薛定谔方程及其应用

21.5波函数薛定谔方程一、波函数1、经典的波与波函数电磁波机械波经典波为实函数1

自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。结论：自由粒子的物质波是单色平面波。对应的德布罗意波的频率和波长：2、量子力学波函数（复函数）对三维空间，沿矢径方向传播的自由粒子的波函数为：注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达。不能用实数形式来表达。2与光波类比，物质波的强度：由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处出现的概率Ｗ成正比的。是的共轭复数。正实数某一时刻出现在某点附近在体积元中的粒子的概率为：由此可见，为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率，称为几率密度。即：３、波函数的统计解释3波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。4粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变，所以波函数还必须是连续的。由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以应有：４、波函数应满足的条件1）标准条件2）归一化条件

波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可微，且一阶导数也连续可微。5以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合6德布罗意波（概率波）不同于

经典波（如机械波、电磁波）是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度分布，即和C所描述德布罗意波的状态相同。YY因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，则该处的能流密度增大C2

倍，变为另一种能流密度分布状态。波动方程无归一化问题。波函数存在归一化问题。德布罗意波经典波7解：(1)由归一化条件解得(2)粒子的概率密度为粒子在0到a/2区域内出现的概率(3)概率最大的位置应该满足即当时，粒子出现的概率最大。因为0<x<a，故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内，已知其波函数为：求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？8二、薛定谔方程9经典力学中，已知力F及x0、υ

0，可由牛顿方程求质点任意时刻状态。当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。一、薛定谔方程10动量为P

、质量为m、能量为E的自由粒子，

沿x轴运动的波函数为：1.自由粒子的薛定谔方程对时间求微商，得到：①11对x求二阶偏导：①②③比较以上三式，可得：④12这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。此时的薛定谔方程为：

若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其势能函数为EP＝Ｕ(x,t)，则粒子的总能量应为：④⑤2.薛定谔方程的一般形式13为书写方便，我们引入拉普拉斯算符：

若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场中运动，则其薛定谔方程为：则上式可写为：⑥⑦14引入哈密顿算符：则⑦式可写为：这就是薛定谔方程的一般形式。⑦薛定谔方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的一个基本假设。15如果粒子的势能并不随时间而变化，即：U=U(x,y,z)，它不包含时间（在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况）。三、定态薛定谔方程定态：能量不随时间变化的状态。在这种情况下，可以用分离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：代入16代入两边除以，可得：17方程（1）的解为：（1）（2）（c为任一常数）

将代入，

并把常数包含在中，这样就得到薛定谔方程的特解为：定态薛定谔方程定态波函数18

定态波函数所描述的状态称为定态。方程称为定态薛定谔方程。将与自由粒子的波函数表达式比较:19应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤：（1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；

（2）用分离变量法求解波函数；

（3）由波函数归一化条件和标准条件，确定积分常数；

（4）求概率密度并讨论其物理意义。20一、一维无限深势阱考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内（x=0到x=a）为零，而在此区域外势能为无限大，粒子只能在宽为a的两个无限高势壁间运动，这种势称为一维无限深方势阱。

23.9薛定谔方程的简单应用0ax8821

1）是固体物理金属中自由电子的简化模型；

2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来。意义薛定谔方程：221.势能函数x0aU(x)这样就把粒子限制在0→a范围内了2.薛定谔方程边界条件：由标准条件，波函数在阱内外不能突变。阱外须有23在阱内

0<x<a

区域，定态薛定谔方程为：令：3.解方程、定常数比较谐振动方程：其通解为：

C和

为待定常数由波函数的标准条件确定常数。24由边界条件，波函数在x=a

处连续，因此有有根据波函数的连续、单值的条件，再由归一化条件确定常数C：n不能取零，否则不合理。一维无限深势阱中粒子的波函数为：25（1）能级和能级间隔结果说明：粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。由可得：和4.讨论：按经典力学观点，粒子在无限深势阱中运动时，能量可以取任意值，是连续的。粒子的最低能量为零点能，即为n=1时的能量。这是微观粒子波粒二象性的表现，“静止的波是没有意义的”。26o一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数稳定的驻波能级n+1个节点（2）波函数

粒子在势阱中的波函数很象两端固定弦的驻波波形，波的波长随能级的增高而缩短。

n很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。（3）几率密度粒子在势阱中的概率密度：27一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度分布曲线对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。28经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域内运动。29例：设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：(1)

粒子在0xa/4区间中出现的几率，并对n=1和n=的情况算出概率值。(2)

在哪些量子态上，a/4处的概率密度最大？粒子出