逻辑学课程课件第六章模态逻辑

(逻辑学课程课件）第六章模态逻辑客观模态1.客观模态和主观模态主观模态客观模态是指客观事物本身的存在样式、情状和趋势等。例如“汽车的速度不可能超过光速”、“人类社会必然由野蛮、愚昧向文明进步”、“通货膨胀是经济发展过程中可能出现的现象”，所有这些命题所表达的都是客观存在的必然性和可能性，是客观事物在其发展过程中必定遵循的规律或可能显示出来的趋向，因而都表达客观模态。主观模态是指人的认识中的确定性或不确定性。例如，“地球上可能来过外星人”、“小王可能是贵州人”、“毛泽东必定是湖南人”，这些命题所表达的都是主观模态。因为地球上来过别的什么东西，小王是什么地方的人，毛泽东是什么地方的人，都是不可改变的客观事实，只是说话者对这些事实可能确实把握，也可能把握不准，于是才有对此确定性的断定或不确定的猜测，才有上述命题中的“可能”、“必定”等。因此，这些命题中的模态词只表示人们认识的确定性程度，表明说话者对该命题相信的程度，所以都是主观模态。2.逻辑模态和非逻辑模态逻辑模态非逻辑模态逻辑模态是指逻辑上的必然性和可能性。例如“X＝5或X5是必然的”、“太阳可能每天从西方升起”等命题中所表达的模态都是逻辑模态，前者反映了逻辑上的必然性，后者则反映了逻辑上的可能性。逻辑上的必然性是指，否定一个具有必然性的命题，必然会引起逻辑上的矛盾。例如，“X＝5或X5”是必然的，也就意味着否定“X＝5或X5”必然会导致逻辑上的矛盾，即出现“X＝5且X5”的矛盾情况。逻辑上的可能性是指逻辑上的不矛盾性，一切逻辑上不矛盾的东西都是可能的。非逻辑模态是指逻辑模态之外的模态，包括物理的模态、生物的模态、哲学的模态等。例如，“汽车的速度不可能超过光速”、“一个人不可能举起1万公斤的重物”、“任何事物的运动都必然是有规律的”，这些命题分别表达了物理的、生物的、哲学的等不同的非逻辑模态。之所以对非逻辑模态作出上述区分，主要是因为这些模态分别具有物理的、生物的、哲学的依据。否定一个具有非逻辑必然性的命题，最多与现有的理论或者看法相矛盾，不会如否定逻辑必然性命题那样引起逻辑上的矛盾。3.狭义模态和广义模态狭义模态广义模态狭义模态是关于必然性与可能性等这类性质的模态，又称为真性模态（AuthenticModality），是关于真的性质的模态。通常所说的模态逻辑是关于狭义模态的模态逻辑。广义模态是关于应该、允许、禁止等的道义模态，关于知道、相信等的认知模态，相应地有道义逻辑、认知逻辑等。模态广义模态狭义模态道义模态认知模态时间模态主观模态客观模态逻辑模态非逻辑模态三、模态命题及其特性模态命题语言形式内容命题是对事物情况的断定，如果这个断定中还含有模态的内容，那么就是模态命题，否则就是非模态命题。模态命题都含有模态词。模态命题反映了客观事物和人们认识的必然性、可能性、确定性。不确定性等。由于模态命题增加了这些非模态命题所没有的因素，因此导致了在直观上难以确定其真假，带来了模态命题的复杂性。模态词命题联结词模态词和命题联结词一样，都是由命题形成命题的算子，但是，这两者之间有一重要区别：后者是真值函项性的，而前者不是。这就是说，由各种命题联结词联结原子命题所形成的复合命题的真值，是由组成该命题的原子命题的真值所惟一决定的。但是，含有模态词的命题的真值并不由其中的非模态命题的真值所完全决定的。例如，根据“地球是圆的”这个命题的真假，我们不能确定地推知“地球必然是圆的”、“地球应该是圆的”等命题的真假。模态词的这一性质叫做非真值函项性，或者叫做内涵性。模态词的非真值函项性带来了模态命题的复杂性，即模态命题的真假需要通过建立可能世界语义学才能得到说明。四、模态命题形式模态命题形式模态推理形式逻辑学中所说的命题形式本质上是指命题的逻辑形式，即逻辑结构。同一个命题，不同的逻辑决定它有不同的命题形式。例如，命题“所有商品是有价值的”。单从命题逻辑来分析，其命题形式是“p”；如果从词项逻辑来分析，其命题形式就是“所有S是P”（S为主项，P为谓项）；如果从谓词逻辑来分析，其命题形式就是“x（SxPx）”（x为个体变项，S、P为谓词，为量词）。相应地，同一个模态命题，不同的逻辑决定它也有不同的命题形式。例如，模态命题“如果物体受到摩擦，那么它必然发热”（甲）。如果从经典命题逻辑来分析，其命题形式是“如果p，那么q”（乙）；但是如果从模态逻辑来分析，其命题形式就应该是“如果p，那么必然q”（丙）。这里，乙和丙都是模态命题甲的命题形式，但是对模态逻辑来说有意义的是丙而不是乙，丙称为命题的模态形式。一般地，对于任意命题，如果我们考虑到模态，并在有这部分内容时给出相应的形式表达，那么所得到的命题形式都是命题的模态形式，由非模态命题得到的命题形式也可以看作是命题的模态形式，即空模态形式。上述的乙一定不是命题甲的模态形式，因为它没有考虑到模态。所以，模态命题形式在本质上是指命题的模态形式。五、模态逻辑的范围第二节、模态命题及其推理一、基本模态命题及其符号化模态命题是真性模态命题的简称，它是反映事物存在的必然性和可能性等的命题。例如：

