控制系统的频率特性法

第五章控制系统的频率特性法

§5—1基本概念

§5—2典型环节的频率特性

§5—3系统开环频率特性

§5—4奈奎斯特判据

§5—5闭环系统的性能分析

§5—6系统传函的试验确定法11.基本概念—频率特性的定义及其与时间响应的关系2.表示方法—一般坐标、极坐标、对数坐标、尼氏图3.典型环节的频率特性4.开环系统频率特性的绘制——极坐标、对数坐标5.稳定判据——奈氏判据6.稳定裕度——幅值裕度、相角裕度7.闭环系统的性能分析（稳态、暂态）8.传递函数的实验确定法主要内容2重点与难点开环系统频率特性的绘制——极坐标、对数坐标稳定判据——奈氏判据闭环系统的性能分析

重点难点频率特性的绘制与奈氏判据3本章引言一般来说，系统工作性能用时域特性度量为最好，但高阶系统的时域特性很难用分析法确定故引出了频率特性法，不用解方程，也不用求特征根，而是利用系统的频率响应图以及频率响应与时间响应的某些关系解决系统的设计和分析问题，间接的运用系统开环频率特性分析闭环响应，是一种图解法，非常形象直观。4一、定义：以RC网络为例：§5-1基本概念且初始条件为零，用拉氏变换有：当sinωt时，

§5-1基本概念5频率特性的基本概念其中：A==§5-1基本概念6§5-1基本概念<利用公式sinx=>频率特性的基本概念7用有效值表示：当时，暂态分量0，所以有：频率特性的基本概念§5-1基本概念8

频率特性的基本概念绘制频率特性图如下页所示§5-1基本概念9频率特性的基本概念§5-1基本概念10

频率特性的基本概念§5-1基本概念11频率特性的基本概念它完整的描述了RC网络在正弦输入下稳态输出时电压幅值和相角随正弦信号频率变化的规律。§5-1基本概念12频率特性的基本概念所以，频率特性是输出、输入正弦函数用向量表示时之比，表示线性系统稳态下输出、输入正弦信号间的数学关系。§5-1基本概念13定义：频率特性——指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。二、频率特性和传递函数的关系

频率特性的基本概念§5-1基本概念14

频率特性的基本概念§5-1基本概念15频率特性的基本概念§5-1基本概念16△说明：⑴频率特性只适用于线性定常系统，否则不能用拉氏变换。

⑵上述理论在稳定前提下推出，如不稳定

频率特性的基本概念§5-1基本概念17

无法观察稳态响应。但理论上分析，并不依赖于系统的稳定性。⑶它包含了全部动态的结构、参数及规律。虽然是一种稳态响应，但动态过程及其规律必在其中，故频率特性也是一种数模。三、正弦输入信号下

ess

的计算

所以，不能用终值定理求其ess

，此时可用频率特性法求。

频率特性的基本概念§5-1基本概念18例1．

频率特性的基本概念解：§5-1基本概念19横、纵坐标的刻度都是常用的线性刻度，例如上面RC网络的

（二）极坐标特性曲线(也叫奈奎斯特曲线)：频率特性的基本概念四、频率特性的表示方法：（一）一般坐标特性曲线：§5-1基本概念20

01jω=0ω=1/Tω§5-1基本概念频率特性的基本概念21Nyquist

曲线§5-1基本概念22（三）对数频率特性曲线(伯德图)：对数幅频特性对数分度的特点：当变量增大或减小10倍（十倍频程）时，坐标间距离变化一个单位长度。§5-1基本概念23对数坐标系L(ω)(dB)L(ω)=20lgA(ω)0.111010023124681020406080100ωlgω012§5-1基本概念24

注意对数频率特性曲线(伯德图)§5-1基本概念250.111010023对数相频特性Φ（ω）（弧度或度）对数频率特性曲线(伯德图)§5-1基本概念26（四）对数幅相特性曲线：为一个参变量标在曲线上相应点的旁边，此曲线称为尼柯尔斯图。§5-1基本概念270一、比例环节：

1、一般坐标：

2、极坐标：j0K§5-2

典型环节的频率特性K283、对数坐标：00.11100.1110比例环节的频率特性（续）29二．积分环节与微分环节1、一般坐标：积分环节微分环节积分微分0-90090A(ω）0ωw00积分微分30①②2、极坐标：沿虚轴从无穷远处指向原点。

