牛顿运动定律

质点动力学第2章质点动力学质点动力学的任务：研究物体之间的相互作用，及这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律。以“力”为中心：牛顿苹果树§2.1牛顿运动定律

1686年，牛顿(Newton)在他的《自然哲学的数学原理》一书中发表了牛顿运动三定律。

《自然哲学的数学原理》

任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态不变的性质,直到有力作用其上，迫使它改变这种状态为止。1.牛顿第一定律(惯性定律)(Newton’sFirstLaw)一、牛顿运动定律恒矢量（1）惯性(inertial)

——

物体保持其运动状态不变的特性(固有的特性)惯性质量(inertialmass):

物体惯性大小的量度引力质量(gravitationmass):

物体间相互作用的“能力”大小的量度

惯性质量与引力质量反映了物体的两种不同属性，它们在数值上成正比，与物体成分、结构无关，选用适当单位可用同一数值表征这两种质量。运动状态与力亚里士多德的观点维持了2000年

必须不断地给一个物体以外力，才能使它产生不断的运动。如果物体失去了力的作用，它就会立刻停止。即力是维持物体运动的原因。

维持运动状态无需力,

只有“改变”物体运动状态的时候才需要力。(2)力(force)

——物体间的相互作用亚里士多德2.牛顿第二定律(Newton’sSecondLaw)说明1)牛顿第二定律是质点动力学的基本方程；2)

是指合外力；3)加速度与合外力同向；4)F和a是一种瞬时对应关系；5)适用于惯性参考系（没有加速度的参考系）6)是矢量式（实际应用中列分量式（标量式））。m不变物体所受的合外力等于物体动量的瞬时变化率。直角坐标系中的分量式自然坐标系中的分量式牛顿第二定律的分量式：质点作曲线运动（含圆周运动）时，常建立自然坐标系求解。3.牛顿第三定律

(作用力与反作用力定律)(Newton’sThirdLaw)注意:(1)作用力和反作用力成对，同时存在。(2)分别作用于两个物体上，不能抵消。(3)属于同一种性质的力.(4)物体静止或运动均适用。第三定律：其中，力是指物体相互接触产生的，或通过“超距作用”产生的。作用力等于反作用力“超距作用”可以理解成力的传递过程不需要时间，或力的传递速度为无限大。如果力以有限的速度传递，作用力和反作用力就不一定相等了。12静止ttt力以有限速度传递，物体1运动，由于“延迟”效应，t时刻作用力和反作用力不相等。两个静止电荷之间的静电作用力和反作用力也相等。相互作用的传递速度一般较大（例如引力和电磁力都以光速传递），而牛顿力学中物体运动速度远低于光速，可忽略延迟效应，因此在牛顿力学中，作用力等于反作用力。在强电磁作用下，带电粒子运动速度可接近光速，延迟效应很明显，作用力和反作用力就不相等了。但如果包括电磁场的动量在内，体系的总动量还是守恒的。二、力学中常见的几种力万有引力地面附近的物体受到地球的引力称为物体的重力。式中

为重力加速度2.弹力

(接触力)产生条件:(1)有接触;(2)有形变1.重力

万有引力的一种(非接触力)通常说的拉力、张力、正压力、支持力等都属于弹力；忽略绳子质量时，绳子张力处处相等。弹簧的弹力3.摩擦力

(接触力)k称为劲度系数产生条件:

(1)有接触;(2)有相对运动或相对运动趋势摩擦力静摩擦力滑动摩擦力最大静摩擦力静摩擦系数滑动摩擦系数应用牛顿定律解题的步骤：（1）确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。（2）进行受力分析，画出示力图。（3）建立坐标系。（4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）。（5）解方程。先进行文字运算，然后代入数据。三、牛顿定律的应用隔离体法举例：隔离A,画出A的受力图如图1、质量为m的物体A用平行于斜面的细线连接置于光滑斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体开始脱离斜面时，斜面的加速度的大小为多少？x方向：建立坐标系如图A脱离斜面，N=0，联立以上两式解得y方向：隔离体法解题举例：解：A、B无相对滑动,对A、B整体F满足：隔离A，水平方向有：联立以上三式解得：2、质量为m和M的滑块A和B，叠放在光滑水平面上，A、B间静摩擦系数为，滑动摩擦系数为，系统原处于静止，今有一水平力作用于A上，要使A、B不发生相对滑动，F应满足什么条件？解：或隔离B，水平方向有由于A、B相对静止，fs