“经济过热必然导致通货膨胀”；“其他星球可能有人存在”。上述命题都是模态命题。模态命题包含“必然”、“可能”等模态词。其中，包含“必然”的模态命题叫必然命题，包含“可能”的模态命题叫可能命题。必然命题和可能命题都有肯定和否定的情况。所以，基本模态命题有4种，即必然肯定命题、必然否定命题、可能肯定命题和可能否定命题。基本模态命题必然命题可能命题必然肯定命题必然否定命题可能肯定命题可能否定命题必然肯定命题是断定事物情况必然存在的命题。例如，“生物体必然要进行新陈代谢”。其逻辑形式为：必然p。必然用符号“”表示，所以必然肯定命题写为：p。必然否定命题是断定事物情况必然不存在的命题。例如，“客观规律必然不以人的意志为转移”。其逻辑形式为：必然非p。必然否定命题写为：p。可能肯定命题是断定事物情况可能存在的命题。例如，“长期大量吸烟可能致癌”。其逻辑形式为：可能p。可能用符号“

”表示。所以可能肯定命题写为：

p。可能否定命题是断定事物情况可能不存在的命题。例如，“强盗的儿子可能不是强盗”。。其逻辑形式为：可能非p。所以可能否定命题写为：

p。二、复合模态命题和叠置模态命题对于基本模态命题来说，模态词只加在一个原子命题或其否定之上。其实，模态词还可以加在一复合命题之上，而且模态命题本身也可以用命题联结词，如：并非（）、析取（）、合取（）、蕴涵（）、等值（）等联结起来，构成更为复杂的命题。例如：（1）科学不可能是一个人的事业。（2）如果生物必然有死，那么生物不可能长生不死。（3）必然如果物体受到摩擦，那么它们就会生热。（4）液体沸腾的原因可能是温度升高，也可能是压力下降。符号化为（1）

p（2）

p

p（3）（pq）（4）

p

q

【叠置模态命题】是指对一个已含有模态词的命题再加上模态词。例如：（5）永动机不可能制造出来是必然的。（6）张三不可能必然是小偷。符号化为（1）

p（2）

p三、基本模态命题之间的对当关系具有相同素材即具有相同命题变项的4种基本模态命题

p、p、

p、

p之间在真假方面存在着必然的制约关系，即基本模态命题之间的真假对当关系。图：模态方阵图

pp

p

p反对关系下反对关系从属关系从属关系矛盾关系矛盾关系图：模态方阵图

pp

p

p反对关系下反对关系矛盾关系矛盾关系

pp矛盾关系从从属属从属从属从属从属四、基本模态命题推理根据矛盾关系（1）

p

p（2）

p

p（3）

p

p

（4）

p

p

根据从属关系（5）

p

p（6）p

p（7）p

p

（8）

p

p（9）

p

p

（10）

p

p（11）

pp

（12）

pp

根据反对关系（13）

p

p（14）

p

p根据下反对关系（15）

p

p

（16）

p

p在上述16个推理形式中，（1）、（3）、（5）、（6）、（7）可以被看成是最基本的。这些公式都被作为现代模态命题逻辑系统的特征公理或重要定理。关于等值式（1）、（2）可以分别看成是借助否定号对模态词和

