（三）圆弧插补算法

第四章插补，刀具补偿与速度控制第一节插补原理与程序设计一.插补及其算法插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算出若干个中间点的坐标值。直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，大多数CNC系统都具有直线和圆弧的插补功能。高档CNC系统还具有抛物线、螺旋线等插补功能。插补算法归纳为两类：脉冲增量插补算法和数字增量插补算法。脉冲增量插补算法该插补为行程标量插补，常用于开环系统。每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲的方式输出。一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量，通常用表示。普通精度机床，较精密机床取。

数字增量插补算法该插补为时间标量插补，分两步进行。首先计算出插补周期内各坐标轴的增量值，称为粗插补；然后再跟据采样得到的实际位置增量计算跟随误差，得到速度指令输出给伺服驱动系统，称为精插补。适用于闭环或半闭环系统。数字增量插补算法中，粗插补由软件完成，精插补可以由软件，也可以由硬件完成。精插补由硬件完成：如日本FANUC公司的FANUC－3、6，见图4－1粗、精插补由软件完成：如美国Allen-Bradley(A-B公司)的9/260，见图4－2二.脉冲增量插补（一）逐点比较法1直线插补算法

如图4－3，若点P正好位于直线OA上，则：

若点P位于直线上方，则：若点P位于直线下方，则：定义偏差函数（偏差判别式）：结论：F=0,加工点P落在直线OA上

F>0,加工点P落在直线OA上方

F<0,加工点P落在直线OA下方以上第一象限的结论适用于其他象限，具体进给脉冲分配方向及沿哪个轴分配。其规律如下若F>=0,下一步应该向+X方向走，则：若F<0,下一步应该向+Y方向走，则：逐点比较法直线插补，每进一步需要四个节拍：

1，偏差判别；2，坐标进给；

3，偏差计算；4，终点判别插补结束插补开始偏差判别坐标进给偏差计算终点判别YN2直线插补程序设计

需要进行的计算：（1）向X坐标发送脉冲后新偏差值：

（2）向Y坐标发送脉冲后新偏差值：

（3）向X坐标发送脉冲后终点判别：

（4）向Y坐标发送脉冲后终点判别：插补前将坐标数据符号与数据本体分离，用数据本体进行插补计算，由数据符号确定坐标进给方向。插补工作寄存器：FR：偏差函数寄存器LR：X坐标偏差函数递推项寄存器，存放（－Ye）MR：Y坐标偏差函数递推项寄存器，存放XeLC：X坐标终点判别寄存器，存放X坐标应输出的脉冲总数MC：Y坐标终点判别寄存器，存放Y坐标应输出的脉冲总数RL：X坐标进给方向寄存器，存放X坐标数据的符号RM：Y坐标进给方向寄存器，存放Y坐标数据的符号标志单元FLAG0：进给坐标标志，X—“0”；Y—“1”

FLAG1：坐标交换标志，坐标交换—“1”；不坐标交换—“0”FLAGL：X坐标插补完成标志，未完成—“0”；完成—“1”FLAGM：Y坐标插补完成标志，未完成—“0”；完成—“1”向Y坐标正方向走一步后3逐点比较法圆弧插补算法

偏差函数加工点在圆弧外测，F>0;加工点在圆弧上，F=0;加工点在圆弧内测，F<0;对于第一象限逆圆弧，当F>=0时向X坐标负方向走一步，当F<0时向Y坐标正方向走一步。向X坐标负方向走一步后偏差计算终点判别：（1），采用终点坐标与加工点坐标相比较的方法进行YOXA(X0,Y0)RRiP(Xi,Yj)

B(Xe,Ye)F<0F>0F=0X坐标到达终点；Y坐标到达终点；（2），X,Y坐标应走总步数，沿X坐标走一步，沿Y坐标走一步，均到0时到达终点。各象限插补规律如图，NR为逆圆弧，SR为顺圆弧，F>=0及F<0为判据插补工作寄存器：FR：偏差函数寄存器LR：X坐标偏差函数递推项寄存器MR：Y坐标偏差函数递推项寄存器LC：X坐标终点判别寄存器，存放X坐标应输出的脉冲总数MC：Y坐标终点判别寄存器，存放Y坐标应输出的脉冲总数RL：X坐标进给方向寄存器，存放X坐标数据的符号RM：Y坐标进给方向寄存器，存放Y坐标数据的符号标志单元FLAG0：进给坐标标志，X—“0”；Y—“1”

