直线和抛物线的位置关系

关于直线和抛物线的位置关系第一页，共六十四页，2022年，8月28日一、直线和抛物线的位置关系方程组两组解相交方程组没有解相离方程组一组解相切若消元得到一次方程，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.若消元得到二次方程,则思考：只有一个交点一定是相切吗？xOy第二页，共六十四页，2022年，8月28日判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行或重合相交（一个交点）

计算判别式>0=0<0相交相切相离第三页，共六十四页，2022年，8月28日

例1求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.由{

得{故直线x=0与抛物线只有一个交点.解:(1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是x=0.由方程组{

消去y得(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是当k=0时，x=,y=1.故直线y=1与抛物线只有一个交点.y=kx+1,xyO当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则此时直线方程为综上所述，所求直线方程是x=0或y=1或第四页，共六十四页，2022年，8月28日

练习：当k为何值时,直线y=kx+1与抛物线(1)相交,(2)相切,(3)相离?解：由方程组{

消去y，并整理得当K≠0时，该方程是一元二次方程,所以综上所述，当k<1时直线和抛物线相交且k=0时交于一点;当k=1时，直线和抛物线相切;当k>1时直线和抛物线相离.当k=0时，直线方程为y=1，与抛物线交于一点第五页，共六十四页，2022年，8月28日例2：在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.

解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离

此时y=1，所求点的坐标为P(1,1).当且仅当x=1时，，第六页，共六十四页，2022年，8月28日

另解:观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点即为所求.联立得

设切线方程为2x-y+C=0，由得C=-1又由（）得

x=1，∴y=1.故所求点的坐标是（1，1）.点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0xyOp第七页，共六十四页，2022年，8月28日1.过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有(

）（A）1条(B)2条(C)3条(D)无数多条C.P互动练习第八页，共六十四页，2022年，8月28日2.在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。分析：抛物线上到直线Ｌ距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。yxy2=64x4x+3y+46=0解：∵无实根∴直线与抛物线相离设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3x+bL·P第九页，共六十四页，2022年，8月28日则由y=-4/3x+by2=64x消x化简得y2+48y-48b=0△=482-4×(-48b)=0∴b=-12∴切线方程为：y=-4/3x-12

y=-4/3x-12y2=64x解方程组得x=9y=-24∴切点为P（9，-24）切点P到Ｌ的距离d=∴抛物线y2=64x到直线Ｌ：4x+3y+46=0有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为2。第十页，共六十四页，2022年，8月28日3、斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x第十一页，共六十四页，2022年，8月28日第十二页，共六十四页，2022年，8月28日二、抛物线的焦点弦性质例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θ(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。xOyABFθ第十三页，共六十四页，2022年，8月28日xOyABF过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p第十四页，共六十四页，2022年，8月28日AXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.故以AB为直径的圆与准线相切.第十五页，共六十四页，2022年，8月28日XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。123456第十六页，共六十四页，2022年，8月28日过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理xOyABF第十七页，共六十四页，2022年，8月28日xOyABF第十八页，共六十四页，2022年，8月28日F过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°。第十九页，共六十四页，2022年，8月28日代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，练习(1).若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB的方程为ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s>0)证明：lyy2=2pxAMxB第二十页，共六十四页，2022年，8月28日若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则直线过定点M(s,0)，(s>0)x1x2=s2;y1y2=-2ps.（1）M为焦点，即过（p/2，0）x1x2=p2/4;y1y2=-p2.（2）M过（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M过（2p，0）（4）M过（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.（5）M过。。。。。。。抛物线对称轴上的重要结论lyy2=2pxAMxB第二十一页，共六十四页，2022年，8月28日过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θxOyABFθ证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=

思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短第二十二页，共六十四页，2022年，8月28日xOyABF过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则第二十三页，共六十四页，2022年，8月28日例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.xyFABCO第二十四页，共六十四页，2022年，8月28日例2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.(2001年高考题)xyFABCO第二十五页，共六十四页，2022年，8月28日例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的

两点，且OA⊥OB，

1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；

2.求证：直线AB过定点；

3.求弦AB中点P的轨迹方程；

4.求△AOB面积的最小值；

5.求O在AB上的射影M轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题第二十六页，共六十四页，2022年，8月28日例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，

(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；[解答](1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2

∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.第二十七页，共六十四页，2022年，8月28日例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(2)求证：直线AB过定点；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)∴AB过定点T(2p,0).第二十八页，共六十四页，2022年，8月28日同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，

(3)求弦AB中点P的轨迹方程；即y02=px0-2p2，∴中点M轨迹方程y2=px-2p2(3)设OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，第二十九页，共六十四页，2022年，8月28日(4)当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(4)求△AOB面积的最小值；第三十页，共六十四页，2022年，8月28日(5)法一：设M(x3,y3),则例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.由(1)知，y1y2=-4p2，

整理得：x32+y32-2px3=0，∴点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).第三十一页，共六十四页，2022年，8月28日∴M在以OT为直径的圆上∴点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).

评注：此类问题要充分利用(2)的结论.∴

∠OMT=90,又OT为定线段法二：∵

AB过定点T(2p,0).7.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.第三十二页，共六十四页，2022年，8月28日小结：

在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”，应将其找回。第三十三页，共六十四页，2022年，8月28日四、点与抛物线点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系及判断方法.1.点在抛物线外2.点在抛物线上3.点在抛物线内y02-2px0>0y02-2px0=0y02-2px0<0第三十四页，共六十四页，2022年，8月28日解：.FM>

即4>

第三十五页，共六十四页，2022年，8月28日.FM第三十六页，共六十四页，2022年，8月28日第三十七页，共六十四页，2022年，8月28日第三十八页，共六十四页，2022年，8月28日l1l2【例题5】如图所示，直线L1与L2相交于M点L1⊥L2，N∈L2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等，为锐角三角形，,建立适当坐标系,求曲线C的方程。BAMN分析：1.如何选择适当的坐标系。

2.能否判断曲线段是何种类型曲线。

3.如何用方程表示曲线的一部分。第三十九页，共六十四页，2022年，8月28日如图所示，直线L1与L2相交于M点L1⊥L2

，N∈L2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等，为锐角三角形，,建立适当坐标系,求曲线C的方程。l1l2yxD解法一：3=DANACNRt中，由图得，CBAMN曲线段C的方程为：即抛物线方程：建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O，第四十页，共六十四页，2022年，8月28日如图所示，直线L1与L2相交于M点L1⊥L2

，N∈L2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等，为锐角三角形，,建立适当坐标系,求曲线C的方程。l1l2yxDCBAMN解法二：曲线段C的方程为：建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O第四十一页，共六十四页，2022年，8月28日yxBAMNCD建立如图所示的直角坐标系，原点为解法三：Q曲线段C的方程为：3=DANACNRt中，第四十二页，共六十四页，2022年，8月28日xyAPMN第四十三页，共六十四页，2022年，8月28日.F第四十四页，共六十四页，2022年，8月28日（1）直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为6，则p=__________3xyOy2=2pxABl第四十五页，共六十四页，2022年，8月28日(2)已知抛物线方程=8x,则它的焦点坐标为_______,准线方程为________，若该抛物线上一点到y轴距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离为___________，若该抛物线上一点M到焦点距离等于4,则M的坐标为__________.(2,0)x=-27(2,4),(2,-4)MH(2,0):x=-2(2,0)pQH:x=-2第四十六页，共六十四页，2022年，8月28日（3）抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，焦点在

x+2y-12=0上，则它的方程为_________