是静摩擦力，所以有：思考：若作用在B上，如图，A、B之间的静摩擦系数为，欲使A与B一起运动，则F又应满足什么条件？答案：1、灵活运用整体法和隔离法。2、被动力的特点：存在的物理条件，受其它力和物体的运动情况影响。因此……例、桌上有一质量M＝1.50kg的板，板上放一质量m＝2.45kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的摩擦系数均为µ

＝0.25。要将板从物体下面抽出，至少需要多大的水平力？解：如图所示，摩擦力fAB＝fBA=µmg,

fB=µ(M+m)g。对m由牛顿第二定律，沿x方向µ

mg=mam

所以am＝µg

隔离体法要将板抽出，需要aM≥am。因此

F≥Mam+µ(M+2m)g＝2µ(M+m)gF的最小值为

F＝2µ(M+m)g＝2×0.25×(1.50+2.45)×9.8=19.4N对M由牛顿第二定律，沿x方向F－µ(M+m)g-µmg=MaMF=MaM+µ(M+2m)g如图所示，水平桌面上有一质量为M

的楔块

A

，楔角为

，其上放置一小物体B

，质量为m

。已知A

、B

间静摩擦系数为

μ

s，在外力推动下A

的加速度为a

，欲使B

在A

上保持不动，问加速度a

的范围应多大？

简单情况：已知A固定不动，A

、B

间静摩擦系数的μs与

满足什么条件时B不会下滑？应用：摩擦与自锁（1、估算粉料体积，2、螺旋千斤顶）撤去C前,A、B处于平衡状态3、书P56页，选择题2-1题对A：对B：撤去C瞬时,弹簧维持原状态B受合外力为A受合外力为解：1、力的瞬时性、突变性2、哪些力不能突变？剪断绳前,A、B、C处于平衡状态对C：对B：剪断细绳瞬时,弹簧维持原状态B受合外力为A受力仍平衡对A：4、质量为m1、m2、m3的物体A、 B和C，用一细线和两根轻弹簧连接并悬于固定点O，取向下为x轴正方向，开始系统处于平衡状态，求剪断细线瞬时，A和B的加速度。解：5、如图所示砝码在竖直平面内作匀速圆周运动，求砝码受木板的摩擦力和支持力。解：物体受三个力作用，如图建立自然坐标系，把物体受的力沿切向和法向分解，有切向：法向：联立以上两式解得：1、圆周运动—自然坐标系2、摩擦力的方向解：(1)子弹进入沙土后受力为-kv，由牛顿定律例1、质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹的重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数关系式;(2)子弹进入沙土的最大深度。(2)最大深度(两种解法)这类问题的特点是：物体受力简单，重点是求解运动微分方程。求解运动微分方程举例：解法一:最大深度解法二:最大深度解：取竖直向下为y轴正向，列出小球运动的微分方程为：例2、质量为m的小球在水中静止下沉，阻力，浮力为常力F

。求小球在水中下沉的速度。y为小球的极限速度两边积分物体受力简单，难在求解运动微分方程。。小球以极限速度匀速下沉；又当时，，因此只要

时，小球就以极限速度匀速下沉了。应用：1、降落伞与跳伞塔，2、跳台跳水游泳池的深度解：例3、质量为m的小球，在固定的半径为R的光滑半圆弧槽中从A点静止下滑。求小球在任意位置(α角)时的速度及轨道对小球的支持力。A小球作曲线运动，取自然坐标系方便任意位置小球的运动方程为切向:法向:A§2.2惯性系与非惯性系1.惯性系与非惯性系

运动学中,参考系的选取可任意,但应用牛顿定律时,参考系的选取不能任意.因为牛顿定律不是对任意参考系都成立.

小球置于车厢中的光滑平台上,小球受合力为零.当车厢以加速度向前运动时,地面的人看到小球仍然不动.牛顿定律成立.

车厢上的观察者看到小球以向后运动.小球受合力为零但有加速度.说明牛二定律对加速运动的参考系(车厢)不成立.2.伽利略相对性原理(Galileanprincipleorrelativity)

所有惯性系对描述力学定律来说都是等价的。这就是伽利略相对性原理。

同一质点的位置矢量、位移矢量在不同惯性系中是不同的，所以一切与位置矢量有关的物理量如：速度、动量、动能、功等都与参考系的选取有关，但加速度、质量、时间、冲量、力等物理量与参考系的选取无关。非惯性系(non-inertialframe)

:相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性系中牛顿定律不成立。惯性系(inertialframe)

:牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。地球——近似的惯性参考系，地球有自转角速度：3、惯性力(inertialforce)惯性力：为了使牛顿第二定律在非惯性系内成立而引入的一个虚构的力。与非惯性系加速度的方向相反。惯性力方向：大小等于运动质点的质量m

与非惯性系加速度的乘积。惯性力大小：在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：注意:

惯性力不是根据力的性质命名的,它没有施力者，也无反作用力。惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现。例：系统置于以的加速度上升的电梯内,A、B质量均为m，A与水平面的摩擦系数为，求绳子中的张力。解：（1）以地面为参考系，设B对机以加速度降落.对B：对A：对B：联立以上三式解得：解（2）以升降机为参考系(非惯性系)，则对B：对A：对A：自然坐标系：（1）电梯匀速运动（以电梯或地面为参照系-惯性系）对A和B系统：（2）电梯加速运动（以电梯为参照系-非惯性系）对A和B系统：（1）如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力均不计.且.求重物释放后，物体的加速度和绳的张力.解：以地面为参考系画受力图、选取坐标如图例：阿特伍德机隔离体：牵连关系：ˋˊ（2）若将此装置置于电梯顶部，当电梯以加速度相对地面向上运动时，求两物体相对电梯的加速度和绳的张力.解:以地面为参考系

设两物体相对于地面的加速度分别为，且相对电梯的加速度为可以在非惯性参照系中求解：解得：a自然坐标系：对m1和m2系统：（1）以地面为参照系-惯性系）（2）电梯加速运动（以电梯为参照系-非惯性系）对m1和m2系统：求绳中张力就必须用隔离法(0048)水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为，现加一恒力如图所示，欲使物体A有最大加速度，则恒力与水平方向的夹角应满足（A)sinθ=μ（B)cosθ=μ（C)tgθ=μ（D)ctg

θ=μ

AθF（习题集—第3题）作业P8~14页1，3，6,10，12

练习：（0617）如图，滑轮、绳子质量及运动中的摩擦阻力都忽略不计，物体A的质量m1大于物体B的质量m2。在A、B运动过程中弹簧秤S的读数是（A）（m1＋m2）g；（B（m1＋m2）g

；（C）2m1m2g/（m1＋m2）；（D）4m1m2g/(m1＋m2）

。假设A向下，B向上运动：（习题集—第9题）（0331）如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一个质量分别为m1和m2的重物，且m1>m2。滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度大小为a，今用一竖直向下的恒力F=m1g代替质量为m1的物体，可得质量为m2的物体的加速度大小为aˊ，则（习题集—第5题）(0344)站在电梯内的一个人，看到用细线连结的质量不同的两个物体跨过电梯内的一个无摩擦的定滑轮而处于“平衡”状态，由此他断定电梯作加速运动，其加速度为(A)大小为g，方向向上。(B)大小为g，方向向下。(C)大小为(1/2)g，方向向上。(D)大小为(1/2)g，方向向下。（可以在非惯性参照系中求解）(0030)在升降机天花板上拴有轻绳，其下端系一重物，当升降机以加速度a1上升时，绳中的张力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，问升降机以多大加速度上升时绳子刚好被拉断？（A)2a1

（B)2(a1+g)（C)2a1+g（D)a1+ga1

（习题集—第1题）（可以在非惯性参照系中求解）（0654）图示系统置于以a=1/2g的加速上升的升降机内，A、B两物体质量均为m，A所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦并不计空气阻力，则绳中张力为（A)mg（B)½mg（C)2mg（D)3mg/4aAB（习题集—第12题）（可以在非惯性参照系中求解）练习：如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上。滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与轴之间的摩擦也不计。系统无初速地释放。则物体A下落的加速度是：(A)g(B)4g/5(C)g/2(D)g/3【B】（习题集—第8题）在如图所示的装置中，两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳子不可伸长，与平面之间的摩擦也可不计，在水平外力F的作用下，物体与的加速度a=

绳中张力T=

_F（习题集—第14题）体重相同的甲、乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端。当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是(0038)质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，设木板和墙壁之间的夹角为，当增大时，小球对木板的压力将增大减小不变先增加，后又减小，压力增减的分界角为α=α（0326）如图所示，质量为m的物体A用平行于斜面的细线连结置于光滑的斜面上，若斜面向左方做加速运动，当物体开始脱离斜面时，它的加速度的大小为：（A)gsinθ