的相互定义，可以分别用符号Df和Df

来称呼（Df是definition的缩写）。于是我们有（＝df的意思是“定义为”，相当于等值符号“”）：

Df：p=dfpDf

：p=dfpDf：p=df

ppDf：p=df

pp如果再用符号“”表示模态词“偶然”，则可借助于或来定义，称为Df。意思是：p是偶然的，当且仅当p不是必然的而且非p也不是必然的；或者，p是偶然的，当且仅当p是可能的而且非p也是可能的。关于蕴涵式（5）、（6）、（7）对于蕴涵式（5）、（6）、（7），模态逻辑中分别称为D、T、T

公式，这些公式在直观上都是成立的。D：

p

pT：p

pT：p

p

一般认为，（5）、（6）、（7）的逆在直观上是不成立的，这三个在直观上不成立的公式分别称为Dc、Tc、Tc，即

Dc：

p

p意思是，若p是可能的，那么p是必然的。即可能性就是必然性。T：

p

p意思是，若p是现实的，那么p是必然的。即凡是现实的都是必然的。T：

p

p意思是，若p是可能的，那么p是现实的。即凡是可能的都会变为现实。五、复合模态命题推理和叠置模态命题推理复合模态命题推理和叠置模态命题推理比较复杂，这里仅举一些主要的加以介绍。（pq）（pq）（1）该蕴涵式学被称为K公式。其意思是说，如果p蕴涵q是必然的，那么若p是必然的，那么q也是必然的。（（pq）p）q

（2）该蕴涵式是K公式的变形。其意思：若p蕴涵q是必然的，并且p是必然的，那么q也是必然的。（（pq）q）

p（3）该蕴涵式是说，如果p蕴涵q是必然的，并且非q是必然的，那么非p是必然的。（pq）（pq）（4）该等值式是对严格蕴涵模态词的定义。其意思是：p必然蕴涵q，当且仅当p蕴涵q是必然的。（pq）

（p

q）（5）该等值式是对必然蕴涵命题的定义。其意思是：p蕴涵q是必然的，当且仅当p真而q假是不可能的。该定义是现代模态逻辑创始人刘易斯，为避免经典命题逻辑中的实质蕴涵定义（即（pq）（p

q））所带来的实质蕴涵怪论（即（p（qp）或

p（p

q））而采用的。在此基础上，刘易斯构造了一系列的模态逻辑系统。（（p

q）（

q

p）（6）该等值式是对于的分配律。其意思是：一合取命题是必然的，当且仅当该合取命题的每个合取支也是必然的。

（p

q）（

p

q）（7）该等值式是

对于的分配律。其意思是：一析取命题是可能的，当且仅当该析取命题的每个析取支也是可能的。（p

q）

（pq）（8）该等值式是说，如果p是必然的或q是必然的，那么p或者q是必然的。

（p

q）（

q

p）（9）该蕴涵式的意思是说：如果p并且q是可能的，那么p是可能的并且q是可能的。（（p

q）p)

q）（10）该蕴涵式的意思是说：如果p或者q是必然的，并且非p是必然的，那么q是必然的。p

p（11）该公式称为4。其意思是说：如果p是必然的，那么必然q也是必然的。

p

p（12）该公式称为E。其意思是说：如果p是可能的，那么可能p就是必然的。p

p（13）该公式称为B。其意思是说：如果p是实然的，那么可能p就是必然的。六、直言模态对当关系推理直言模态对当关系推理是指，根据直言模态命题之间必然存在的真假对当关系来进行的推理。直言模态命题是指将“必然”、“可能”等模态词加到A、E、I、O等直言命题之上而形成的模态命题叫直言必然命题，把模态词“可能”加到A、E、I、O等直言命题之上而形成的模态命题称为直言可能命题。前者有4种，后者也有4种，共有8种。直言模态命题直言必然命题直言可能命题必然全称肯定命题，可记为：SAP必然全称否定命题，可记为：SEP必然特称肯定命题，可记为：SIP必然特称否定命题，可记为：SOP可能全称肯定命题，可记为：SAP可能全称否定命题，可记为：SEP可能特称肯定命题，可记为：SIP可能特称否定命题，可记为：SOP直言模态阵图SAPSEPSIPSOPSAPSEPSIPSOP有箭头的直线表示具有从属关系，无箭头的直线表示具有矛盾关系，虚线表示具有反对关系或下反对关系。SAPSEPSIPSOPSAPSEPSIPSOP根据直言模态命题之间的矛盾关系（1）SAPSOP（2）SEPSIP（3）SIPSEP（4）SOPSAP（5）