（1）积分：（2）微分：从原点向虚轴正方向无限延伸，与积分环节相加形成虚轴。0积分微分313.对数坐标：每十倍频程下降20db，一条斜率为[-20]的直线。（1）积分环节：00.11100.1110db20-20[-20]0-90积分微分3200.11100.1110db20-20[-20]0-90积分微分（2）微分环节：[+20]090积分环节与微分环节的频率特性（续）33惯性环节三．惯性环节与一阶微分环节一阶微分

341、一般坐标：（1）惯性环节T1TTTT543201234)(wAw0900450w0-900-45惯性一阶微分（2）一阶微分环节352、极坐标：

（1）惯性环节1j01（2）一阶微分环节半径为0.5、位于第四象限的半圆。惯性一阶微分3603、对数坐标（1）惯性环节-20-40-45°-90°370-20-40-45°-90°38★实用中采用渐近线：①②0-20-40-45°-90°[0][-20]39（2）一阶微分环节0-2020-45°-90°90°45°[0][+20]40四、振荡环节与二阶微分环节振荡环节二阶微分环节411、极坐标：（1）振荡环节j0142（2）二阶微分环节j01二阶微分环节振荡环节432、对数坐标：（1）振荡环节440.1110-404090°180°-180°-90°0°0.111045而且，不同的阻尼比，可以得到不同的频率特性。阻尼比越小，谐振峰值越大。但相频特性在固有角频率处都是-90°。46★实用中采用渐近线：①

②

④③470.1110-404090°180°-180°-90°0°0.1110[0][-40]★实用中幅频采用渐近线：48（2）二阶微分bode图与振荡环节的对应图形关于横轴对称.490.1110-404090°180°-180°-90°0°0.1110500.1110-404090°180°-180°-90°0°0.1110[0][+40]★实用中幅频采用渐近线：51五．延时环节：1、一般坐标：-57.3。-229.2。τω-114.6。012L(ω)τω1341234-171.9。522、极坐标：1ω=00j延迟环节（续）533、对数坐标：延迟环节（续）-57.3。0.1110τω-573。0.1110L(ω)τω54

一、开环幅相频率特性的绘制（极坐标图）：0

jυ=2Kυ=0υ=1υ=3§5-3系统开环频率特性55

以确定的角度收敛于原点开环幅相频率特性的绘制（续）§5-3系统开环频率特性563.确定幅相曲线与实轴的交点：4.确定曲线与虚轴的交点：★例1：解：

§5-3系统开环频率特性57

开环幅相频率特性的绘制（续）§5-3系统开环频率特性58

开环幅相频率特性的绘制（续）§5-3系统开环频率特性59二、开环对数频率特性：§5-3系统开环频率特性60

可见：用对数表示频率特性后，变乘除为加减

.开环对数频率特性（续）绘制对数频率特性。（一）环节曲线迭加法：例2

：解：四个典型环节：§5-3系统开环频率特性61

开环对数频率特性（续）§5-3系统开环频率特性62jL[-20][-20]L1[-20]L2j2j4[-20]L3j3L4[+20]10.110100ww202Ldb02040j(ω)-90000900j1§5-3系统开环频率特性63因为开环传递函数是由若干个典型环节串联而成，而且典型环节的对数曲线均为不同斜率的直线或折线，所以迭加后的开环对数频率特性仍为由不同斜率的线段组成的折线。所以只要确定低频起始段的位置和斜率，并能确定线段转折频率以及转折后线段的斜率变化量，就可以从低频到高频一气呵成。环节曲线迭加法（续）§5-3系统开环频率特性64（二）顺序斜率迭加法1．低频起始段的确定：§5-3系统开环频率特性650Klg20[]n20-1顺序斜率迭加法（续）§5-3系统开环频率特性662、ω折及线段斜率变化量的确定：3、开环对数频率特性的绘制步骤：§5-3系统开环频率特性67

顺序斜率迭加法（续）§5-3系统开环频率特性68例3：解：顺序斜率迭加法（续）§5-3系统开环频率特性69顺序斜率迭加（续）[-20][-60][-80][-60]0.1101242040Ldb0w-900j(ω)-1800-270000§5-3系统开环频率特性70三、最小相位系统与非最小相位系统：可见：两者的极坐标图不同，一个在第四象限，一个在第三象限。§5-3系统开环频率特性71最小相位系统与最小相位系统（续）§5-3系统开环频率特性72最小相位系统与非最小相位系统（续）j1j2Ldb0wj(ω)00-1800-900wL1=

