专题训练 方程组、一元二次方程式

题型一方程（组）、不等式（组）

综合型问题第三板块

压轴题要突破课标要求解读特征分析类型思路近几年随着新课改的深入，方程、不等式应用题已突破了行程、工程等传统问题，在命题上有了很大的创新，形式多样，涉及销售、购物、方案设计、环保等，与生活生产联系密切，充满时代气息；因此要求学生具有丰富的生活常识，较强的阅读能力和良好的数学建模能力，增强学生用数学的思想和方法思考生活、生产和实际问题的意识，加强由文字语言向符号语言转化的能力，提高对图表信息的处理能力.1.主要类型有：(1)以教材中常

见的题型或与生活较贴近的问

题为背景，但数量关系较为隐

蔽；(2)以市场经济或日常生活

或社会较关注的问题为背景，

设计最佳方案；(3)给出实际问

题的图象或图表等数学模型，

运用方程、不等式求解.2.解题思路是“审题→设未知

量→找数量关系→建立方程、

不等式模型→解决问题→验证

并回答实际问题”；这类问题

往往题干较长，信息量较大，

审题时要抓住关键.核心要点突破

一、方程(组)、不等式(组)型方程(组)、不等式(组)是研究数量关系的重要工具，在处理生活中的实际问题时，根据已知量与未知量之间的相等关系和不等关系建立方程(组)、不等式(组)模型，解决问题．【典例1】(2013·浙江宁波)某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：

该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元． (毛利润＝(售价－进价)×销售量) (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？甲乙进价(元/部)40002500售价(元/部)43003000(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．(2)设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，由题意，得0．4(20－a)＋0.25(30＋2a)≤16，解得a≤5.因为乙种手机的利润高，所以当购买和销售乙种手机最多时，利润最大，∴当a＝5时，购买和销售乙种手机为：30＋2×5＝40(部)，购买和销售甲种手机为：20－5＝15(部)；最大毛利润为：0.03×15＋0.05×40＝2.45(万元)．答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．

二、方程(组)、不等式(组)与函数结合型方程(组)、不等式(组)与函数密切相连，问题的变化过程往往是函数关系，但当变化到某一时刻或某一时间段时就转化为方程(组)、不等式(组)．【典例2】(2013·浙江衢州)“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y(人)与检票时间x(分钟)的关系如图所示．(1)求a的值；(2)求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数；(3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？解

(1)由图象知640＋16a－2×14a＝520，∴a＝10；[类题通法]1．理解题意，清楚变量与变量之间的关系，建立函数

模型；2．根据函数的性质，解决问题．

三、方程与几何综合型由相似可得对应边的比相等；在直角三角形中，由勾股定理可得两直角边的平方和等于斜边的平方等等，都可列出方程，用方程解决几何中的一些计算问题．【典例3】(2014·内蒙古赤峰)阅读下列材料：

如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P(a，b)，半径为r的圆的方程可以写为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，如：圆心在P(2，－1)，半径为5的圆方程为：(x－2)2＋(y＋1)2＝25.①连接EC，证明EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．(2)①证明：∵BD⊥OC，∴CD＝OD，∴BE垂直平分OC，∴EO＝EC，∴∠EOC＝∠ECO.∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∴∠EOC＋∠BOC＝∠ECO＋∠BCO，∴∠BOE＝∠BCE＝90°，∴BC⊥CE，∴EC是⊙B的切线；②存在．∵∠BOE＝∠BCE＝90°，∴点C和点O在以BE为直径的圆上，∴当P点为BE的中点时，满足PB＝PC＝PE＝PO.∵B点坐标为(－6，0)，∴OB＝6.∵∠AOC＋∠DOE＝90°，∠DOE＋∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠AOC，

∴线段AB的中点