SAPSOP（6）

SEPSIP（7）

SIPSEP（8）

SOPSAPSAPSEPSIPSOPSAPSEPSIPSOP根据直言模态命题之间的从属关系（9）SAPSIP（10）SEPSOP（11）SAPSAP（12）SEPSEP（13）

SIPSIP（14）

SOPSOP（15）SAPSIP（16）SEPSOPSAPSEPSIPSOPSAPSEPSIPSOP根据直言模态命题之间的反对关系（17）SAPSEP（18）SEPSAPSAPSEPSIPSOPSAPSEPSIPSOP根据直言模态命题之间的下反对关系（19）

SIPSOP（18）

SOP

SIP七、模态命题的真值条件八、模态三段论模态三段论是以模态命题作前提或结论的三段论，它是亚里士多德仿照其直言三段论而建立的一套理论，精细而复杂。与直言三段论一样，模态三段论也依据对于命题的主谓式分析，即把作前提或结论的命题分解为主词、系词、谓词等成分，模态词修饰、限定主谓词的联系方式，因此都是事物模态。模态三段论的两个前提有以下五种组合方式。（1）两个都是必然前提；（2）一个必然前提，一个实然前提；（3）一个必然前提，一个可能前提；（4）一个实然前提，一个可能前提；（5）两个都是可能前提。这每一种前提组合都可以像直言三段论那样，形成不同的格（4个格），并得到不同的式。例如：（1）两个都是必然前提。例如：

一切绿色植物必然要进行光合作用。海藻类必然是绿色植物。所以，海藻类必然要进行光合作用。这是由两个必然前提组成的模态三段论的第一格AAA式，其形式是：

所有的M必然是P。所有S必然是M。

所以，所有S必然是P。

两个前提都为必然所形成的三段论与两个前提都为实然所形成的三段论是一样的，得结论和不得结论的情况也都相同。其惟一的区别就在于前者的结论要加上“必然”这个模态词。（2）一个必然前提，一个实然前提。例如：

所有的马必然不会爬树。所有的猴子都会爬树。所以，所有的猴子必然不是马。这是由一个必然前提、一个实然前提组成的模态三段论的第二格EAE式。（3）一个必然前提，一个可能前提。例如：

有些鸟必然不会飞。所有鸟可能都是有翅膀的动物。所以，有些有翅膀的动物可能不会飞。这是由一个必然前提、一个可能前提组成的模态三段论的第三格OAO式。（4）一个实然前提，一个可能前提。例如：

所有人都是用肺呼吸者。所有用肺呼吸者可能是吸入有害气体者。所以，有吸入有害气体者可能是人。这是由一个实然前提、一个可能前提组成的模态三段论的第四格AAI式。（5）两个都是可能前提。例如：