（B)gcosθ

（C)gctgθ

（D)gtgθ

θA力的瞬时性：

习题集

P46选2-1，2-3，2-4，

m1m2m3ABC（0050):求刚剪断绳的瞬间aB=,aA=.（0031):求刚剪断绳AB的瞬间绳BC中的张力比T:T'=.补充:mACB（习题集—第13题）（习题集—第16题）撤去C前,A、B处于平衡状态练习：如图，A、B质量均为m，把C抽出，问抽出C瞬间A的加速度，B的加速度。对A：对B：撤去C瞬时,弹簧维持原状态B受合外力为A受合外力为A质量m=40kg的箱子放在卡车箱底板上，已知箱子与底板之间的静摩擦系数为=0.40,滑动摩擦系数=0.25,试分别写出在下列情况下作用在箱子上的摩擦力的大小和方向：

(1)卡车以a=2m/s的加速度行驶，f=_____,方向______(2)卡车以a=-5m/s的加速度急刹车，f=_____,方向_____(5390)如图所示，一小物体A靠在小车的竖直前壁上，A和壁间摩擦系数为，若要使A不致掉下来，小车的加速度最小应为_aA（习题集—第15题）（0341）质量分别为m和M的滑块A和B，叠放在光滑水平桌面上，如图所示，A、B间静摩擦系数为μ

，滑动摩擦系数为μk,系统原处于静止，今有一水平力作用于A上，要使A、B不发生相对滑动，则应有：（A)F≤

μsmg（B)F≤

μs(1+m/M)g（A)F≤

μkmg(1+m/M)（C)F≤

μs(m+M)gBA（习题集—第7题）BAA因为是静摩擦，必须满足物理条件：思考：若作用在B上，如图，A、B之间的静摩擦系数为，欲使A与B一起运动，则F又应满足什么条件？答案：BA如图所示，用一斜向上的力（与水平成角），将一重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力，都不能使木块向上滑动，则说明木块与墙壁间的静摩擦系数的大小μ为

二战中的小故事：a0美Tinosa号潜艇携带16枚鱼雷在太平洋离敌舰4000码发射4枚斜向攻击使敌舰停航离敌舰875码垂直攻击发射11枚均未爆炸！敌舰体撞针滑块雷管导板鱼雷v撞针滑块雷管导板鱼雷v分析：S′F0近距、垂直滑块受摩擦力大雷管不能被触发Δ失重问题在太空中自由降落的升降机或绕地球自由飞在那里物体可以真正做到“不受力”。引力引起的指向地心的加速度），受的引力被惯性离心力完全抵消而出现失重。行的飞船均可以视为平动的非惯性系其中物体所所以在这样的非惯性系中，反而能够真正做到验证惯性定律。（有地球在飞船中几个球可以在空中摆成一个圈设S＇系相对惯性系S匀速转动。1.物体m在S＇中静止即：S＇：令S：则─惯性离心力（inertialcentrifµgalforce）匀速转动非惯性系中的惯性力ωSrS′m

fS●o中向心力与惯性离心力平衡，m静止。▲重力和纬度的关系：重力并非地球引力，而是引力和惯性离心力的合力。重力加速度g和地球纬度的式中：G─万有引力常量，

Me

─地球质量，

R─地球半径，ω─地球自转角速度。关系式为（自己推导）：F引rωF0mPRO由于地球自转，地面物体会受到惯性离心力的作用。2.物体m在S＇中运动设物体m在S＇中有速度，有关的惯性力。先看一个特例：·rmω=const.S′SOv′光滑凹槽●在惯性系（地面）S：在非惯性系（桌面）S′：向心加速度，（1）科里奥利力则在S＇中看，m除受惯性离心力外，还要附加一个与速度把变换为：（《辅》P179-185），引入角速度矢量wrω令惯性力：则有：在转动参考系S′中，牛顿第二定律形式上成立。科里奥利力（Coriolisforce），简称科氏力。就是惯性离心力，中●m称作总惯性力：一个科里奥利力（Coriolisforce）：S中牛顿第二定律为：可以证明，一般情况下，在匀速转动参考系运动物体除受惯性离心力外，中，都还要附加东西南北w在地面系看：地球不转，摆面转。在恒星系看：地球转，摆面不转。恒星科里奥利力来源于恒星的引力!？物体的惯性依赖于宇宙及其分布马赫原理不同意见：宇宙物质分布不对称惯性不对称？▲强热带风暴漩涡的形成。▲河岸冲刷，双轨磨损(北半球右，南半球左)。北半球的科氏力信风的形成风暴漩涡的形成▲落体偏东。◆与科里奥利力（科氏力）有关的问题▲赤道附近的信风（北半球东北，南半球东南）。旅行者2号拍摄的木星表面的旋涡气流傅科摆▲傅科摆摆锤28kg，摆平面转动）顶视11223摆平面转动周期北京，巴黎，这是在地球上验证地球转动的著名的实验。（傅科，1851，巴黎伟人祠，摆长67m，地球摆潮汐（tide）海面上两个突起部分，分别出现在离月球最近和最远的地方。主要由月球引力和地球公转引起。太阳对海水的引力比月球的大180倍，为什么主要由月球引力引起？引起潮汐的力—引潮力？a0大飞船地球·vC▲潮汐（tide）与惯性力问题：

