3推理与证明新定义-备战2018高考十年高考数学分项全景展现高考命题规律(上海专版)含解析

学必求其心得，业必贵于专精第十三章推理与证明、新定义一．基础题组1。【2011上海,理14】已知点O（0,0）、Q0(0，1)和点R0(3,1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条,记其端点为Q1、R1，使之满足（｜OQ1|－2)（|OR1｜2)＜0,记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2,使之满足(|OQ2|－2)（｜OR2｜－2）＜0，依次下去，获取

P1，P2，,Pn,

，则limQ0Pnn

______。【答案】3【解析】学必求其心得，业必贵于专精2。(2009上海,理13）某地街道表现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道订交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点（—2，2），(3，1），（3,4),（—2，3），(4，5),（6，6）为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为刊行站,使6个零售点沿街道到刊行站之间行程的和最短.【答案】（3，3）【解析】设确定的格点为（x,y)，由题意知确定的格点到已知的6个格点行程的和最短，即为x，y分别到6个格点的横。纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由学必求其心得，业必贵于专精小到大排列为-2,—2，3,3，4，6，因此x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为（3，3）。3。【2008上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、的定圆所围成的地域（含界线），A、B、C、D是该圆的四均分点．若点P(x，y)、点P(x，y)满足xx且yy，则称P优于P．若是中的点Q满足：不存在中的其余点优于Q，那么所有这样的点Q组成的会集是劣弧（）Ａ．ABB．BCC．CDD．DA【答案】D【2007上海,理9】若a,b为非零实数,则以下四个命题学必求其心得，业必贵于专精都建立：①a10②aba22abb2③若ab,则ab2a④若a2ab，则ab。则关于任意非零复数a,b,上述命题依旧建立的序号是_____。5。【2006上海,理10】若是一条直线与一个平面垂直,那么，称此直线与平面组成一个“正交线面对"．在一个正方体中，由两个极点确定的直线与含有四个极点的平面组成的“正交线面对”的个数是．【答案】36【解析】若是一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面组成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个极点确定的直线与含有四个极点的平面组成的“正交线面对”，分状况谈论：①关于每一条棱，都可以与两个侧面组成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个；②关于每一条面对角线,都可以与一个对角面组成“正交线面对"，这样的“正交线面对”有12个；因此正方体中“正交线面对”共有36学必求其心得，业必贵于专精个．【2006上海,文12】如图，平面中两条直线l1和l2订交于点O，关于平面上任意一点M，若p,q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对p,q是点M的“距离坐标"，依照上述定义，“距离坐标”是1，2）的点的个数是____________。【答案】4【2005上海,文16】用n个不相同的实数a1,a2,,an可获取n!个不相同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵。对第i行ai1,ai2,,ain，记biai12ai23ai3(1)nnain，i1,2,3,,n!.比方：用1，2，可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，因此,b1b2b61221231224,那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中,b1b2b120学必求其心得，业必贵于专精等于（）A．—3600B．1800C．—1080D．—720【答案】－1080【解析】在用1,2，3，4，5形成的数阵中,每一列各数之和都是360,b1b2b12036023603360436053601080二．能力题组【2010上海,理22】(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分10分.若实数x、y、m满足xmym，则称x比y远离m.1）若x21比1远离0，求x的取值范围；2）对任意两个不相等的正数a、b,证明：a3b3比a2bab2远离2abab；（3)已知函数k,kZ,xR.任取f(x)的定义域Dx|x24D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明）.【答案】（1）（2）(3）学必求其心得，业必贵于专精sinx,x(k,k3)（3)f(x)44，cosx,x(k,k)44性质：1f（x)是偶函数,图像关于y轴对称，2f(x）是周期函数,最小正周期T2，3函数f(x）在区间(k,k]单调递加,在区间[k,k)单242224调递减，kZ，4函数f(x）的值域为(2,1]．2【谈论】本题给人耳目一新的感觉,问题的表述比较陌生，提问方式奇特,考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真解析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合。【2006上海,理16】如图,平面中两条直线l1和l2订交于点O，关于平面上任意一点