洪涝灾害可能使庄稼歉收。今年可能有洪涝灾害。所以，今年庄稼可能歉收。这是由两个可能前提组成的模态三段论的第一格AAA式。结论从弱原则由上可知，模态三段论有五种不同的前提组合，每种组合各有四个格，各个格又有众多可能的式，于是模态三段论有数目惊人的可能的式。那么，根据什么样的标准或规则去区分它的有效式与非有效式呢？人们通常依据所谓的“结论从弱原则”。就模态命题与实然命题的关系而言，必然命题蕴涵实然命题，实然命题蕴涵可能命题。因此，必然命题最强，实然命题次之，可能命题最弱。所谓结论从弱原则，就是模态三段论的结论不得强于前提中较弱的前提。强弱必然命题实然命题可能命题例如：灵长类动物必然有发达的大脑。食肉动物可能是灵长类动物。所以，食肉动物可能有发达的大脑。但结论从弱原则有例外情况存在，即在某些情形下不适用。当前提是由必然命题和实然命题构成时，就有以下例外情况：（1）当大前提是必然命题而小前提是肯定的实然命题时，结论可以是必然命题。例如：一切违背科学的东西必然要被抛弃。迷信是违背科学的东西。所以，迷信必然要被抛弃。（2）当小前提是必然否定命题时，尽管大前提是实然命题，结论仍可以是必然命题。例如：所有的水都是液体。所有的液体必然不是刚体。所以，所有的刚体必然不是水。判定一个模态三段论是否有效的规则（1）必须遵守直言三段论的一切规则。（2）如果两个前提都是必然命题，则结论可以是必然命题。（3）如果前提中有一可能命题，或两个前提都是可能前提，则结论只能是可能命题。（4）如果一个前提是必然命题，一个前提是实然命题，结论一般只能是实然命题；但当小前提是肯定命题而大前提是必然命题，或者小前提是必然否定命题时，结论可以是必然命题。凡符合上述四条规则的模态三段论都是有效的，而违反其中任何一条规则的模态三段论都是无效的。不过，模态三段论还可以有其他规则，例如，亚里士多德曾为模态三段论前提的五种组合的前三个格分别制定过规则。第三节、道义命题及其推理一、道义模态逻辑与基本道义命题道义模态逻辑道义模态逻辑主要研究道义模态命题及其推理。真性模态逻辑又叫狭义模态逻辑或标准模态逻辑，道义模态逻辑则是一种广义模态逻辑或非标准模态逻辑。如果说真性模态逻辑是一种理论逻辑，则道义模态逻辑就是一种行动逻辑、实践逻辑，因为它是支配人们的实践、行动和行为的。在人们的实际生活中，存在着各种各样的道德规范、法律规范、政治规范、礼仪规范、纪律规范等，这些规范对每一个人的现实生活起到有形的或无形的约束作用。道义模态逻辑正是关于这些实际领域的逻辑分支。道义词道义（deontic），又叫义务、规范。道义命题是在一定情况下给人们的行为提出某种命令或规定的命题。它包括“必须”、“允许”、“禁止”等道义模态词，简称道义词。例如，“公民必须遵守法律”，“允许自由恋爱”，“禁止买卖婚姻”等，都是道义模态命题。道义模态命题道义模态命题是一种用来约束人们行为的规范命题，它不同于陈述客观事实、事态的命题。因此，把道义模态命题用于刻画某些陈述客观事实、事态的命题是没有意义的，例如，“今天必须是星期三”，“允许有些玫瑰是红色的”等。根据所包含的道义词的不同，可以把道义命题分为必须命题、允许命题和禁止命题。包含道义模态词“必须”的命题叫必须命题（又称义务命题），包含“允许”的道义命题叫允许命题，包含“禁止”的道义命题叫禁止命题。每一种道义命题都有肯定的和否定的情况，所以，基本的道义命题有六种。道义模态命题的种类基本道义命题必须命题允许命题禁止命题必须肯定命题，用O（obligation）表示必须，即Op。必须否定命题，写为Op。允许肯定命题，用P（permission）表示允许，即Pp。允许否定命题，写为Pp。禁止肯定命题，用F（forbiddance）表示禁止，即Fp。禁止否定命题，写为Fp。上述6种道义命题形式中，禁止命题与必须命题、禁止命题与允许命题之间存在着如下的等价关系：

FpOp，即“禁止p”等价于“必须非p”。FpOp，即“禁止非p”等价于“必须p”。FpPp，即“禁止p”等价于“不允许p”。FpPp，即“禁止非p”等价于“不允许非p”。

禁止做某种事情的意思，就是必须不做某种事情，也就是不允许做某种事情；禁止不做某种事情的意思，就是必须做某种事情，也就是不允许不做某种事情。因此，6种基本道义命题可以归结为4种基本道义命题，即Op、Op、Pp、Pp。二、复合道义命题及其符号化在基本道义命题的基础上，我们可以通过引入复合道义命题联结词，从而构造出更加复杂的道义命题。例如：（1）允许人犯错误，也允许人改正改正错误。（2）如果故意犯罪，则应负刑事责任。上述命题可以分别符号化为：（1）PpPq（2）POq

上述命题（2）中，联结词“如果……那么应该”表达的是“承诺”，又称为条件性义务，即做某件事使得某人应该去做另一件事。我们还可以通过把道义命题与模态命题结合起来，从而构造出既含道义词又含模态词的复杂命题。例如：（3）如果客人必然要来，那么我们必须做好准备。（4）如果我们该行某事，那么我们能行某事。上述命题可以符号化为：（3）pOq（4）Opq

公式（4）被称为“康德原则”。它的意思是，凡是应该做的事情都是能够做的。三、基本道义命题推理道义方阵图OpOpPpPp反对关系下反对关系从属关系从属关系矛盾矛盾关系关系根据矛盾关系（1）OpPp（2）OpPp（3）PpOp（4）PpOp根据反对关系（5）OpOp（6）OpOp根据下反对关系（7）Pp

Pp（8）PpPp根据从属关系（9）OpPp（2）OpPp（3）PpOp（4）PpOp四、复合道义命题推理复合道义命题推理比较复杂，这里仅举部分主要的加以说明。（1）O（pq）（OpOq）这是道义逻辑的一条公理，其意思是说，如果p蕴涵q是必须的，那么若p是必须的，则q就是必须的。例如，从“如果你要出国那么你学好外语，这是必须的”可以推出“如果你要出国是必须