《随机信号分析》绪论 第1章 随机变量基础

?随机信号分析?绪论第1章随机变量根底

顾昕钰 副教授信息与通信工程学院先进网络技术实验室〔AdvancedNetworkTechnologyLab,ANTLab〕流量和用户行为识别分析，大数据处理车联网空间通信压缩感知和分布式视频处理5G2023/1/1222023/1/125课程学习的意义

例：通信系统中的随机信号处理噪声N信息V信号Y信号X信息U信源变换信道复原变换信宿移动通信

卫星通信

2023/1/126课程学习的意义

例：雷达系统中的随机信号处理内部噪声雷达干扰目标气象杂波地杂波影响雷达检测目标的因素目标回波2023/1/127课程学习目标通过本课程学习，掌握随机信号的根本概念、根本理论以及根本分析方法，为后续通信原理等课程的学习打好根底建立有关随机问题的思维方法和应有的知识水平；初步具有描述和分析研究应用中随机问题模型和统计特性的能力；建立进一步学习系统理论和阅读文献资料关于随机过程分析与处理的必要背景知识。2023/1/128课程定位通信工程、电子信息工程、信息工程等多个专业方向的重要专业根底课先修课程概率论与数理统计、线性代数、信号与系统后续课程通信原理、数字通信、移动通信原理、通信网根底，信息论等2023/1/129课程特点?信号与系统?与?随机信号分析?是两门主要的专业根底课，前者主要以分析确定性的信号与系统为主要内容，后者那么以分析随机信号以及与系统的相互作用为主要内容。随机信号分析是随机与信号分析的结合。随机性的分析运用概率论的理论；信号分析运用信号与系统理论，因此，本课程是概率论与信号与系统的结合。2023/1/1210参考资料?随机信号分析与处理?〔第2版〕，罗鹏飞，张文明编著，清华大学出版社，2021年3月?通信原理?〔第3版〕，周炯槃，庞沁华等编著，北京邮电大学出版社，2021年8月?概率、随机变量与随机过程?〔第4版〕，A.Papoulis等著，保铮等译，西安交通大学出版社，2004年9月2023/1/1211教学安排课程内容与教学安排绪论、随机变量根底：2-4学时随机过程：8-10学时随机过程的变换：10学时窄带随机过程：8学时考核方法平时+期末闭卷考试概率论的根本术语随机变量的定义及分布多维随机变量及分布随机变量的数字特征随机变量的函数多维正态随机变量第1章随机变量根底随机试验在相同条件下可重复进行试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确每次试验前不能确定会出现哪一个结果举例投掷硬币1.1概率论根本术语随机事件在随机试验中，对试验中可能出现也可能不出现、而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情，称为随机事件根本领件随机试验中最简单的随机事件成为根本领件样本空间随机试验𝐸的所有根本领件组成的集合称为样本空间，记为𝑆举例投掷骰子141.1概率论根本术语1.1概率论根本术语频数和频率在相同条件下的𝑛次重复试验中，事件A发生的次数𝑛A称为事件A的频数，比值𝑛A∕𝑛称为事件A发生的频率。概率概率是事件发生的可能性大小的度量。2023/1/1215定义：设随机试验𝐸的样本空间为𝑆={𝑒}，如果对于每一个𝑒∈𝑆，有一个实数𝑋(𝑒)与之对应，这样就得到一个定义在𝑆上的单值函数𝑋(𝑒)，称𝑋(𝑒)为随机变量，简记为𝑋。随机变量是定义在样本空间𝑆上的单值函数。举例：投掷硬币2023/1/12161.2随机变量的定义随机变量的分类连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量：取值为有限个或者可列无穷个离散型随机变量的概率分布概率分布律1.2随机变量的定义

X

x1

x2

...

xn

pk

p1

p2

...

pn

离散型随机变量常见分布(0,1)分布：随机变量的可能取值为0和1两个值二项式分布贝努里试验：设随机试验𝐸只有两种可能的结果，将𝐸独立地重复𝑛次，那么在𝑛次试验中事件A发生𝑚次的概率为2023/1/12181.2随机变量的定义离散型随机变量常见分布泊松分布1.2随机变量的定义分布函数设𝑋为随机变量,𝑥为任意实数,定义为𝑋的概率分布函数，简称分布函数。性质不减函数：

