中北大学信号与系统

第4章连续时间信号与系统

的复频域分析中北大学信息与通信工程学院

主讲：陈友兴

引言

傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于，它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处：有些函数的傅里叶变换不存在；只能求系统的零状态响应；复频域分析法相对于频域分析法具有如下优点：实际中遇到的信号都存在拉氏变换，应用更广泛；可以自动引入初始状态，求出系统的全响应；系统的零极点是分析系统的有效方法。第4章连续时间信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换（4）4.2拉普拉斯变换的性质（14）4.3拉普拉斯逆变换（29）4.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系（40）4.5线性系统的复频域分析（48）4.6系统函数与系统特性（55）4.7系统的稳定性（76）拉普拉斯正变换信号乘以衰减因子后，容易满足绝对可积条件，此时信号的傅里叶变换为4.1拉普拉斯变换4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶逆变换令拉普拉斯逆变换正变换逆变换原函数象函数拉普拉斯变换对正变换逆变换单边拉普拉斯变换本课程主要介绍单边拉普拉斯变换4.1.2拉普拉斯变换的收敛性收敛域：使X(s)存在的s的区域称为收敛域记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件例4.1.1计算下列信号的收敛域收敛域为全s平面

收敛域为s右半平面

收敛域为s右半平面

收敛域为不存在拉普拉斯变换收敛域为s右半平面

4.1.3常用函数的拉普拉斯变换单位冲激函数

单位阶跃函数

单边复指数函数

单边实指数函数

单边虚指数函数

正弦信号

t的正幂次信号

返回例4.2.1求的拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的性质1、线性特性2、时移特性求的拉普拉斯变换求的拉普拉斯变换3、s域平移特性求的拉普拉斯变换4、时域微分特性对于二阶和高阶的导数有应用：求解微分方程可以得出系统的完全解5、时域积分特性①②①②二阶或高阶积分有例4.2.7试通过的积分求和的拉普拉斯变换重复应用积分性质有6、s域微分特性常用形式例4.2.7也可以利用该性质求解7、s域积分特性两边对s取积分8、尺度变换特性例4.2.12:解题过程与3.4.3类似，自己练习9、卷积定理两信号都为有始信号

交换积分顺序利用时移特性10、初值定理由微分性质得初值定理补充则或者11、终值定理由初值定理的证明过程，可得例4.2.13已知，求的初值和终值例4.2.14已知，求的初值返回4.3拉普拉斯逆变换（1）留数法（围线积分）

（2）部分分式展开法部分分式展开法m和n是正整数。若m≥n

，则为假分式，否则为真分式若为假分式

真分式零极点极点零点极点：的根零点：的根为真分式（1）极点各不相同（无重根）（2）包含共轭复数极点（存在共轭复根）（3）包含多重极点（存在重根）k阶重根例4.3.1求的拉普拉斯逆变换例4.3.2求的拉普拉斯逆变换例4.3.3求的拉普拉斯逆变换如果不是有理多项式根据性质求解例4.3.4求的拉普拉斯逆变换返回4.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系傅里叶变换不存在衰减函数，傅里叶变换是存在:例如：当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用定义式，而是用取极限的方法引入了冲激函数而得到的。一阶极点位于虚轴

多阶极点位于虚轴

根据变换的惟一性总结

对于有起因信号，求单边拉氏变换中，一般是t>0的信号，所以收敛域在收敛轴右边。对X(s)分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点为收敛坐标。 例4.4.2下列因果信号的拉普拉斯变换是否有相应的傅里叶变换？若有，写出它的相应傅里叶变换。傅里叶变换不存在

返回4.5线性系统的复频域分析

零状态响应卷积定理分析4.5.1复频域分析

系统函数信号分解的角度分析例4.5.1已知线性连续系统的输入为时，系统的零状态响应。若输入为，求系统的零状态响应。

4.5.2用拉氏变换求解常系数微分方程微分特性零输入响应零状态响应特征方程例4.5.2描述某线性时不变连续系统的微分方程为已知输入，，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