M,若

p、q分别是

M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（

p，q）是点

M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出以下命题：①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅学必求其心得，业必贵于专精有1个;②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q）的点有且仅有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有个．上述命题中，正确命题的个数是（）（A）0；(B）1；（C）2;（D）3．【答案】D②若pq＝0，且p＋q≠0，则p与q中有一个为0，另一个不为0，“距离坐标”为（p，q）的点可以在直线l1或直线l2上，比方（p,q）=（0，1),则点M在直线l2上，且到O点距离为1，这样的点有2个，命题②正确；③若pq≠0，则p≠0，q≠0，“距离坐标”为（p,q）的点在两条直线订交而成的四个地域内，这样的点有且仅学必求其心得，业必贵于专精有4个．正确上述命题中,正确命题的个数是3个,选D。10。【2005上海，理22】（本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在直角坐标平面中，已知点P1(1,2)，P2(2,22),P3(3,23)，，Pn(n,2n)，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P的对称点，A为A关于点P的对称点，，A为1212nAn1关于点Pn的对称点．1）求向量A0A2的坐标；（2）当点A0在曲线C上搬动时，点A2的轨迹是函数f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x0,3时，f(x)lgx，求以曲线C为图象的函数在1,4的解析式；(3）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标【答案】（1）（2，4）;(2）g(x)lg(x1)4;（3）(n,4(2n1))3因此,基线C是函数yg(x)的图象，其中g(x)是以3为周学必求其心得，业必贵于专精期的周期函数，且当x(2,1]时,g(x)lg(x2)4,于是,当x(1,4]时,g(x)lg(x1)4.设A0(x,y),A2(x2,y2),于是x2x2y2y4若3x26,则0x233,于是f(x2)f(x23)lg(x23).当1x4时,则3x26.y4lg(x1),当x(1,4]时,g(x)lg(x1)4。（3）A0AnA0A2A2A4An2An由于A2k2A2k2P2k1P2k,得A0An2(P1P2P3P4Pn1Pn)，2((1,2)(1,23)(1,2n1))2(n,2(2n1))(n,4(2n1)).233三．拔高题组【2015高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。关于定义域为R的函数gx，若存在正常数，使得cosgx是认为周期的函数，则称gx为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知fx是认为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R。设fx单调递加，f00,f4.（1）考据hxxsinx是以6为周期的余弦周期函数；3（2)设ab．证明对任意cfa,fb,存在x0a,b,使得fx0c;3）证明：“u0为方程cosfx1在0,上得解”的充要条件是“u0为方程cosfx1在,2上有解"，并证明学必求其心得，业必贵于专精对任意x0,都有fxfxf。【答案】(1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析(2）由于fx的值域为R，因此对任意cfa,fb，c都是一个函数值，即有x0R，使得fx0c。若x0a，则由fx单调递加获取cfx0fa，与矛盾,因此。同理可证故存在cfa,fbx0ax0b.x0a,b使得fx0c.(3）若u0为cosfx1在0,上的解，则cosfu01，且u0,2，cosfu0cosfu01，即u0为方程cosfx1在,2上的解。同理，若u0为方程cosfx1在,2上的解，则u0为该方程在0,上的解。以下证明最后一部分结论。由（2）所证知存在0x0x1x2x3x4，使得fxii,i0,1，2，3,4.而xi,xi1是函数cosfx的单调区间，i0，1，2,3.学必求其心得，业必贵于专精与从前近似地可以证明：u0是cosfx1在0,上的解当且仅当u0是cosfx1在,2上的解.从而cosfx1在0,与,2上的解的个数相同。故fxifxi4，i0,1，2，3，4.关于x0,x1,fx0,，fx4,5，而cosfxcosfx，故fxfx4fxf.近似地，当xxi,xi1，i1，2，3时，有fxfxf.结论建立。【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先察看对定义的理解，这时只需一一考据定义中各个条件即可。二是察看满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧"性质，此时需结合新函数的新性质，研究“旧”性质。三是察看综合解析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质,创立性证明更新的性质。【2014上海，理22】(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。在平面直角坐标系xoy中,关于直线l：axbyc0和点Pi(x1,y1),P2(x2,y2),记（ax1by1c)(ax2by2c).若<0,则称点P1,P2被直线l分开。学必求其心得，业必贵于专精若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线l分开，则称直线l为曲线C的一条分开线。⑴求证：点A（1,2），B（1，0）被直线xy10分开；⑵若直线ykx是曲线x24y21的分开线，求实数k的取值范围；⑶动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证:经过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的切割线.【答案】(1)证明见解析；（2）k(,1][1,)；（3）证22明见解析。【解析】二次项系数为0和不为0分类，尔后在曲线上找到两点位于直线ykx的两侧．则可获取所求范围；（3）第一求出轨迹E的方程x2(y2)2x1，化简为x2(y2)21x2，过原点的直线中，当斜率存在时设其方程为ykx，尔后解方程组x2(y2)21，变形为(1k2)x24kx4x2，这个方程x21ykx有无实数解，直接判断不方便，可转变成判断函数学必求其心得，业必贵于专精F(x)(1k2)x24kx4与G(x)x12的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断．yF(x)是张口方向向上的二次函数，G(x)是幂函数，其图象必然有交点,因此直线ykx不是E的分开线，过原点的直线还有一条就是x0，它显然与曲线E无交点,又曲线E上两点(1,2),(1,2)必然在直线x0两侧，故它是分开线，结论得证．试题解析：（1）由题得,2(2)0，∴A(1,2),B(1,0)被直线xy10分开.又对任意的k(,1][1,)，点(1,0)和(1,0)在曲线x22y2122上，满足k20，被直线ykx分开,因此所求k的范围是(,1][1,)．22（3）由题得，设M(x,y)，∴x2(y2)2x1,化简得，点M的轨迹方程为[x2(y2)2]x21①当过原点的直线斜率存在时，设方程为ykx.联立方程，[x2(y2)2]x2121)x434x210。(k4kxykx令F(x)(k21)x44kx34x21,由于F(0)F(2)(1)[16(k1)215]0，学必求其心得，业必贵于专精因此方程F(x)0有实解，直线ykx与曲线E有交点．直线kx不是曲线E的分开线．②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为x0。显然x0与曲线[x2(y2)2]x21没有交点，又曲线E上的两点(1,2),(1,2)关于直线x0满足110,即点(1,2),(1,2)被直线x0分开．因此直线x0是E分开线．综上所述，仅存在一条直线x0是E的切割线.【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.13。【2011上海，理23】已知平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)．1)求点P（1，1)到线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5）的距离d（P,l）；(2)设l是长为2的线段，求点的会集D＝{P｜（dP,l)≤1}所表示的图形面积;(3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的会集Ω＝{P|dP，l1）＝d（P，