FLAG1：坐标交换标志，坐标交换—“1”；不坐标交换—“0”FLAGL：X坐标插补完成标志，未完成—“0”；完成—“1”FLAGM：Y坐标插补完成标志，未完成—“0”；完成—“1”

4圆弧插补程序设计（1）一个象限圆弧插补程序设计对于圆弧插补，偏差函数递推增量为变量：沿X坐标负方向走一步后有：沿Y坐标正方向走一步后有：每走一步，先将LR或MR寄存器中的数加2LR或MR寄存器初值：LC或MC寄存器应分别预置和（2）圆弧插补的自动过象限程序设计自动过象限程序包括象限边界处理，过象限判别及数据处理等象限边界处理：判别数值“0”的符号。对于逆时针圆弧（G03）其规律（G02

则相反）为：如果X0为“0”，那么X0的符号与Y0的符号相反如果Xe

为“0”，那么Xe的符号与Ye的符号相反如果Y0为“0”，那么Y0的符号与X0的符号相反如果Ye为“0”，那么Ye的符号与Xe的符号相反过象限判据

5逐点比较法的进给速度为脉冲当量（mm/脉冲）设发向X,Y坐标脉冲的频率分别为则沿X,Y坐标的进给速度分别为合成进给速度为当沿某坐标进给时，其脉冲频率为，进给速度达到最大值可见进给速度的变化范围为（0－0.707）Vc,最高进给速度与最低进给速度之比为1：1.414（二）数字积分法优点：数字积分器具有运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现空间直线的插补，能够插补出各种平面函数曲线。缺点：速度调节不够方便，插补精度需要采取一定措施才能满足。1，数字积分插补基本原理若取为最小基本单位“1”，则有矩形公式累加求和运算可用数字积分来实现。2，数字积分直线插补动点沿X,Y坐标移动的速度为Vx，Vy,移动的微小增量为动点沿OA匀速移动，V，Vx，Vy,均为常数。直线积分插补近似表达式设经过m次累加，X,Y到达终点，则有则m＝1/K关于K的取值，主要考虑每次的增量不大于1，以保证每次的进给脉冲不超过1个3，数字积分圆弧插补由图中相似三角形得：移动的微小增量为第一象限逆圆弧积分插补近似表达式与直线插补数字积分器的差别：（1）对于圆弧插补，X坐标被积函数寄存器存的是Y坐标数据，Y坐标被积函数寄存器存的是X坐标数据。（2）直线插补时被积函数寄存器存的是终点坐标值，为常量；而圆弧插补时存的是动点坐标值，为变量。（3）圆弧插补时，起点处X,Y坐标的被积函数寄存器分别存入起点坐标值Y0,X0，Y坐标方向发进给脉冲时，X被积函数寄存器内容加1，X坐标方向发进给脉冲时，Y被积函数寄存器内容减1（第一象限逆圆弧）4，数字积分插补的终点判别直线插补终点判别：不论被积函数有多大，对于n位寄存器，必须累加2n次才能到达终点圆弧插补终点判别：用两个终点判别计数器累计两个坐标的进给脉冲数，也可以用一个终点判别计数器累计两个坐标进给脉冲总数。5，硬件数字积分插补的合成进给速度当X，Y坐标分量为小于2n－1的X，Y值时，X坐标方向的平均进给比率为X/2n,Y坐标方向的平均进给比率为Y/2n,其合成的轮廓进给比率为，从而合成的轮廓进给速度为6，左移规格化处理7，插补精度的提高左移规格化处理的结果使寄存器中的数值变化范围变小，可能的最小数为可能的最大数为由此得到的合成速度的最小值和最大值分别为8，用软件实现数字积分插补三数字增量插补