L2§5-3系统开环频率特性73①最小相位系统------在s右半平面上没有零、极点的系统均为最小相位系统。

最小相位系统与非最小相位系统（续）★定义：②非最小相位系统------在右半s平面上有零、极点的系统均是非最小相位系统。2．最小相位系统的特征：§5-3系统开环频率特性74

最小相位系统与非最小相位系统（续）§5-3系统开环频率特性753．非最小相位系统的频率特性：（2）绘制其极坐标图时，起点不再按前面规定的那样§5-3系统开环频率特性76（3）最小相位系统与最小相位系统（续）§5-3系统开环频率特性77§5—4奈奎斯特判据§5—4奈奎斯特判据奈氏稳定判据可以根据系统的开环频率特性，判断闭环系统的稳定性，依据是复变函数论的映射定理，又称幅角定理。一、幅角定理：78§5—4奈奎斯特判据

★幅角定理（续）Gk(s)F(s)00-179§5—4奈奎斯特判据的任一点，之外

根据复变函数理论知，若对于s平面下除了有限奇点（不解析的点）即单值、连续的正则函数，那么对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必有一个对应的映射点。因此，若在s平面上画一条闭封曲线，并使其不通过F(s)的任一奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。★幅角定理（续）80§5—4奈奎斯特判据

F(s)在s平面上的零点对应F(s)平面上的原点（零点使F(s)＝0，即原点），而F(s)在s平面上的极点对应F(s)平面上的无穷远处。s0[s]zs0[s]p★幅角定理（续）81§5—4奈奎斯特判据0[F(s)]无穷远处

当s绕F(s)的零点z顺时针旋转一周时，对应在

F(s)平面上绕原点顺时针旋转一周；当s绕F(s)

的极点p

顺时针旋转一周时，对应在F(s)平面上绕无穷远处顺时针旋转一周，而对于原点则为逆时针旋转一周。★幅角定理（续）82§5—4奈奎斯特判据★幅角定理（续）★幅角定理：设s平面上不通过F(s)任何奇点的封闭曲线Γ包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿着封闭曲线Γ移动一周时，则在F(s)平面上相对应于封闭曲线Γ的映射函数

83§5—4奈奎斯特判据★上已推出：F(s)的零点=闭环极点，而系统稳定的充要条件是特征根即F(s)的零点都位于s左半平面上。因此，需要检验F(s)是否具有位于s右半平面的零点。为此，选择一条包围整个右半平面的按顺时针方向运动的封闭曲线，称为奈氏回线：★幅角定理（续）Γˊ将以顺时针方向围绕原点旋转N圈：N=z-p（或以逆时针方向转N圈：N=p-z）。

84§5—4奈奎斯特判据此曲线肯定包围F(s)在s右半平面的所有零点。设F(s)在右半s平面有z个零点和p个极点。★幅角定理（续）85§5—4奈奎斯特判据

◆系统稳定的条件是z=0，则有：若在s平面上，s沿奈氏回线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的Γ围绕原点顺时针转N=-P圈（即逆时针转p周），则系统稳定，否则系统不稳定。所以F(s)的Γ曲线绕原点运动相当于★幅角定理（续）根据映射定理，当沿着奈式回线移动一周时在F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向绕原点转N=z-p圈。根据映射定理，当沿着奈氏回线移动一周时在F(s)平面上的映射曲线86§5—4奈奎斯特判据因为对应于奈氏回线中：★幅角定理（续）87§5—4奈奎斯特判据◆F(s)的极点=开环极点，N=z-p中的p也就是开环极点在s右半平面上的个数。◆若s在s平面上沿着奈氏回线顺时针移动一周，在

F(s)平面上的曲线绕原点顺时针转

N=-P圈，半平面的极点恰好为p，则系统稳定．二、奈氏判据则闭环系统稳定的充要条件是：在平面上的★幅角定理（续）88§5—4奈奎斯特判据★奈氏判据

⑵若闭环不稳，则闭环系统在s右半平面的根数为：

z=p+N—N为顺时针或z=p-N—N为逆时针。89§5—4奈奎斯特判据而F(s)的极点=G

K(s)的极点。而奈氏回线是经过原点的，但幅角定理要求封闭曲线不能经过F(s)的奇点（但极点正好是奇点）,故不能直接应用前述奈氏回线。这时可略改奈氏回线,既不经过原点又能包围整个右半s平面：三、开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用

