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文档简介

§6.３实二次型的分类、

正定矩阵一、惯性定理二、正(负)定二次型的概念三、正(负)定二次型的判别四、小结1一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．

下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．2进一步，标准形的正平方项数（称为正惯性指标），负的平方项数（负惯性指标）唯一.3为正定二次型为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如4定义2

具有对称阵A的二次型矩阵A称为半正定(半负定)矩阵.则称二次型为半正定(半负定)二次型正定、负定、半正定、半负定统称为二次型及其矩阵的有定性。其它二次型及其矩阵称为不定的。5三、正(负)定二次型的判别推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．定理3设A为正定矩阵,若A与B合同,则B也是正定矩阵.类似可以证明:与负定矩阵合同的矩阵是负定矩阵.与半正定(半负定)矩阵合同的矩阵是半正定(半负定)矩阵.6任一对称阵合同于对角阵,而对角阵的有定性较易判别.7这个定理称为霍尔维茨定理．定理６

对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即8正定矩阵具有以下一些简单性质9例1

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.10例2

判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，112.

正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结

1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．

3.根据

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