在闭环和半闭环位置采样控制系统中，主要包括三项内容：插补，反馈采样及控制。其中插补是选择合适的插补周期，计算出插补周期内各坐标轴的移动增量（粗插补），将移动增量转化为跟随误差和速度指令将是反馈采样及控制的任务（精插补），这就是所谓的数字增量插补。（一）插补周期的选择

图中最大半径误差与步距角的关系

T:插补周期；F：刀具移动速度

插补周期与误差，圆弧半径和速度有关。在误差和圆弧半径给定时插补周期短对于获得高的加工速度有利；在插补周期及圆弧半径给定时，为保证加工精度，必须对加工速度限制。

（二）直线插补算法

1直线插补算法原理刀具沿直线移动的速度为F，设插补周期为T，则插补周期的进给步长为

直线段长度：

X，Y轴的位移增量分别为插补第i点的动点坐标为

2实用直线插补算法数字增量插补算法分两步：插补准备，插补计算（1）进给率数法（2）方向余弦法1（3）方向余弦法2（4）直接函数法（5）一次计算法（三）圆弧插补算法

1，直接函数法

2，扩展DDA插补算法第二节刀具半径补偿一，刀具补偿的基本概念刀具补偿包括刀具半径补偿和长度补偿。由于刀具半径的存在，零件轮廓轨迹与刀具中心轨迹不重合，为了加工出符合图纸要求的零件轮廓，必须进行刀具半径偏移。加工外轮廓时应向外偏移一个刀具半径，加工内轮廓时应向轮廓内偏移一个刀具半径，这种偏移叫做刀具半径补偿。刀具半径补偿的执行过程分为3阶段:刀具半径补偿建立。只能在G00或G01的程序段进行。刀具半径补偿进行。刀具半径补偿注销。用G40撤销补偿，只能在G00或G01的程序段进行刀具半径补偿只能在指定的二维平面内进行。用G17指定XY平面，用G18指定ZX平面用G19指定YZ平面，二，B功能刀具半径补偿计算

(一)直线插补的B刀具半径补偿计算

(二)圆弧插补的B刀具半径补偿计算二，B功能刀具半径补偿计算

(一)直线插补的B刀具半径补偿计算

(二)圆弧插补的B刀具半径补偿计算三，C功能刀具半径补偿计算

(一)C刀具半径补偿功能的实现

(二)程序段间的转接（1）直线与直线转接；（2）直线与圆弧转接；（3）圆弧与直线转接；（4）圆弧与圆弧转接；(三)转接矢量的计算（1）刀具半径矢量的计算（2）转接交点矢量的计算图4－35G41直线接圆弧插入型转接图4－36G41圆弧接直线插入型转接图4－37G41圆弧接圆弧插入型转接图4－38G41直线接圆弧伸长型转接(四)常用的典型转接交点矢量计算公式图4－39G41圆弧接直线伸长型转接图4－40G41圆弧接圆弧伸长型转接图4－41G41圆弧接直线缩短型转接图4－42G41圆弧接圆弧缩短型转接第三节进给速度和加减速控制一开环CNC系统的进给速度及加减速控制通过控制输出脉冲频率来控制进给速度，常用方法：（1）程序计时法（软件延时法）（2）时钟中断法图4－43加减速控制流程图二闭环（半闭环）CNC系统的加减速控制一般通过软件实现。分为前加减速控制，后加减速控制图4－44加减速控制（a）前加减速控制（b）后加减速控制图4－45加速处理的原理框图（一）前加减速控制1.稳定速度和瞬时速度稳定速度瞬时速度是指系统在每个插补周期的进给量，用表示。当系统处于稳定进给状态时，当系统处于加速状态时，当系统处于加速状态时，2.线性加减速处理

当机床起动，停止或在切削加工过程中改变进给速度时，自动进行线性加减速处理。加减速速率分为快速进给和切削进给两种，均作为机床参数预先设置好。系统加速到F所需时间为t，