90§5—4奈奎斯特判据★开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用◆91§5—4奈奎斯特判据★开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用◆在有积分环节的系统中：平面上就是沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从92§5—4奈奎斯特判据★开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用§5—4奈奎斯特判据★开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用例1、解：先画镜像曲线，再补大圆弧，不包围(-1,j0)点，或逆时针一圈，顺时针一圈,故闭环稳定。94§5—4奈奎斯特判据★开环传递函数有积分环节时奈氏判据的应用例2、解：先画镜像曲线，再补大圆弧，顺时针包围(-1,j0)点2周，故闭环系统不稳定，且有两个右根。95§5—4奈奎斯特判据四、几点说明

这时应将奈氏回线作相应改变，在jω轴上的极点处作半径为无穷小的右半圆(转角为

π)，奈氏判据仍可用．96§5—4奈奎斯特判据★重点说明例3、已知单位反馈系统的开环传函为：解：开环系统有虚根：97§5—4奈奎斯特判据▼先画出开环幅相特性及其镜像，★重点说明98★重点说明99§5—4奈奎斯特判据临界稳定，在jω轴上有闭环极点，也属于不稳定。▼因为p=0，由开环幅相特性及其镜像可见，顺时针包围（-1，j0）点2周，故闭环不稳，且闭环右根个数为z=N=2个。★重点说明100§5—4奈奎斯特判据例如：★重点说明101§5—4奈奎斯特判据▼例如：0=p2=n1-0(a)★重点说明102§5—4奈奎斯特判据p=1n=21-0(b)▼注意：若p=0及双数，则从正实轴开始补，若p

为单数，则从负实轴开始补。★重点说明103§5—4奈奎斯特判据另外，上述方法在不稳时同样可确定右根个数，如上例：▼五、根据伯德图判断系统的稳定性：★重点说明104§5—4奈奎斯特判据★根据伯德图判断系统的稳定性例：1#、2#系统，当p=0时都稳定。看出：1#不穿越

(-∞，-1)实轴，2#穿越两次。由于判稳是逆时针包围（-1，j0）点，所以从上往下为正穿越，从下往上为负穿越.。105§5—4奈奎斯特判据▼▼p=0，正、负穿越次数相等或不穿越。▼★根据伯德图判断系统的稳定性106§5—4奈奎斯特判据★根据伯德图判断系统的稳定性▼的充要条件是：在L(ω)>0的范围内，正穿越—从下向上；负穿越—从上向下。闭环系统稳定107§5—4奈奎斯特判据▼因为在控制工程中常遇到的是最小相位系统，则闭环稳定的充要条件简述为：(1)(2)★根据伯德图判断系统的稳定性108§5—4奈奎斯特判据(3)★用频率特性判稳的步骤：1、★根据伯德图判断系统的稳定性109§5—4奈奎斯特判据2、3、用奈氏判据判稳。4、00()wj0=pwp-j★根据伯德图判断系统的稳定性110§5—4奈奎斯特判据六、稳定裕度：稳定的系统还有一个稳定程度的问题，而衡量的指标就是稳定裕度。因为系统稳定的条件（最小相位系统）是不包围(-1，j0)点，若Gk(jω)曲线穿越(-1，j0)点则有系统临界稳定。故Gk(jω)曲线离(-1，j0)点的远近体现系统稳定裕度或相对稳定性

。111§5—4奈奎斯特判据1、幅值裕度

112§5—4奈奎斯特判据★稳定裕度

稳定系统在ωg处幅值增大Kg倍【或L(ω)上升Lg分贝】,系统将处于临界稳定。若大于Kg倍，则不稳。或者说在不破坏稳定的条件下，开环频率响应的幅值尚可允许增大的倍数。幅值裕度物理意义：113§5—4奈奎斯特判据>0L0-270-pj(ω)Ldbww00-40-20-600-90g>02.相角裕度g

Gk(jω)曲线上模值为1的矢量(夹角最小的一个)与负实轴的夹角：114§5—4奈奎斯特判据稳定系统在ωc处相角滞后增大g度，系统将为临界稳定。若超过g度，则不稳.或者说在不破坏稳定的条件下，尚可允许增大的开环频率响应的滞后相角。▼对于最小相位系统(p=0):▼相角裕度物理意义：115§5—4奈奎斯特判据例：某单位反馈系统的试分别求K=2和K=20时系统的解：