(2)为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？解释：由于引力不均匀（有引力梯度）才引起潮汐。惯性力引力引力分布不均匀（有引力梯度）·D·E·A·B指向地心·C地球引力不能完全被惯性力抵消·D·E·B·A(1)为什么月球对潮汐的影响比太阳大？绕地球与飞船共同的质心转动在加速度为a0的平动非惯性系中观察v自由降落“大升降机”中的引潮力：引潮力=引力+惯性力BACDE引潮力引潮力是被惯性力抵消后的“残余的力”。ABCDE引力惯性力均匀引力和惯性力不均匀加速度地球自转引起的惯性离心力已包括在海水视重中，所以只考虑在引力场中地球的平动。忽略海水相对地球的流动引起的科里奥利力。

海水受的引力不均匀，不能与惯性力严格抵消，引起潮汐。rrRCCx地球月球m

F惯

F引地-月系统海水

m受月球的引力：

m

受的惯性力，等于把它放在地心C处时所受引力的负值rrRCCx地球月球m

F惯

F引引潮力：用到了因R/r<<1，按R/r

展开只取到一次项引潮力在地表分布：地球自转，一昼夜有两个高峰和两个低谷扫过每一个地方，形成两次高潮和两次低潮。Cxyq=0、—背离地心，形成海水的两个高峰。=/2—指向地心，形成海水低谷。所以，潮汐主要由月球引力引起！月球引潮力是太阳引潮力的

2.18倍：地地引潮力对固体也有作用。若伴星轨道小到某一临界半径之内，会被主星的引潮力撕成碎片。地日月月地日大潮小潮

1994年7月实验观测到了彗星与木星碰撞前被撕裂的碎片。太阳引起的潮高：月亮引起的潮高：一般情况下，hS

和hM

是矢量相加的，只有太阳、地球和月亮几乎在同一直线上时，二者才是算术相加的。地球月亮涨潮落潮月球对地面上海水的引潮力落潮涨潮月月日地地大潮小潮大潮与小潮日引潮力常触发地震，地震常发生于阴历初一、十五附近（大潮期）。1976.阴7.2,唐山1993.阴8.15,印度1995.阴12.17,神户2001.阴2.1,四川雅江如：2001.阴2.2,印尼▲固体潮（形变）：月变形滞后，造成地球对月球引力矩，阻止月球自转··地球●使月球自转和公转周期最终达到一致。影响：●使地球自转变慢。●使接近大星体的小星体（r<rc）被引潮力撕碎。化石生长线判断：3亿年前，一年约400天。由植物年轮，珊瑚和牡蛎如SL9彗星被木星引潮力撕碎（199294）。根据计算（赵凯华罗蔚茵编《力学》P385），将被主星的引潮力撕碎。R—主星半径，—主星密度，—伴星密度——洛希极限对地球—月球系统：若伴星的轨道半径小于某个临界半径rc，它惯性质量和引力质量的等同性牛顿分析大量包括天文学方面的实验结果，1687年总结出万有引力定律：一、引力和引力质量自然界中任何两个质点都以一定的力互相吸引着，这个力同两个质点的质量乘积成正比，同它们之间的距离的平方成反比。在万有引力定律中质量是表现一个物体吸引其它物体或被其它物体吸引能力的量，称为引力质量（gravitationalmass）。

惯性质量和引力质量反映物质的两种完全不同的属性，是两个不同的概念。但实验表明，对一切物体来说这两个质量的比值都相同，与物体的大小和材料无关

─惯性质量和引力质量具有等同性。早在17世纪，伽利略在比萨斜塔做的落体实验就已表明：一切物体，无论大小和材料如何，都以相同的加速度自由下落。二、惯性质量和引力质量的等同性对于自由下落的物体，由万有引力定律和牛顿定律因g对一切物体都