右连续：

2023/1/12201.3随机变量的分布函数与概率密度对于连续型随机变量，其分布函数是连续的:对离散型随机变量，分布函数是阶梯型的:阶梯的跳变点出现在随机变量的取值点上，跳变的高度为随机变量取该值的概率。分布函数表示为1.3随机变量的分布函数与概率密度1.3随机变量的分布函数与概率密度随机变量的概率密度随机变量𝑋的分布函数的导数定义为它的概率分布密度，记为𝑓(𝑥)性质非负函数：面积为1：常见分布：正态分布〔高斯分布〕：均值为𝜇，方差为𝜎^2标准正态分布：均值为0，方差为12023/1/12231.3随机变量的分布函数与概率密度

-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8常见分布：均匀分布1.3随机变量的分布函数与概率密度常见分布：瑞利分布1.3随机变量的分布函数与概率密度02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4＝2常见分布：指数分布1.3随机变量的分布函数与概率密度0123456700.511.5二维随机变量设随机试验𝐸的样本空间𝑆={𝑒}，𝑋=𝑋(𝑒)和

𝑌=𝑌(𝑒)是定义在样本空间𝑆上的两个随机变量，由𝑋和𝑌构成的矢量(𝑋,𝑌)称为二维随机变量。二维分布函数设(𝑋,𝑌)为二维随机变量，𝑥,𝑦为实数，定义为二维随机变量的分布函数2023/1/12271.4多维随机变量及分布二维分布函数性质

边缘分布：

落在某一区域的概率1.4多维随机变量及分布二维概率密度二维分布函数𝐹(𝑥,𝑦)的二阶偏导数性质非负函数

边缘概率密度落在某一区域的概率2023/1/12291.4多维随机变量及分布条件分布：设𝑋为一随机变量，𝐴是一随机事件，定义为𝑋在𝐴发生时的条件分布函数条件分布函数：令𝐴={𝑋=𝑥}条件概率密度：𝑋,𝑌统计独立：2023/1/12301.4多维随机变量及分布多维分布函数设有𝑛维随机变量(𝑋1,𝑋2,…,𝑋n

)，定义为𝑛维随机变量的𝑛维分布函数。性质2023/1/12311.4多维随机变量及分布多维概率密度假设𝑛维分布函数的𝑛阶混合偏导数存在，那么定义为𝑛维随机变量的𝑛维概率密度。多维条件概率密度对于𝑛维随机变量(𝑋1,𝑋2…,𝑋n)，在𝑋(k+1),𝑋(k+2),…,𝑋n2023/1/12321.4多维随机变量及分布1.5随机变量的数字特征均值〔数学期望〕随机变量X的均值离散型随机变量性质线性

X,Y不相关2023/1/1233方差定义：反映了随机变量的取值与其均值的偏离程度性质

独立随机变量：1.5随机变量的数字特征1.5随机变量的数字特征假设X是随机变量，a,b是任意确定实数，令Y=aX+b，那么

2023/1/1235协方差和相关系数：描述两个随机变量相互关系协方差：相关系数：，描述线性相关性相关系数性质：𝑋,𝑌不相关时：许瓦兹(Schwartz)不等式：2023/1/12361.5随机变量的数字特征矩：更高阶的数字特征𝑘阶原点矩：𝑘阶中心矩：混合矩：两个随机变量𝑋,𝑌𝑘+𝑙阶混合矩：𝑘+𝑙阶混合中心矩：2023/1/12371.5随机变量的数字特征定义：设有一实函数以及随机变量𝑋，定义一个新的随机变量，称随机变量𝑌是随机变量𝑋的函数。𝑋的统计特性，如何求𝑌的统计特性？2023/1/12381.6随机变量的函数一维随机变量函数的分布假设为单调连续函数，求导，得，雅可〔Jacco〕比对于任意单调函数：如果不是单调函数：其中…,1.6随机变量的函数多维随机变量的函数设有二维随机变量，其概率密度为

，二维随机变量：

当，单调时，1.6随机变量的函数随机变量函数的数字特征设随机变量𝑋和𝑌的函数关系为那么𝑌的数学期望为方差：2023/1/12411.6随机变量的函数一维正态随机变量二维正态随机变量：1.7多维正态随机变量二维正态随机变量性质如果𝑋1,𝑋2是联合正态的，那么𝑋1,𝑋2的边缘分布也是正态的。如果，即𝑋1,𝑋2是不相关的，那么2023/1/12431.7多维正态随机变量二维联合正态概率密度其中协方差矩阵行列式1.7多维正态随机变量定义：设有