★稳定裕度

用渐近法116§5—4奈奎斯特判据★稳定裕度-20-40-60wLdb0.0.1510-900-p0-27000Lg1Lg21ωc1ωc2ωgj(ω)1172）§5—4奈奎斯特判据★稳定裕度：118§5—4奈奎斯特判据★稳定裕度119§5—5闭环系统的性能分析一、稳态分析（一）稳态误差与开环频率特性的关系：开环频率特性一般分为三段：低、中、高；低频段由υ决定斜率，K决定高度。时域中已知：1、若用λ表示频率特性低频段的斜率，2、§5—5闭环系统的性能分析1201）0型：§5—5闭环系统的性能分析稳态分析（续）121§5—5闭环系统的性能分析2)1型：①122§5—5闭环系统的性能分析②斜坡信号下：阶跃信号下：123§5—5闭环系统的性能分析3)2型：①124§5—5闭环系统的性能分析★稳态分析（续）Ka=wcw1w0Ldbw20-40-②★结论：根据低频段，确定υ、K，求得ess，在阶跃输入下达到ess=0的条件是低频段具有负斜率。125（二）稳态误差与闭环频率特性的关系由尼氏图最终求得的闭环频率特性基本如图所示，在此有：§5—5闭环系统的性能分析§5—5闭环系统的性能分析★稳态分析（续）★单位反馈:127§5—5闭环系统的性能分析二、暂态性能分析（一）典型一阶系统：如惯性环节的频率特性即为一阶系统的闭环频率特性。128§5—5闭环系统的性能分析（二）典型二阶系统：129§5—5闭环系统的性能分析即为振荡环节，§5—2中绘制的振荡环节频率特性即为二阶系统的闭环频率特性。★暂态性能分析（续）130§5—5闭环系统的性能分析★暂态性能分析（续）得到下页图中所示关系曲线：131§5—5闭环系统的性能分析★暂态性能分析（续）132§5—5闭环系统的性能分析★暂态性能分析（续）133§5—5闭环系统的性能分析★暂态性能分析（续）134★暂态性能分析（续）Mr=1.2～1.5时,ζ=0.35～0.47,σ%=20%～30%较好135§5—5闭环系统的性能分析sbtw5023451010304020rM136§5—5闭环系统的性能分析★暂态性能分析（续）ωrts1230203010rM137（三）用开环频率特性分析高阶系统的暂态性能：§5—5闭环系统的性能分析138用开环频率特性分析高阶系统的暂态性能§5—5闭环系统的性能分析1、中频段为[-20]且宽：139用开环频率特性分析高阶系统的暂态性能§5—5闭环系统的性能分析(相当于一阶系统)。2、中频段为[-40]且宽：140用开环频率特性分析高阶系统的暂态性能§5—5闭环系统的性能分析★一般在ωc附近（+20db～-10db）斜率为[-20]会得

3、高频段对系统的影响：141用开环频率特性分析高阶系统的暂态性能§5—5闭环系统的性能分析增强4、高阶系统性能指标的估算：用开环频率特性分析高阶系统的暂态性能§5—5闭环系统的性能分析5、最小相位系统三频段概念：1）为了达到误差度，低频段应有负斜率，并且有较大的K（位置要高）。143用开环频率特性分析高阶系统的暂态性能§5—5闭环系统的性能分析3）为提高抗高频干扰能力，高频段应有较大的负斜率。注意：1）三频段概念以稳定为前提。稳定前提下中频段为[-20]且宽，若中频段为[-20]且窄，两边都是[-60]，很可能不稳定。相反则完全有可能稳定。所以不能用三频段判稳。2）衡量h以“倍频程”，而且高频并一定具有很高的频率，相对而言。144§5—6系统传函的试验确定法§5—6系统传函的试验确定法

分析和设计系统的第一步是建模。一般的，系统的数学模型可以利用基本的物理定理、化学定律等解析法求得，但有时很难很繁琐，尤其是较复杂的系统。所以，工程上多数采用频率相应实验法确定系统的数学模型，这对于那些难以写出传函的系统来说，无疑是一种非常有效的方法。145一、用正弦信号相关分析法测试频率特性：做频率响应实验时要求：必须采用规范的正弦波，即无谐波分量和畸变，频率范围一般为0.001～1000Hz/s。1）超低频信号（0.01Hz以下）—用机械式正弦信号发生器§5—6系统传函的试验确定法146

2）0.01