案:110.解析:(1)y′=(ex·lnx)′=exlnx+ex·eq\f(1,x)=exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx+\f(1,x))).(2)∵y=x3+1+eq\f(1,x2),∴y′=3x2-eq\f(2,x3).11.解析:f′(x)=eq\f(1,2\r(x)),g′(x)=eq\f(a,x)(x>0),由已知得:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)=alnx,\f(1,2\r(x))=\f(a,x))),解得a=eq\f(1,2)e,x=e2.∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f′(e2)=eq\f(1,2e),所以切线的方程为y-e=eq\f(1,2e)(x-e2),即x-2ey+e2=0.B级1.C依题意得f′(x)=-sinx+2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))=-sineq\f(π,6)+2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))=eq\f(1,2),f′(x)=-sinx+1≥0,f(x)=cosx+x是R上的增函数,注意到-eq\f(π,3)<eq\f(π,3),于是有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).选C.2.解析:f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,f3(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,f4(x)=-cosx+sinx,f5(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x)又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,∴f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))+f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))+…+f2012eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))+f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))+f3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))+f4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=0.答案:03.解析:(1)由f(x)=x3-3x得f′(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0,∴所求的直线方程为y=-2.(2)设过P(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f′(x0)=3xeq\o\al(2,0)-3.又直线过(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示为eq\f(y0--2,x0-1)=eq\f(x\o\al(3,0)-3x0+2,x0-1),又eq\f(x\o\al(3,0)-3x0+2,x0-1)=3xeq\o\al(2,0)-3,即xeq\o\al(3,0)-3x0+2=3(xeq\o\al(2,0)-1)(x0-1),解得x0=1(舍去)或x0=-eq\f(1,2),故所求直线的斜率为k=3×(eq\f(1,4)-1)=-eq\f(9,4),∴y-(-2)=-eq\f(9,4)(x-1),即9x+4y-1=0.第7组一、选择题1.(2022·阳江模拟)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于()(A)e2(B)e(C)(D)ln22.已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则f2012(x)=()(A)-sinx-cosx(B)sinx-cosx(C)-sinx+cosx(D)sinx+cosx3.若函数f(x)=excosx,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为()(A)0(B)锐角(C)直角(D)钝角4.(2022·青岛模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()(A)2(B)-(C)4(D)-5.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为()(A)2(B)-(C)3(D)-6.(2022·茂名模拟)曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()二、填空题7.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(2),则f′(5)=_______.8.(2022·肇庆模拟)曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为_______.9.(能力挑战题)若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_______.三、解答题10.求下列各函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=(3)y=(4)y=e-xsin2x.11.已知曲线y=(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程.(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.(3)求曲线的斜率为4的切线方程.12.(能力挑战题)设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两条切线互相垂直.(1)求a,b之间的关系.(2)求ab的最大值.答案解析1.【解析】选B.因为f′(x)=lnx+x·=lnx+1,所以f′(x0)=lnx0+1,由lnx0+1=2得x0=e.2.【解析】选B.∵f1(x)=sinx+cosx,∴f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,∴f3(x)=f2′(x)=-sinx-cosx,∴f4(x)=f3′(x)=-cosx+sinx,∴f5(x)=f4′(x)=sinx+cosx,∴fn(x)是以4为周期的函数,∴f2012(x)=f4(x)=sinx-cosx,故选B.3.【解析】选D.由已知得:f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),∴f′(1)=e(cos1-sin1).∵>1>,而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f′(1)<0,即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率k<0,∴切线的倾斜角是钝角.4.【解析】选C.因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图象开口向上.又∵a≠0,∴其图象必为(3).由图象特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-.6.【解析】选′=x2+1,曲线在点(1,)处的切线斜率k=12+1=2,故曲线在点(1,)处的切线方程为y-=2(x-1).该切线与两坐标轴的交点分别是(,0),(0,-).故所求三角形的面积是:【方法技巧】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.7.【解析】对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.答案:68.【解析】y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y′min=3;当x=-1时,y=-5.∴斜率最小的切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.答案:3x-y-2=09.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.【解析】由题意可知f′(x)=3ax2+,又因为存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+=0⇒a=-(x>0)⇒a∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=∴y′=(3)∵y==cosx-sinx,∴y′=-sinx-cosx.(4)y′=(-e-x)sin2x+e-x(cos2x)×2=e-x(2cos2x-sin2x).11.【解析】(1)∵点P(2,4)在曲线y=上,且y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4,∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,),则切线的斜率k=y′|,∴切线方程为y-()=x02(x-x0),即y=∵点P(2,4)在切线上,∴4=即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=x=4,x0=±2,所以切点为(2,4),(-2,-),∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13,∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)方法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x+1,∴直线l的方程为y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16.又∵直线l过点(0,0),∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,整理得,x=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k=又∵k=f′(x0)=3x+1,∴=3x+1,解得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)∵切线与直线y=-x+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x+1=4,∴x0=±1,∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,设C1与C2的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直,∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4x-2(a+2)x0+2a-1=0.①又点(x0,y0)在C1与C2上,故有∴2x-(a+2)x0+2-b=0.②由①-②×2得,2a+2b=5,∴b=-a.(2)由(1)知:b=-a,∴ab=a(-a)=-(a-)2+,∴当a=时,(ab)最大=.第8组一、选择题1.函数y=cos(2x+1)的导数是()(A)y′=sin(2x+1) (B)y′=-2xsin(2x+1)(C)y′=-2sin(2x+1) (D)y′=2xsin(2x+1)2.(2022·茂名模拟)曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()(A) (B) (C) (D)3.(2022·阳江模拟)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于()(A)e2 (B)e (C) (D)ln24.(2022·肇庆模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()(A)2 (B)- (C)4 (D)-5.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为()(A)2 (B)- (C)3 (D)-6.(20
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