零输入响应零状态响应完全响应返回4.6系统函数与系统特性

系统函数4.6.1系统函数的定义

系统函数的函数形式与系统的激励无关,仅决定于系统本身的结构和参数

4.6.2LTIS互联的系统函数1．LTI系统的并联2．LTI系统的级联3．LTI系统的反馈连接4.6.3系统的S域框图表示a积分加数乘积分例4.6.3求下图s域框图的系统函数。

系统函数系统函数零点极点系统频率响应函数系统是稳定的单位冲激响应函数系统微分方程收敛域4.6.4系统函数零极点分布与时域特性的关系增益零点极点零极点图1、极点在左半平面（1）实单极点指数衰减（2）实重极点先增长后衰减（3）共轭极点指数衰减正弦振荡2、极点在右半平面（1）实单极点指数增长（2）实重极点指数增幅（3）共轭极点指数增幅正弦振荡3、极点在虚轴上（1）原点处单极点阶跃函数（2）原点处二阶极点线性增长（3）共轭极点等幅正弦振荡（4）二阶共轭极点线性增幅正弦振荡结论上述的分析结果详见P199-200表4.6.1只有当极点在左半开平面时，时域特征是衰减的，系统才能稳定工作；若极点位于虚轴上且为一阶，则系统处于临界稳定；若极点落在虚轴上且为二阶或二阶以上或右半开平面，则系统不能稳定工作。

4.6.5自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应

自由响应，系统极点决定系统函数激励响应强迫响应，激励极点决定暂态响应与稳态响应

自由响应响应强迫响应对于稳定的系统，自由响应都属于暂态响应对于临界稳定的系统，自由响应属于稳态响应输入如果是指数衰减的，那么强迫响应也是暂态响应输入正弦函数，强迫响应也是正弦函数，属于稳态响应系统稳定，输入正弦函数，那么系统的强迫响应即是稳态响应，称作正弦稳态响应4.6.6正弦稳态响应

系统函数激励指系统在正弦信号在t=0时刻激励稳定系统产生的稳态响应

响应前两项完全响应稳态响应暂态响应例4.6.7系统的单位冲激响应激励

求系统在该激励作用下的正弦稳态响应

正弦稳态响应正弦响应4.6.7系统函数零极点分布与系统频响特性的关系

系统函数系统频率响应函数系统函数的极点均位于s平面的左半平面，系统稳定

幅度相位结论如果系统函数的某一个极点十分靠近虚轴时，当角频率在该极点虚轴附近时，幅频特性有一个峰值，相频特性急剧减小。类似地，如果系统函数有一个零点十分靠近虚轴时，则当角频率在该零点附近时，幅频特性有一个谷值，相频特性急剧增大。

返回4.7系统的稳定性

4.7.1系统稳定性的概念

稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号无关。系统的冲激响应和系统函数集中表征了系统的特性，当然它们也反映了系统是否稳定。

线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激响应绝对可积

因果稳定系统2、冲激响应与系统稳定性的关系一个连续系统，如果对任意的有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出（BIBO）意义下的稳定系统，简称稳定系统。

1、系统稳定性的定义

H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），即3、系统函数极点与稳定性的关系（1）稳定系统

H(s)的极点落于s平面右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点

（2）不稳定系统H(s)的一阶极点位于s平面虚轴上（3）临界稳定系统总结：系统稳定性的判定（1）定义（2）系统的单位冲激响应因果稳定系统的极点都位于s平面的左半平面（3）系统函数的极点稳定的系统才存在频率响应函数例4.7.1已知系统函数，试判断是否为稳定系统

稳定不稳定临界稳定例4.7.2下图所示线性反馈系统，讨论当k从0增长时，系统稳定性的变化

极点

（1）实极点，系统稳定

（2）复极点，系统稳定

系统稳定的条件

4.7.2系统稳定性的判别准则

——劳斯－赫尔维茨准则

特征方程劳斯阵列劳斯阵列第1列的全部元素均大于零例4.7.3已知，为保证系统稳定，确定K值的变化范围。

特征方程为

劳斯阵列

系统稳定满足

即

当用劳斯阵列判别系统的稳定性时，有两种情况有时会发生：第一种是劳斯阵列的第1列中某个元素为0，而其余元素又不全为0，这样就不能继续计算下一行的第1列元素；