第四章 方程与不等式

第四章方程与不等式

方程与公式求解第一讲说说方程为了通过某些已知量与未知量的关系而求出未知量。讨论定量这类问题时，往往可以通过建立方程、求解方程，获得问题的解决。陈省身：数学有“好”数学和“不大好”的数学之分，方程，是“好”的数学的代表。方程的早期发展希腊数学家Diophantine《算术》讨论了一次、二次和个别的三次方程、不定方程、引入了未知数和未知数的符号、方程的思想，但没有给出一元二次方程的解法古希腊、印度、中国数学家给出过一些一元二次方程的解法或一个根的公式阿拉伯数学家花拉子模在九世纪时给出了一元二次方程的一般解法中国数学家在13、14世纪在求高次方程数值解和解高次联立方程上有重大贡献十六世纪，意大利数学家丰塔纳（塔尔塔利亚，意为口吃者）等人找到了一元三次方程的一般解法方程的科学价值许多数学的进步是随着方程研究发展而发展的字母表示数代数学对于方程x2+1=0和三次方程根的讨论复数用变量的观点来讨论方程时，就蕴含了函数的思想研究高次方程的解法伽罗华理论，关于群、环、域的近世代数研究多元一次方程组矩阵理论，线性代数方程与微积分结合微分方程和积分方程Newton说：要想解一个有关数量的问题，只要把问题里的日常语言翻译成代数语言就成了。

通过已知数量求未知数量，通过已知的前提推证未知的结论，这是科学的基本任务，也是方程的基本内容运用方程思想解决问题陈振宣老师的一个学生在和平饭店做电工。发现12楼客房的室温与地下室设定的温度有差异，他怀疑是地下室到12楼空调器的三根导线不一样长，造成电阻不同。但距离如此远，如何测知它们的电阻？xyz方程的界定方程是含有未知数的等式好！简明，易懂，直观不好！x－x＝0是不是方程？，x2=x2是不是？方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系形如f(x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn)的等式叫做方程，其中f与g是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。探求一元三次方程的解法比较简单的情况：1．解方程x3=1。

∵x3-1=(x-1)(x2+x+1)∴(x-1)(x2+x+1)=0，∴x1=1，x2==ω

，x3==ω2

。三次方程的单位根。2．解方程x3=a。方程可化为=1。于是x=ωi（i=0，1，2）是原方程的三个根。十六世纪的欧洲盛行这样一种数学竞赛：某甲因为认为某乙数学水平高，向其学习，或对其不服，想压倒他等等原因，就会向某乙提出挑战，如果某乙应战，就约好日期，公开举行竞赛。意大利数学家费罗发现了缺二次项的三次方程x3+px=q的解法，他将解法秘传给学生菲奥尔。丰塔纳则求出了缺一次项的一元三次方程x3+mx2=n的一般解法，得出正实根，他们都没有公开发表。菲奥尔听说丰塔纳也会解一元三次方程，就向他挑战，丰塔纳接受挑战，并在公开竞赛前找出了缺二次项的三次方程的解法。结果，丰塔纳解出了菲奥尔给出的所有30道缺二次项的三次方程，而对丰塔纳给出的30道缺一次项的方程菲奥尔却一个也没有解出来！哪个难？可以转化吗？3．解方程x3+ax+b=0。将方程变形为可以求解的二次方程的形式。为此，将x分拆成两个未知数，令x=u+v，代入得到

u3+v3+3u2v+3uv2+a(u+v)+b=0，u3+v3+b+(3uv+a)(u+v)=0。只要u3+v3+b=0，3uv+a=0，便保证了x=u+v是原方程的根。即

由二次方程根与系数的关系，u3、v3满足一元二次方程27x2+27bx-a3=0，可求解。

降次升元设法求u3和v3已知两根之和与之积，求两根u3==A，v3==B。u、v各有三个值，设u0，v0各是一值，则另外两个值分别为u0ω，u0ω2；v0ω，v0ω2。由于uv=，所以u、v共有三组值

所以原方程的三个根是

x1=+，x2=ω+ω2，x3=ω2+ω。Δ=叫做方程x3+ax+b=0的判别式。4.一般一元三次方程的解法ax3+bx2+cx+d=0,(a不为0)

通过平移，均可变换成不含二次项的y3+py+q=0令x=y+k,代入，展开并整理得

不含二次项！例：解方程2x3-6x2+12x-11=0先令x=y+1,变换成y3+3y-3/2=0一元四次方程的解法也类似，先经平移，变换为不含二次项的缺项的四次方程，再令y=u+v+w,u2,v2,w2是一个三次方程的根，得解。十九世纪二十年代，挪威数学家阿贝尔认识到一般的四次以上方程没有根式解，但在什么条件下可解，在什么情况下不可解，还是不得而知。五次及五次以上代数方程无求根公式大约过了十年，法国年轻的数学家Galois利用根的置换群的概念给出了方程可根式求解的判别准则，用该准则可以得出一般五次及五次以上方程不能用根式求解。《抽象代数》代数基本定理：任意一元n次方程有n个复数根《复变函数》例已知方程x4+x3+x2-4x-20=0的四个根中，有两个根的绝对值相等，符号相反，解这个方程。f(x)=0与f(-x)=0有公共根，求f(x)与f(-x)的最大公因式或者n次方程根与系数的关系二次方程x2+px+q=0的两个根x1,x2,则

x1+x2=-p,x1x2=q如何证得的？n次方程xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0在复数域内的n个根，

xn+a1xn-1+…+an-1x+an=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)

展开，比较各项系数，可得不定方程变元数多于方程数时，解的个数往往无限多，呈不确定状态。不定方程ax+by=c（其中a，b，c都是整数）求10x-7y=17的所有整数解经观察，方程有一组整数解x=1,y=-1.一般地，求7x+4y=100的所有正整数解经观察，方程有一组整数解x=8,y=11.(a,b)=1,所以上述方程的一切解可以表示成所有正整数解为x一定是4的倍数不定方程ax+by=c定理1a、b都不是0，有一组整数解x=x0,y=y0.

设(a,b)=d,a=a1d,b=b1d，则上述方程的一切解可以表示成定理2

此二元一次方程有整数解的充要条件是(a,b)|c定理3方程a1x1+a2x2+…+anxn=N，（其中a1,a2,…,an,N都是整数，n≥2），则方程有整数解的充要条件是(a1,a2,…,an)|N求107x+37y=25的所有整数解符合有解的条件，用缩小系数找特解法或辗转相除法=u=v…“物不知其数”问题《孙子算经》中有一题目：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即为求正整数